2. Ở bậc phổ thơng
2.2.2. Phân tích sách giáo khoa
Như trên chúng tơi đã đề cập, khái niệm hệ phương trình tuyến tính đã được nghiên cứu trong một số luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Didactic Tốn trước đây:
- Nguyễn Thùy Trang (2006) - Algorit và tham số trong dạy- học phương
trình ở trường trung học phổ thơng. Trường hợp: hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.
- Trần Thị Mỹ Dung (2008) - Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy
học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10
- Nguyễn Thị Minh Vân (2012) – Nghiên cứu didactic về giải tốn bằng cách
lập hệ phương trình ở trung học cơ sở.
Trong phần phân tích của chúng tơi sẽ khơng lặp lại những gì đã trình bày
trong các luận văn trên mà chúng tơi chỉ chú ý đến kiểu nhiệm vụ Giải bài tốn
thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính với cách tiếp cận dạy học mơ hình hĩa, đặc biệt là đối chiếu việc dạy học kiểu nhiệm vụ này với các bước của quá trình mơ hình hĩa tốn học.
Các nội dung liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày ở chương 3 trong SGK9 tập 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với các yêu cầu sau theo SGV9:
“Học sinh nắm được:
- Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn;
- Phương pháp minh họa hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn;
- Khái niệm hai hệ phương trình tương đương.”
[SGV9; tr.6] “ - Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng quy tắc thế.
- HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.
- HS khơng bị lúng túng khi gặp các trường hợp đặc biệt (hệ vơ nghiệm hoặc
hệ cĩ vơ số nghiệm).”
[SGV9; tr.11]
“- Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng quy tắc cộng đại số.
- HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bắt đầu được nâng cao dần.”
[SGV9; tr.15]
“- HS nắm được phương pháp giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn.
- HS cĩ kĩ năng giải các loại tốn được đề cập trong SGK.”
[SGV9; tr.20]
Yêu cầu của SGV9 chủ yếu rèn luyện học sinh về mặt tốn học: kỹ năng biến
đổi và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đối với kiểu nhiệm vụ Giải bài tốn
thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính thì yêu cầu của SGV9 là HS nắm được phương pháp giải và giải quyết được các loại tốn đề cập trong SGK. Việc mở rộng các loại tốn cũng như kỹ năng mơ hình hĩa tốn học tổng quát khơng phải là mục tiêu mà SGK nhắm đến.
“Trở lại bài tốn cổ quen thuộc sau đây: Vừa gà vừa chĩ Bĩ lại cho trịn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn
Hỏi cĩ bao nhiêu gà, bao nhiêu chĩ?
Ở lớp 8, ta đã biết cách giải bài tốn trên bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn. Muốn vậy ta chọn một đại lượng chưa biết, số gà chẳng hạn, làm ẩn x rồi dựa vào các mối quan hệ giữa các đại lượng để lập nên một phương trình với ẩn x.
Nhưng trong bài tốn trên, ngồi các đại lượng chưa biết là số gà, ta thấy cịn cĩ một đại lượng chưa biết khác là số chĩ. Nếu kí hiệu x là số gà, y là số chĩ thì:
- Giả thiết cĩ tất cả 36 con vừa gà vừa chĩđược mơ tả bởi hệ thức x + y = 36.
- Giả thiết cĩ tất cả 100 chân được mơ tả bởi hệ thức 2x + 4y = 100.
Các hệ thức trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.”
[SGK9; tr.4] Ta thấy, sách giáo khoa nhắc lại phương pháp giải bài tốn bằng cách lập phương trình (đã biết ở lớp 8) và trình bày một cách đặt hai ẩn tương ứng với hai đại lượng chưa biết trong bài tốn. Hai đại lượng này xuất hiện trong câu hỏi ở cuối bài tốn. Việc lập các phương trình chỉ là việc dịch các giả thiết bằng lời ra thành các phương trình. Bài tốn thực tiễn trên được nêu ra nhưng khơng là mục tiêu được giải quyết. Bài tốn này hồn tồn cĩ thể sử dụng để đưa vào hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như là một cơng cụ để giải quyết nĩ nhưng mục đích của SGK9 chỉ dùng để dẫn vào bài “Phương trình bậc nhất hai ẩn”.
