Định hướng vận dụng cặp phạm trù cái chung cái riêng vào dạy học

sau :

 C  AB

 sinCsin AB

 sin ABsinAB áp dụng tính chất sin  sin

Đó là các nguyên nhân để đạt được kết quả sinCsinAB

1.5.2. Định hướng vận dụng cặp phạm trù cái chung - cái riêng vào dạy học Toán Toán

Toán học có lẽ là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng. Sự sắp xếp chương trình học toán nói chung là dẫn dắt học sinh đi từ trường hợp riêng rồi khái quát dần lên những cái chung như từ số tự nhiên đến số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, từ tam giác vuông đến tam giác thường, từ tam giác đến tứ giác, từ hàm lượng giác các góc nhọn đến hàm lượng giác suy rộng. Khi làm bài tập, học sinh phải vận dụng những khái niệm chung, những định lý chung vào các trường hợp riêng cho từng bài.

Nói rộng ra, phát minh lý thuyết có tầm cỡ trong lĩnh vực toán, luôn là sự mở rộng từ “cái riêng” đến “cái chung” trước đó chưa ai biết mà “cái riêng” đó chỉ là trường hợp đặc biệt. Kết quả nghiên cứu sẽ là lý thuyết mới kế thừa những mặt tích cực của lý thuyết cũ (là mặt thống nhất giữa hai lý thuyết mới và cũ) vừa phủ định những mặt tiêu cực của lý thuyết cũ.

Ví dụ, lý thuyết số phức kế thừa những mặt tích cực của lý thuyết số thực đồng thời nó phủ định mặt tiêu cực của lý thuyết số thực đã bó tay trước việc lấy

căn bậc hai của số âm. Quy luật phủ định của phủ định là khách quan, không phụ thuộc chủ quan người nghiên cứu. Lobasepxki phát minh ra hình học phi Euclide mang tên ông chỉ nghĩ mình phủ định tiên đề 5 của Euclide nhưng thực ra là đã mở rộng hình học Euclide khi góc nhọn giữa hai đường thẳng song song với một đường thẳng a xuất phát từ điểm A nằm ngoài dần tới 0.

 Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau:

Sau đây ta có thể xem xét một ví dụ về hình thoi: Ta đã biết hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành nếu ta nhìn hình thoi dưới góc độ có các cạnh đối song song, cũng có thể xem là trường hợp đặc biệt của các tứ giác có đường tròn nội tiếp nếu ta nhìn dưới góc độ “có đường tròn nội tiếp”, ta còn có thể xem nó là trường hợp đặc biệt của các tứ giác có 2 đường chéo vuông góc nếu ta nhìn ở góc độ hai đường chéo vuông góc.

Tập nhìn cái riêng theo nhiều góc độ khác nhau là một điều rất quan trọng đối với việc rèn luyện óc sáng tạo toán học vì mỗi góc độ lại gợi ra một hướng mở rộng “cái riêng” đó như ta đã thấy ở ví dụ mở đầu.

 Đặc biệt hóa từng bộ phận khác nhau của cái chung bằng những cách khác nhau ta sẽ có nhiều cái riêng khác nhau:

Đây chính là hai quá trình khái quát hóa và đặc biệt hóa.

Khái quát hóa là dùng trí não tách ra cái chung trên cơ sở những đối tượng, sự kiện, hiện tượng đã biết của các trường hợp riêng lẻ tức là chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của một số phần tử của tập xuất phát.

Nhờ khái quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết, những dự đoán. Khái quát hóa một bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn ( có thể đúng hoặc không đúng ( hoặc không giải được)). Có khi tổng quát hóa một bài toán lại giúp ta tìm tòi lời giải thuận lợi hơn, dễ dàng hơn đối với bài toán đã cho. Muốn khái quát thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau.

Để rèn luyện cho học sinh năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần rèn luyện cho học sinh biết phân tích tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện tượng, sau những chi tiết tản mản, riêng lẻ khác nhau, nhìn thấy bản chất của các hiện tượng, sau các hình thức bên ngoài đa dạng, “ tóm lược ” cái chung, cái cơ bản, cái chung trong cái khác nhau bên ngoài.

Muốn vậy, một điều quan trọng là giáo viên phải biết biến thiên những dấu hiệu không bản chất của khái niệm, hiện tượng đang nghiên cứu và không đổi những dấu hiệu bản chất.

Ngược lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa , đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Đặc biệt hóa có tác dụng để kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợp riêng hoặc để tìm ra kết quả khác. Trong việc giải toán, việc xem xét trường hợp đặc biệt có khi gợi ý cho ta tìm được lời giải của bài toán đang xét hoặc thấy được phương pháp giải.

Khái quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất.

