Trong các ví dụ ở Mục 2.3 và 2.4, các nghiệm xuất hiện như chuỗi của
sin và cosỉn với các tần số là bội nguyên của tần số cưỡng bức. Chúng xuất
hiện khi ta tái tổ chức các số hạng giống như X3 , nhưng bằng cách tác động
trực tiếp nhờ sử dụng chuỗi Fourier ta có thể chỉ ra dạng này luôn xảy ra, thậm chí cả khi không có các số hạng đa thức hoặc điều hoà cưỡng bức. Xét phương trình cưỡng bức tổng quát hơn
x" + Ũ.2X = F ( ĩ ) - e h ( x , x ) (2.90) ở đó £ là tham số nhỏ. Giả sử rằng F là tuần hoàn với biến số thời gian đã lấy tỷ lệ để có chu kỳ 2k; và giá trị trong hình của nó bằng 0 để sao cho có số hạng hằng số bằng 0 trong chuỗi Fourier (có nghĩa là giá trị trung bình
thành chuỗi Fourier
oo
F ( t ) = (An c o s n ĩ + Bn sin /ít)
/ 1 = 1
trong đó các hệ số Fourier được cho bởi
1 [ 271 _ 1 r27r , ,
An = — Ị F( T) cos/?t<ìt,ZL = — F{T)s'mnTdT. 71 J0 71 J0 v '
Ta cho phép £2 có thể gần với một số nguyên N bằng cách viết
q} = N 2 + £Í3
(2.91)
(2.92) (N=1 trong Mục 2.4). Phương pháp nhiễu đòi hỏi có các nghiệm tuần hoàn được tổng hợp từ các nghiệm tuần hoàn của một vài phương trình tuyến tính thích hợp. Nếu (Ị2.91Ị) có một số hạng bậc N khác 0 thì (Ị2.90Ị) với £ = 0, rõ ràng không là phương trình tuyến tính thích hợp, vì số hạng cưỡng bức có một thành phần bằng với tần số tự nhiên N nên sẽ không có nghiệm tuần hoàn.
Tuy nhiên nếu ta viết
— sA ,Bn — eB (2.93)
thì số hạng trong F gây cộng hưởng sẽ được bỏ đi từ phương trình tuyến tính hoá và ta có thể có một họ nghiệm sinh. Bây giờ sắp xếp lại (Ị2.90Ị), tách số hạng phức tạp trong F bằng cách viết
/ ( t ) = F ( t ) — eAcosNt — eBsìĩìNt = (AncosnT + Bn s m n ĩ ) . (2.94)
ỉĩỹ^N
Phương trình (2.90) trở thành
x" + N 2x = / ( t) + £—h(x,x') — ị3x + AcosN T + BsìĩiNt (2.95) Phương trình tuyến tính hoá là x” + N 2X = / ( t) , không có cộng hưởng. Ta viết như thông thường
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
ở đó Xo, có chu kỳ 2k. Bằng cách khai triển h trong (Ị2.90Ị) theo luỹ thừa của e ta có
h(x,xf) = h(xo,x'0) + eh\ (x0,*0,* i,* i) + ••• (2.97) ở đó h\ có thể tính toán bằng cách thế (Ị2.96Ị) vào (Ị2.97Ị) và (Ị2.95Ị) ta thu được dãy
X0+Af2X() = (An cos n z B n sin n ĩ) (2.98a)
11ỶN
x" + N 2x\ = — h(xo,x'0) — /3xo + AcosNt + B s i n N ĩ (2.98b)
x'2 + N 2X2 = —h \(xo,Xq, X1, X J) — / 3 * 1 , (2. 98c) Nghiệm của (2.98a) là
. _ An COS/1T + Bn sinnT
Xo(r) = ữo COSA/T + b o sinN t + ---i--- = «ocosN ĩ n^N N 2 - n 2
+ b o s i n N ĩ
+ ộ{x)
(2.99) với «0, b o là các hằng số được xác định như sau:
1 f 27ĩ /3ữo = — / h ( a o c o s N ĩ + boSÌnNx + 0 ( t ) ) , 71 Jq — a ^ ) N ú n N z Jr b o N co sN ĩ + ộ ' (t) )cos NTdT + A (2.100a) 1 /*2;r Pbo = — — h(aocosN T b o s i n N z ộ (t)), 71 -'0
— ữoN sin A/T + b o N c o sN ĩ
+ 0 '( t) ) sinA^Tí/T + 5. (2.100b)