Sau đĩ, SGK trình bày định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của chúng. Tiếp đĩ, các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính (phương pháp thế và phương pháp cộng đại số) được đưa vào. Hầu hết các ví dụ và bài tập đều xoay quanh kiểu nhiệm vụ giải hệ phương trình với một hệ phương trình được cho sẵn để áp dụng các kỹ thuật vừa được trình bày. Vấn đề mơ hình hĩa tốn học hồn tồn khơng được đề cập ở đây.
Bài 5 và bài 6 của chương (chiếm 2/13 tiết của tồn chương) được dành cho việc giải tốn bằng cách lập hệ phương trình. Theo Nguyễn Thị Thùy Trang (2006) liên quan đến hệ phương trình cĩ các kiểu nhiệm vụ sau:
- Kiểu nhiệm vụ T1: “Giải hệ phương trình”
- Kiểu nhiệm vụ T2: “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình”
- Kiểu nhiệm vụ T3: “Đốn số nghiệm hệ phương trình”
Trong đĩ kiểu nhiệm vụ T1 được chú ý nhiều nhất (kiểu nhiệm vụ T1 (79/148), kiểu nhiệm vụ T2 (44/148), kiểu nhiệm vụ T3 (25/148)).
Trong phần phân tích này, chúng tơi chỉ quan tâm đến kiểu nhiệm vụ giải tốn bằng cách lập hệ phương trình. Kiểu nhiệm vụ này được SGK9 đưa vào thơng qua các ví dụ cụ thể.
“Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục một đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới (cĩ hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.
Cách giải
Trong bài tốn trên, ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng và chục chữ số hàng đơn vị của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số cĩ hai chữ số. Điều đĩ chứng tỏ rằng cả hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Gọi chữ số hàng chục cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện của ẩn: x, y là những số nguyên, 0 < x ≤ 9, 0 < y ≤ 9.
Khi đĩ, số cần tìm là 10x + y. Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y + x.
Theo điều kiện đầu, ta cĩ 2y – x = 1 hay – x + 2y = 1.
Theo điều kiện sau, ta cĩ (10x + y) – (10y + x) = 27 9x – 9y = 27
hay x – y = 3. Từ đĩ, ta cĩ hệ phương trình 2 1 3 x y x y − + = − = ….” [SGK9; tr.20-21] Trong ví dụ đầu tiên về kiểu nhiệm vụ giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình SGK9 đề cập về mối quan hệ giữa các chữ số khi biểu diễn một số trong hệ
thập phân. Đây là một bài tốn tốn học thuần túy và SGK9 hướng dẫn khá chi tiết về cách chọn ẩn, điều kiện cho ẩn, cách lập hệ phương trình.
Ẩn được chọn trong sách giáo khoa chính là các đại lượng được đề cập trong yêu cầu của bài tốn: hai chữ số của số tự nhiên cần tìm. Điều kiện của hai ẩn cũng được sách giáo khoa chú ý từ đầu, điều kiện này chính là ràng buộc về số tự nhiên mà học sinh đã biết.
