Theo lí luận phương pháp dạy học môn Toán thì dạy học giải bài tập toán có những nội dung thành phần như sau:
2.1.1.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng mới trong môn Toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức tạp hơn, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên 3 bình diện này:
Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:
Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
Phát triển năng lực trí tuệ; rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ;
Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học toán, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu day học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và phát triển của học sinh,…
Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý như trên.
2.1.1.2. Yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết ta cần nắm vững các yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,… thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,…
ii. Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
Luận đề phải nhất quán;
Luận cứ phải đúng;
Luận chứng phải hợp logic
iii. Lời giải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu khả năng nào,…
iv. Ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
v. Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật
Yêu cầu đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố ( chữ, số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải.
vi. Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất
Ngoài các yêu cầu i – v, cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải tìm được.
vii. Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu i), ii), iii), và iv) là các yêu cầu cơ bản v) là các yêu cầu về mặt trình bày, còn vi), vii) là những yêu cầu đề cao.
2.1.1.3. Căn cứ vào lý luận giải toán và dạy học sinh tìm lời giải bài toán
1. Phương pháp chung để giải bài toán.
Một số người có tham vọng muốn có thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán;
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;
Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán; biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…
Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.
2. Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung giải toán của G. Pôlya.
Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải. Sau đây là một bản gợi ý, về căn bản dựa theo Polya (1975), có điều chỉnh cho phù hợp với cấu trúc của phương pháp chung được trình bày trong mục trên.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? hay có mâu thuẫn?
Hãy vẽ hình. Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp.
Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. có thể diễn tả các điều
kiện đó thành công thức được hay không? Bước 2: Tìm cách giải
Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một
Hãy xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?
Bạn có biết một bài toán nào có nội dung liên quan không? Có thể áp
dụng một định lí nào đó không?
Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụng phương pháp giải bài toán đó. Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó hay không?
Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khác
nữa? Quay về những định nghĩa.
Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán hay không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Bạn có kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗi bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán hay không?
Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp
Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở bước 2.
Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những chỗ cần thiết.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay không?
3. Cách thức dạy học phương pháp chung để giải bài toán.
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong chương trình. Học phương pháp chung để giải toán không phải là học một thuật giải mà là học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện. Nói chung, cách thức dạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắm được lược đồ chung 4 bước ( xem 2.1.1.3.1) và có ý thức vận dụng 4 bước này trong quá trình giải toán;
Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinh những câu hỏi gợi ý ( xem 2.1.1.3.2) đúng tình huống để học sinh dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến thành vũ khí của bản
thân học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo. “ Tìm được cách giải một bài toán là một phát minh ” (Polya 1975)