kích thích
Xét phương trình Van der Pol với số hạng cưỡng bức
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
Phương trình tự do có chu trình giới hạn với bán kính xấp xỉ 2 và chu kỳ xấp xỉ 2k. Chu trình giới hạn được tạo ra bởi việc cân bằng giữa sự mất năng lượng nội tại và sự sinh ra năng lượng, và số hạng cưỡng bức sẽ thay đổi sự cân bằng này. Nếu F là nhỏ (kích thích yếu), tác dụng của nó phụ thuộc vào
liệu (ở có gần tần số tự nhiên hay không. Nếu gần thì sẽ ra một dao động là nhiễu của chu trình giới hạn. Nếu F không nhỏ (kích thích lốn) hoặc nếu tần số tự nhiên và tần số ấn định không gần nhau thì dao động tự nhiên có thể mất đi vì nó xảy ra với phương trình tuyến tính tương ứng.
Đầu tiên, viết
(ởt = T (2.76)
thì (2.75) trở thành
c'Qx" + £G)(x — \ ) x ' + X = F COST
ở đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến T. Kích thích mạnh, xa cộng hưỏng
Giả thiết rằng Cở là không gần với số nguyên. Trong (Ị2.77Ị), giả sử (2.77)
x(s,t) = x0(t) + ex\ (t) + ... (2.78) Dãy các phương trình đối với Xo, X iv
( 02Xq + Xo = FCOS T (2.79a)
íở x" + X \ = —(xq — 1)xq (2.79b)
x o (t), X] ( t ) có chu kỳ 2n. Nghiệm duy nhất của (2.79a) có chu kỳ 271là
F *o(t) 1 - 0) : COST và do đó x(£,T) = 1 - Cở2COS T + ỡ ( e ) . (2.80)
Nghiệm là một nhiễu của phản hồi tuyến tính thông thường và chu trình giới hạn bị lấn át như đã dự kiến.
Kích thích yếu, xa cộng hưởng
Trường hợp này cũng giống như kích thích mạnh ở trên nhưng với F = sFq. Tuy nhiên, nghiệm đó thường không ổn định và không có chu trình giới hạn.
Kích thích yếu, gần cộng hưởng
Với kích thích yếu viết trong (Ị2.77Ị)
F = £ Ỵ (2.81)
và với gần cộng hưởng
í0 = 1 + £ ứ ) i
Giả sử khai triển:
x(e, t) = *o(t) + ex\ (t) + ... Phương trình (Ị2.80Ị), (Ị2.81Ị) và (Ị2.82Ị) dẫn đến (2.82) (2.83) *ố + *0 = °> xfỊ + X i = — 2ơ) \ Xq— (xq — 1 )x'0+ 7COS T , ... (2.84a) (2.84b) Chúng ta đòi hỏi nghiệm có chu kỳ 271. Phương trình (2.84a) có nghiệm
xq(t) = aocosT + /7osinT. (2.85)
Sau một vài thao tác, (|2.84bỊ) trở thành
x " + x \ = { y + 2 ( ờ i a o - b o ( ^ r l - 1) }c o s t
1 ?
+ { 2 ( ú \ b o + « o ( ^ o — l ) } s i n / r (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ hàm điều hoà cao hơn
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
ở đó
ro = \J{aị + bị) > 0. (2.87) Để nghiệm tuần hoàn ta cần
2(OịCiQ - b o ị Ặ r ị - = - Ỵ (2.88a)
2 ( 0 \ b o — ŨQ r ị — 1^ = 0. (2.88b ) Bình phương và cộng hai phương trình này ta được
r ị U r n ị + Ọ - r l - x Ỵ ^ Ỷ (2.89)
là phương trình xác định biên độ có thể ro của phản hồi ứng với (ờ\ và 7 đã cho.