thích yếu
Ta xét phương trình của con lắc xấp xỉ:
Do đó
x(e.z) =V , ; - - C O S T - 3 e( —v27 COST + — — cos3t) + 945 ) 0(e2)\ J
(2.24)
Tương ứng với phương trình (Ị2.Ĩ3Ị) ta có
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
ở đó
T = ( 0 t , £ l z = Cởq/ (ở2 , £q = - £ l z , K = k /&>,r = F Ị (ử1 . (2.25Ồ)Giả sử rằng r là nhỏ (kích thích yếu) và K là nhỏ (tắt dần nhỏ) và do đó đặt Giả sử rằng r là nhỏ (kích thích yếu) và K là nhỏ (tắt dần nhỏ) và do đó đặt r = £0y,K = £q k(y, k > 0) (2.26) Giả thiết thêm rằng £1 gần với một trong các giá trị cộng hưởng tới hạn
1,3,5,... Xét trường hợp đơn giản nhất là Q. Rí 1, là trường hợp gần cộng hưởng của phương trình tuyến tính hoá và viết
í l 2 — 1 + £0 //3. (2.27)
Phương trình (Ị2.25Ị) trở thành
x" + x = £0 (ycos T — Kx' — /3x + X3). Bây giờ xét họ phương trình
x ' + x = e(ỵ co s t — Kx — /3x + x 3)
(2.28)
(2.29) với tham số £, còn 7, K,Ị3 vẫn là các hằng số xác định bởi (Ị2.26Ị) và (Ị2.27Ị). Khi e = 0, ta được phương trình tuyến tính hoá mới x" + x = 0. Phương trình đó có vô số nghiệm với chu kỳ 271, nó cho ta một phạm vi lựa chọn rộng rãi của các nghiệm sinh (so với (Ị2.15Ị) chỉ có duy nhất một nghiệm).
Bây giờ giả sử rằng x ( e ì ĩ ) có thể khai triển thành
x ( e , t ) = x q(t) + EX] ( r ) + £ 2X 2 {t ) + (2.30)
ở đây (lập luận giống như khi dẫn đến (Ị2.19Ị)), với mọi T
Xì(t + 27t) = x = 0 ,1 ,2 ,.... (2.31) Thế (Ị2.30Ị) vào (Ị2.29Ị). Lập luận giống như khi dẫn đến (Ị2.17Ị) ta được
x'í + *1 = ycos T — Kx0 — /3xo + 4 *2 + x2 — - Kx'\ — P*1 + 3XqXi ,...
Nghiệm của (2.32a) là
Xq(t) = ữo cos T + z?0 sin T
(2.32b) (2.32c)
(2.33) với mọi «0, &0- Bây giờ đặt (2.33) vào (2.32b), sử dụng
3 3 1 . 3 3 ; 1
cos T = — cos T H— cos3T ,sin T = - sin T ---sin3T
4 4 4 4 và rút gọn ta có x " + X i = {ỵ - K b o 3 + ữ()[—l3 + — ( « 0 4- Z?q)]} cos T 3 + {Ka0 + z?0[ p + 4 (ứ0 + ^ o ) ] } (2. 34) H— a o ( a ị — 3Z?o) c o s 3 t + ^bo(3aị - bị) sin3r.
Nghiệm X\ (t) cần phải có chu kỳ 2k, nhưng trừ khi các hệ số của cos T và sin T trong (Ị2.34Ị) bằng 0, không có các nghiệm tuần hoàn, vì bất kỳ nghiệm
nào cũng đều chứa các số hạng dạng TCOST, TsinT (so sánh với phương
trình (Ị2.6Ị)). Các nghiệm không tuần hoàn hoặc các nghiệm không phù hợp khác thường được gọi là các số hạng thế tục (secular terms). Chúng ta loại
trừ các số hạng thế tục bằng cách yêu cầu các hệ số của cos T và sin T bằng
0:
Kão — ba ịp - ^ ( a l + bị)} = 0,
Kb0+ a0{ l ỉ - ^ ( a l + b l ) } = Ỵ.
(2.35a) (2.35b) Những phương trình này xác định các giá trị của ŨQ và bo. Để giải chúng,
gọi ro là biên độ của nghiệm sinh:
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
Bình phương và cộng (|2.35a) với (|2.35b|), ta được phương trình biên độ
bậc ba đối với r ị:
j , c 2 + ( J3 - ^ ) 2Ị = y2. (2.37)
r 2
r0
Giải (Ị2.37Ị) tìm ro, sau đó a o và b o có thể nhận được từ (Ị2.35Ị) và (Ị2.36Ị). Phương trình (Ị2.37Ị) sẽ được phân tích trong mục tiếp theo. Bây giờ chú ý rằng có thể có ba giá trị dương của rị (do đó ro > 0) thoả mãn (2.37 ). Điều đó chỉ ra rằng, trong miền nhất định của K,P,Ỵ có thể có ba nghiệm 2n - tuần hoàn phân biệt của (Ị2.24Ị), (Ị2.28Ị) hoặc (Ị2.29Ị), mỗi nghiệm đó là một nhánh của một trong ba nghiệm sinh phân biệt.
Chọn một cặp của giá trị ŨQ và z?0 thoả mãn (Ị2.35Ị), ta giải (Ị2.28Ị)
X\ ( t ) = ã\ COST + &1 sin T ---dữ(áị — 3^0) c o s 3 t ---bo(3aị — bị ) sin 3r,
ở đó a \ và b \ là các hằng số tuỳ ý. Thế biểu thức đó vào phương trình (|2.32c), yêu cầu rằng *2(t) có chu kỳ 271, sẽ cho ta phương trình xác định a \, b\ như trước. Có thể thấy dị, bi đều được xác định bởi cặp phương trình vi phân tuyến tính.