BÀI TẬP
2.1 Tìm tất cả các nghiệm tuần hoàn của X + Í22x = r COSt với mọi giá trị của £l2.
2.2 Tìm hai điều hoà đầu tiên của nghiệm có chu kỳ 2 n của các phương trình dưới đây.
( i ) X — 0 . 5 x 3 + 0 . 2 5 x = COS í ;
( i i ) X — o . l x 3 + 0 . 6 x = COS t \
2.3. Tìm một xấp xỉ đầu tiên đối với chu trình giới hạn của phương trình Rayleigh’s
x + e ( — i 3 — i ) + x = 0, |e| 1 v3
sử dụng phương pháp của Mục|2.9|
2.4. Sử dụng phương pháp của Mục 2.9 với bậc của £ để thu được các
nghiệm với chu kỳ 2% và quan hệ biên độ - tần số đối với
( i ) X — S X X + X = 0 ;
(ii) (1 + ex)x + X = 0.
2.5. Phương trình Duffing gần cộng hưởng tại £2 = 3 với kích thích yếu là
x + 9x = e(ycos t — j3x + x3).
Chứng tỏ rằng có các nghiệm 271 - tuần hoàn nếu biên độ của nghiệm có bậc 0 là 0 hoặc 2y / ( P /3)
2.6. Áp dụng phương pháp Lindstedt, Mục 2.9 đối với phương trình Van der Pol x + e(x2 — l ) i + x = 0, |e| <c 1.
Chứng tỏ rằng tần số của chu trình giới hạn được cho bởi Cở = 1 — Ỵ^e2 +
0 ( s 3).
2.7. Nghiên cứu các nghiệm cưỡng bức tuần hoàn có chu kỳ ị n đối với phương trình Duffing có dạng X+ (1 + s P) x — ex3 = r cos31.
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
của X + Ũ.2X + s x 2 = r cosí, bằng phương pháp trực tiếp của Mục thích sự có mặt của số hạng tự do trong khai triển.
2.2 Giải
2.9. Dùng phương pháp nhiễu biên độ - pha (Mục 2.8) để xấp xỉ các nghiệm có chu kì 271 củax + x = e(ỵc ost — XX — Px).
2.10. Nghiên cứu các nghiệm có chu kì 2K của jc + 9 x + ex2 = r c o st
bằng cách sử dụng phương pháp trực tiếp của Mục 2.2 Nếu X = Xo + £X\ + chứng tỏ rằng các số hạng thế tục xuất hiện đầu tiên với X2-
2.11. Cho phương trình con lắc tắt dần với số hạng cưỡng bức
x + k x + 0)ỉx — ooíầx^ = F cos (ờt.
Chứng tỏ rằng đường cong biên độ - tần số đạt cực đại trên
ú)ỉ = ( ũ i ( \ - ^ r l ) - ị k ỉ.
2.12. Chứng tỏ rằng điều hoà đầu tiên với lực cưỡng bức phương trình Van der Pol X + e(x2 — ì)x + Jt = F c o s(Ot là giống nhau đối với kích thích yếu và kích thích mạnh xa từ cộng hưởng.
KẾT LUẬN
Trên đây là toàn bộ nội dung của đề tài "Nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến bằng phương pháp nhiêu”.Trong khóa luận tốt nghiệp này, em đã trình bày những hiểu biết
của mình một cách hệ thống, rõ ràng về việc sử dụng phương pháp nhiễu để nghiên cứu nghiệm của phương trình vi phân thường cấp hai phi tuyến. Điều này làm rõ thêm vai trò quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân nói chung và của toán học nói riêng trong các ứng dụng thực tế.
Khóa luận đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra. Tuy nhiên, do nội dung nghiên cứu còn khá mới mẻ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế, một phần vì đây là lần đầu tiên thực hiện nên khóa luận không tránh khỏi thiếu xót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên.
Một lần nữa, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến người thầy
Trần Văn Bằng đã tận tình hướng dẫn và giúp đõ để em hoàn thành bài khóa luận này.