con lắc
Trong Mục 2.4 chúng ta đã dừng lại ở xấp xỉ bậc nhất của nghiệm vì tính phức tạp nảy sinh từ đại số. Phương pháp sau cho phép một xấp xỉ bậc cao hơn để đạt được hiệu quả tốt hơn.
Lại xét họ (Ị2.29Ị):
x" + x = £o (ỵcost — KX — Ị5x + X3). (2.44) Thay vì tìm kiếm như trong Mục 2.4, nghiệm có dạng
(ao + £d\ + ...) COST+ (bo + eb1 + ...) sin T + điều hòa bậc cao hơn. Ta sẽ sắp xếp cho chúng để xuất hiện dạng
x(e, t ) = (ro 4- er\ + ....) c o s ( t + oío + £011 + ...) + điều hoà bậc cao hơn,
(2.45) ở đó
a = «0 + £«1 + ...
là độ lệch pha giữa phản hồi và số hạng cưỡng bức. Ta muốn «0 là pha của nghiệm sinh và ro là biên độ của nó.
Nó tiện lợi hơn vì sử dụng pha chưa biết a, xuất hiện trong phương trình đó. Do đó, ta thảo luận phương trình thay thế
X" + X = e(y co s(j - a ) - KX' - p x + X 3), (2.46) ở đó ta đặt s = T + a, và X(e, s) = x(e, t) = x( e, s — cc) trong (Ị2.44Ị) và đạo hàm được hiểu là theo biến s.
Giả sử rằng với mỗi e đủ nhỏ
X { e ìs ) = X o ( s ) + e X l (s) + ... (2.47)
a = CÍQ + £OL\ + ...
Ta cần nghiệm x(e, s) có chu kỳ 271của lực cưỡng bức, nên với mọi 5,
Xi(s + 2 n ) = X i( s ) , i = \ , 2 , - (2.48) Cuối cùng chúng ta sẽ áp đặt điều kiện bổ sung x '( e ,0 ) = 0. Đây không phải là một sự hạn chế thực: ta chỉ đơn giản là điều chỉnh gốc thời gian, pha là được. Do đó
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
Thế (Ị2.47Ị) vào (Ị2.46Ị), sử dụng chuỗi Tayor
c o s(s — a ) = cos(s — Oo) + £ « 1 sin(s — ao) + . . . .
Bằng việc nhóm theo luỹ thừa của £ rồi cân bằng các hệ số của chúng ta được
X" + Xo = 0,
XỊ' + x , = ỵ c o s ( s - O o ) - k X ^ - / 3 X o + x03
x " + x2 = ya, sin(j - an) - KX[ - /3X, + 3X02X ,,... Nghiệm tuần hoàn của (|2.50a|) thoả mãn (Ị2.49Ị) là
Xo(5) = r0c o s j,r0 > 0
(2.50a) (2.50b) (2.50c)
(2.51) ở đó ta chọn ro > 0 bằng việc điều chỉnh pha (Xq sau. Từ (|2.50bỊ)
3 , 1
x[' + Xi = (ycosơo - p*r0 + — 7*0) COSS + (/cro + ysinOÉo) sin 5 + -TQCOS35, (2.52) vì cos3 5 = I cos s -b ^ cos 3s. Để có nghiệm tuần hoàn số hạng thế tục (trong cos s và sin 5) phải triệt tiêu, vì vậy
3 ,
PrQ- = y c o sCCQ (2.53a)
Kro = — ysinceo- (2.53b) Bằng cách bình phương và cộng vào ta lại thu được phương trình (Ị2.37Ị):
3
r ị \ Kz + [ p - ^ Ị = f . (2.54) Khi đó CÍQ sẽ thu được từ (Ị2.53Ị). Ta chỉ xét với — ^71 < CÍQ < ị7Ĩ
0() = - s i n 1 (K*ro/y). (2.55) Phương trình (2.52) trở thành
có nghiệm
1 í
X](5) = r1COS 5--- rQCOs3s,ri > 0 (2.56) thoả mãn <(2.481) và ể2.49|). Thế <t2.56b vào ẩ2.50cỉ):
í 9 3 \
X2 + x 2 = ( - ỴCÍ\ sinoo - P n + --rịr\ - 7^7 *0 ) COS5+ {ya\ cos«o + Kri)sỉns
V 4 128 '
/3 2 3 5 1 ữ 3\ ___ 3 3 3 5
+ V4r,' ri " 64 + 32 j c o s 3 i - ^ K 7 -g s in 3 s - - ^ r g s i n 5 s , (2.57)
vì COS2 í COS 3 i = ị COSí + ị COS 3,s + Ệ c o s5 i. Tính tuần hoàn đòi hỏi các hệ Số của COS 5 và sin s phải bằng 0, điều đó dẫn tới kết quả
' r ồ/ ( 4 ổ — /3 + K t a n ữ o j , 128 .5 (1\ = —---- — — / 3 Kfg —rn — B/ / 9 2 + /c tan aoữ I 2 8 7 C O S C Í 0 / I 4 (2.58a) (2.58b) Nghiệm phương trình (2.44) là x ( e , T ) = (ro + £ r i ) c o s ( T + a o + £ « i ) - £7oCos3(t+O o) + ơ ( £ 2). (2.59)