dần
Giả sử hệ số tắt dần bằng 0; khi đó trong (Ị2.24Ị), (Ị2.25Ị), (Ị2.29Ị) ta có
k = K = K = 0. (2.38) Thay cho việc tìm ro trong (Ị2.37), các hệ số a o , b o có thể tìm trực tiếp từ (Ị2.35Ị): nghiệm duy nhất được cho bởi
b o = 0, 3
M P - ^ á ổ ) = ĩ-
(2.39a) (2.39b)
Chúng ta chỉ xét chi tiết con lắc với trường hợp E = Eo = ị ũ . 2. Các tham số gốc co, ỡ>0 và F của phương trình (Ị2.24Ị) có thể khôi hồi qua (Ị2.25Ị) đến (2.27). Phương trình (2.39b) trở thành
1
<ỉo(®z - «0 + g®Ổ«o) = ~ F-
Nghiệm ao có thể thu được bằng cách vẽ đường cong bậc ba 1
a0(mz - + ị m l a ị ) = f ( a 0)
(2.40)
(2.41) Trên đồ thị với các trục ao, z cho một vài giá trị cố định của Cở và ứ)o, sau đó tìm các giao điểm với đường thẳng z = —F với F > 0, như Hình 2.3.
Một số đặc điểm chính được đưa ra dưới đây:
(i) Khi co2 > (ỜQ (Hình 2.3(a)), có chính xác một dao động tuần hoàn có thể. Khi F nhỏ, biên độ xấp xỉ với phản hồi tuyến tính (Ị2.22Ị), và với phản hồi tuyến tính đã sửa chữa (Ị2.23Ị), trừ khi (ở « ũ)q (rất gần với trường hợp cộng hưởng) là trường hợp khác nhau đáng kể (Hình 2.3(b)). Những phản hồi này ngoài pha 180° với số hạng cưỡng bức.
(ii) Khi ũ)2 < (ỜQ (Hình 2.3(c)), có một phản hồi đơn, ngoài pha 180° khi F tương đối lớn. Khi F nhỏ hơn có ba phản hồi tuần hoàn phân biệt, hai trong pha và một ngoài pha so với số hạng cưỡng bức. Phản hồi được ghi chữ ’A’ trong Hình 2.3(c) tương ứng với phản hồi (2.22) của phương trình tuyến tính hoá, và với phản hồi tuyến tính đã sửa (2.23).
(iii) Toàn bộ ba phản hồi được mô tả ở (ii) sẽ có biên độ nhỏ nếu giao điểm của đường cong z = f { ao) với trục ao (Hình 2.3(c)) gần gốc toạ độ. C á c g i a o đ i ể m n à y l à a o = 0 , a o = d = 2 \ / 2 ( l — (Ó1 / ( Ó Ặ ) Ảí 2 . B a g i a o đ i ể m t h ự c
sự đạt được với điều kiện là:
Kết quả đó có thể nhận được từ các tính chất của phương trình bậc ba của ŨQ . Do đó bằng cách chọn (Ó1 Ị ft>Q đủ gần 1 (gần cộng hưởng) và F tương ứng nhỏ, các biên độ của cả ba phản hồi có thể được làm nhỏ tuỳ ý.
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
z = / K )
' õn định Không ổn định
H ình 2.3: Minh họa phương trình (2.41
(iv) Mặc dù không có tắt dần nhưng vẫn có các dao động ổn định bị chặn cả khi Cớ = CỚQ (không giống với trường hợp tuyến tính). Biên độ tăng vô hạn nếu lực cưỡng bức còn lại sau dao động tự nhiên và tăng cường vào chu trình liên tục. Tuy nhiên, tần số của dao động tự nhiên (phi tuyến) biến đổi theo biên độ nên không còn lại trong bước với số hạng cưỡng bức.
(v) Không biết là dao động ổn định có đạt được hoặc gần đạt tới hay không, nếu có thì mô hình này tương ứng với nó còn tuỳ thuộc vào điều kiện ban đầu của bài toán.