Ví dụ 1.18: Cho ,a b , a b 2

Chứng minh rằng: 2 2

a b  a b Phân tích: hạ bậc từ 2

a xuống a , đảm bảo đẳng thức xảy ra khi a b 1

Ta áp dụng BĐT Cô si cho hai số 2

0,1 0 a   ta được a2  1 2a và hai số 2 0,1 0 b   ta được b2  1 2b   2 2 2 2 a b a b

     thêm điều kiện a b 1 ta suy ra điều phải chứng

minh.

Có thể mở rộng BĐT được hay không ? ta thử với 3 số thực dương , ,a b c? Chẳng hạn, một tứ giác đem đặc biệt hóa theo các tính chất và quan hệ giữa các cạnh và các góc có thể cho ta hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông.

Cũng có một số cách đặc biệt hóa ít gặp như đặc biệt hóa tứ giác bằng cách cho một cạnh triệt tiêu hoặc cho một góc đạt tới giới hạn 180o để có tam giác.

Kết luận chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số cơ sở lí luận và thực tiễn của việc khai thác các cặp phạm trù nguyên nhân – kết quả, cái chung – cái riêng vào việc dạy học Toán như những vấn đề cơ sở của triết học duy vật biện chứng, một số nội dung cơ bản của hai cặp phạm trù này, một số vấn đề lí luận về phát triển tư duy vào dạy học Toán.

Chúng tôi đã trình bày thực trạng nhận thức về vai trò của các quan điểm triết học duy vật biện chứng trong đó đặc biệt là vai trò của các cặp phạm trù nguyên nhân - kết quả, cái chung – cái riêng trong việc dạy học bộ môn toán.

Trong chương này, chúng tôi cũng đã nêu ra thực trạng các sai lầm, khó khăn của học sinh trong hoạt động giải toán có liêm quan đến cặp phạm trù nguyên nhân - kết quả, cái chung – cái riêng, chỉ ra những nguyên nhân của thực trạng này. Đồng thời, chúng tôi định hướng vận dụng các cặp phạm trù trên vào dạy học môn Toán, những định hướng này sẽ được làm rõ ở các chương sau.

Kèm theo các thực trạng trên chúng tôi còn đưa ra một số ví dụ minh họa cho những quan điểm của mình. Từ đó làm cơ sở để chúng tôi trình bày tiếp nội dung chương 2 về việc khai thác các cặp phạm trù nguyên nhân – kết quả, cái chung – cái riêng vào việc đề ra những biện pháp sư phạm cho việc hướng dẫn học sinh giải toán và phát triển tư duy.

Chương 2

KHAI THÁC CÁC CẶP PHẠM TRÙ NGUYÊN NHÂN – KẾT QUẢ, CÁI CHUNG - CÁI RIÊNG VÀO VIỆC HƯỚNG DẪN

HỌC SINH GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY 2.1. Một số căn cứ đưa ra các biện pháp sư phạm khai thác các cặp phạm trù nguyên nhân - kết quả, cái chung - cái riêng vào dạy học giải toán Đại số

2.1.1. Căn cứ vào lí luận phương pháp dạy học giải toán

Theo lí luận phương pháp dạy học môn Toán thì dạy học giải bài tập toán có những nội dung thành phần như sau:

2.1.1.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng mới trong môn Toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức tạp hơn, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên 3 bình diện này:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:

 Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;

 Phát triển năng lực trí tuệ; rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ;

 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học toán, những bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết.

Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu day học khác. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

Trong thực tiễn dạy học, bài tập sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và phát triển của học sinh,…

Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý như trên.

2.1.1.2. Yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết ta cần nắm vững các yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,… thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức,…

ii. Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

 Luận đề phải nhất quán;

 Luận cứ phải đúng;

 Luận chứng phải hợp logic

iii. Lời giải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu khả năng nào,…

iv. Ngôn ngữ chính xác

Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn. Việc dạy học môn Toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.

v. Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

Yêu cầu đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố ( chữ, số, hình, kí hiệu,…) trong lời giải.

vi. Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

Ngoài các yêu cầu i – v, cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải tìm được.

vii. Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Bốn yêu cầu i), ii), iii), và iv) là các yêu cầu cơ bản v) là các yêu cầu về mặt trình bày, còn vi), vii) là những yêu cầu đề cao.

2.1.1.3. Căn cứ vào lý luận giải toán và dạy học sinh tìm lời giải bài toán

1. Phương pháp chung để giải bài toán.

Một số người có tham vọng muốn có thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung

bài toán;

 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2: Tìm cách giải

 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán; biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích,…

 Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc

biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…

 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn cách giải hợp lí nhất.

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn

đề.

2. Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung giải toán của G. Pôlya.

Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có những gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải. Sau đây là một bản gợi ý, về căn bản dựa theo Polya (1975), có điều chỉnh cho phù hợp với cấu trúc của phương pháp chung được trình bày trong mục trên.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

 Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? hay có mâu