Việc lập các phương trình trong hệ cũng được sách giáo khoa hướng dẫn chi tiết. Phương trình thứ nhất chỉ là việc dịch giả thiết bằng lời thành phương trình. Phương trình thứ hai khơng dễ thực hiện như vậy, học sinh phải biết về cách biểu diễn số tự nhiên cĩ hai chữ số là 10x + y và khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y + x. Từ đĩ, suy ra được phương trình thứ hai (10x + y) – (10y + x) = 27 và được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ so sánh kết quả tìm được với điều kiện ban đầu chúng ta sẽ tìm được kết quả bài tốn. Tuy nhiên, nếu chỉ
dịch lời từ phương trình thứ hai này thì ta được phương trình xy−yx=27và dẫn
đến phương pháp giải bài tốn này là dùng phương pháp thử sai.
y 1 2 3 4 5 6
x = 2y - 1 1 3 5 7 9 11 loại
xy 11 32 53 74 95
yx 11 23 35 47 59
xy− yx 0 9 18 27 36
Từ bảng trên ta được x = 7 và y = 4, số cần tìm là 74. Tuy nhiên, trong bài tốn này sách giáo khoa mong muốn sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên đã hướng dẫn học sinh lập phương trình thứ hai như trên. Phương pháp giải bằng cách thử sai khơng hề được đề cập đến.
Như vậy, bài tốn này là một cơ hội để học sinh thấy được một vấn đề (tốn học) cĩ thể cĩ nhiều mơ hình tốn học khác nhau và việc cân nhắc, lựa chọn mơ hình phù hợp là cần thiết. Tuy nhiên, SGK đã khơng tận dụng cơ hội này để giới
thiệu việc lựa chọn, thiết lập mơ hình tốn học cho học sinh. Mơ hình hệ phương trình tuyến tính được lựa chọn và trình bày trực tiếp cho học sinh.
Trong cả hai lần lập phương trình chúng tơi thấy rằng cả hai lần sách giáo khoa đều đưa phương trình về dạng chính tắc. Mục đích của sách giáo khoa là gì? Qua tìm hiểu chúng tơi nhận thấy rằng mục đích của việc đưa hệ về dạng chính tắc
là để dự đốn số nghiệm của hệ phương trình trước khi giải hệ.
“Trước khi giải hệ phương trình nĩi chung, học sinh nên cĩ thĩi quen đốn nhận về số nghiệm của hệ phương trình để giải để sơ bộ biết trước rằng hệ phương trình sẽ cĩ nghiệm duy nhất hay vơ nghiệm hay vơ số nghiệm.
Chẳng hạn, đối với hệ 3 2 1 6 4 0 x y x y − = − + = , ta chỉ cần biến đổi thành hệ 3 2 1 3 2 0 x y x y − = − =
rồi kết luận hệ vơ nghiệm; …”
[SGV9; tr.11] Đến ví dụ thứ hai SGK9 đề cập đến một bài tốn trong vật lý liên quan đến quan hệ giữa các đại lượng quãng đường, vận tốc và thời gian của chuyển động đều và cũng được SGK9 hướng dẫn chi tiết bằng các hoạt động 3, 4, 5 trang 21.
“ Ví dụ 2: Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát một giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.Cần Thơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
Cách giải
Từ giả thiết của bài tốn, ta thấy khi hai xe gặp nhau thì:
- Thời gian của xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút, tức là 9
5giờ. - Thời gian của xe tải đã đi là 1 giờ + 9
5 giờ =14
5 giờ (vì xe tải khởi hành trước xe khách 1 giờ)
Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h) và vận tốc của xe khách y (km/h). Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương.
Ta tiếp tục giải bài tốn này bằng cách thực hiện các hoạt động sau:
?3Lập phương trình biểu thị giả thiết: Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
?4Viết các biểu thức chứa ẩn biểu thị quãng đường mỗi xe đi được, tính đến khi hai xe gặp nhau. Từ đĩ suy ra phương trình biểu thị giả thiết quãng đường từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ dài 189 km.”