(vi) Có hay không một phương thức đặc biệt có thể được duy trì trong thực hành còn phụ thuộc vào tính ổn định của nó. Nếu trong lân cận của biên độ ữo, biên độ cưỡng bức F được yêu cầu duy trì tăng/giảm khi ao tăng/giảm thì chúng ta có nghiệm ổn định, trong tình huống đó nhiễu nhỏ ngẫu nhiên của biên độ không thể duy trì và khuếch đại. Tuy nhiên nếu F tăng/giảm khi
a o giảm/tăng, thì các điều kiện này làm tăng nhiễu và kết quả là không ổn định. Phân tích sâu hơn có thể chỉ ra các nhánh ổn định và không ổn định
trong Hình 2.3 và 2.4.
Ftặng fl„<0
Ổn định không ổn định
Hai nhánh, tương tự giá tri của F (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H ình 2.4: Đường cong biên độ-tần số của con lắc không tắt dần (phương trình
(2.40»
Bản chât của các nghiệm trong (Ị2.4QỊ) như một hàm sô của các tham sô ứ), <ty) với F đã cho, có thể được thể hiện trên ’lược đồ phản hồi’ đơn trong Hình 2.4. Hình vẽ có thể vẽ trực tiếp bằng việc viết (Ị2.40Ị) dưới dạng
(ữ = y { ® ổ ( 1 _ g ữồ ) - - F Aỉo}-
Cho mỗi giá trị F > 0, biên độ nằm trên hai nhánh trơn, một cặp điển hình được chỉ ra trên hình vẽ. F tăng trên chu tuyến cách xa dần so với đường cong F = 0 (là đường cong biên độ tần số của dao động tự do và là một phần của ellip) trên cả hai phía của nó. Chú ý rằng
dờ) 1 1
Khóa luận tốt nghiệp Ngô Thị Minh
Do đó, nếu a0 < 0 (và F > 0), d(o/da0 không bao giờ bằng 0, trong khi nếu
ao > 0 (và F > 0), d(o/da0 bằng 0 với mọi giá trị của ữo và co < (Oq như Hình 2.4.
Yí dụ 2.2. Nghiên cứu các nghiệm tuần hoàn cưởng bức của phương trình
x" + (9 + e/3 )x — £x3 = r cos T,
ỏ đó £ là nhỏ và p, r không quá lớn.
Phương trình đã cho có thể được viết lại như sau
x " + 9 x = r COST + e ( x 3 — / 3 x ) .
V i ế t x { e, t ) = x o (t) + £X\ ( t) + ở đó x o (t),* i ( t ) , ... có chu kỳ 27Ĩ. Khỉ đó
Xq + 9xq = r cos T,
x" + 9x\ = *0 - Px0t--
Phương trình đầu tiên có nghiệm 2%-tuần hoàn dạng
X()(t) = a()Cos3T + & osin3T+ —r COST.
8
Khi thay thế vào phương trình xấc định X], các số hạng trong c o s 3 t, sin3T
xuất hiện ở mặt bên phải, ngăn chặn các nghiệm tuần hoàn trừ khi các hệ số của chúng bằng 0. Cách đơn giản nhất đ ể thực hiện phép thế bằng cách viết
•^o(^) = A()e^lT “b A()é* 3ỉT + — Ten + — Te l t ,
lồ lồ
ở đó Aq = ịã() — ịỉbo. Ta thấy được
’ ( r 3 6r 2 \
( —— + + 3ẤQy4o — PAq J e3iT + liên hợp đầy đủ
Do đó, ta cần
í — o 6 p 2
Ao í 3A0A0 — p + r (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
163
Điều đó cho thấy rằng Aq là số thực, bo = 0, Ao = ịao và phương trình đối với ŨQ là
r 3 1 / 3 2 o 6 r 2
la o ^ - / 3 + ^ 1 + 163 = 0.
/ / V