[SGK9; tr 21] Trong ví dụ thứ hai, việc lập các phương trình địi hỏi học sinh hiểu biết về các quy luật trong chuyển động đều. Cách chọn ẩn của SGK cũng khơng khác gì so với ví dụ 1: ẩn là các đại lượng cần tìm được nêu trong yêu cầu của bài tốn, ẩn của
bài tốn đã được nêu tường minh. Tại sao SGK lại chọn ẩn x, y khơng phải là v1, v2
- các ký hiệu dùng cho vận tốc? Theo chúng tơi, SGK hướng đến các ẩn đã sử dụng
trong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ẩn tốn học x, y gắn liền với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mà học sinh đã được học. Hai ẩn x, y làm cho việc chuyển bài tốn về mơ hình tốn học khơng gắn với tình huống thực tế, khơng tạo được mối liên hệ trực quan giữa mơ hình tốn học và tình huống ban đầu. Do đĩ, khi lập được hệ phương trình với hai ẩn x, y, SGK đã thốt khỏi tình huống ban đầu mà bài tốn đặt ra.
Với việc chọn ẩn như trên, việc dịch giả thiết “mỗi giờ xe khách đi nhanh
hơn xe tải 13 km” thành phương trình y – x = 13 khơng gặp trở ngại. Với giả thiết
cịn lại, học sinh phải hiểu được quy luật về mối quan hệ của quãng đường, thời gian, vận tốc; xác định được quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp nhau thì mới
cĩ thể lập được phương trình 14 9
189
5 x+5y= .
Trong ví dụ này, bài tốn liên quan đến quãng đường nhưng SGK khơng đề cập đến mơ hình trung gian là các sơ đồ đường đi.
Thực tế thì kiểu nhiệm vụ này được xem như là học sinh đã biết và khơng
cịn bỡ ngỡ nữa. Theo SGV9 “Điều khác biệt duy nhất là việc chọn hai ẩn thay vì
trước đây chỉ chọn một ẩn. Do đĩ, GV cĩ điều kiện tập trung vào phân tích các mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài tốn để từ đĩ đưa ra cách chọn ẩn thích hợp và lập được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thích hợp.” [SGV9; tr.20]
Như vậy SGV cĩ nhấn mạnh sự cần thiết của việc phân tích bài tốn để đưa ra cách chọn ẩn và lập được hệ phương trình thích hợp nghĩa là xây dựng mơ hình tốn học phù hợp. Thực tế, việc trình bày của SGK cĩ nhắm đến mục tiêu này hay
khơng hay nĩ hồn tồn thuộc về trách nhiệm của giáo viên.
Đến tiết thứ hai, SGK9 đề cập đến vấn đề tương đối mới với học sinh đĩ là năng suất và thời gian để hồn thành cơng việc.
“Ví dụ 3: Hai đội cơng nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đĩ trong bao lâu?
Cách giải
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được
xem là một cơng việc), ta suy ra trong một ngày hai đội làm chung được 1
24 (cơng việc). Tương tự, số phần cơng việc mà mỗi đội làm được trong một ngày và số ngày cần thiết để hồn thành cơng việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (trong bài tốn này, ta hiểu số ngày là một đại lượng khơng nhất thiết phải nguyên). Vậy ta cĩ thể giải bài tốn như sau:
Gọi x là số ngày để đội A làm một mình hồn thành tồn bộ cơng việc; y là số ngày để đội B làm một mình hồn thành tồn bộ cơng việc. Điều kiện của ẩn x và y là những số dương.
Mỗi ngày, đội A làm được1
x (cơng việc), đội B làm được 1
y (cơng việc).
Do mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta cĩ phương
trình: 1 1,51
x= y hay: 1 3 1
2
x= y (2.14)
Hai đội làm chung 24 ngày thì xong cơng việc nên mỗi ngày hai đội cùng làm thì được
1
24 (cơng việc). Ta cĩ phương trình:1 1 1
24 x+ =y (2.15) Từ (2.14) và (2.15) ta cĩ hệ phương trình: 1 3 12. 1 1 1 24 x y x y = + = (2.16)” [SGK9; tr.22-23]
Mơ hình tốn học đã được định sẵn ngầm ẩn trong bài tốn. Việc chọn ẩn trong ví dụ này SGK9 cũng thực hiện như các ví dụ trên: chọn ẩn là đại lượng cần tìm được nêu trong đề “Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đĩ