Một số tác giả đã xét tính bất biến của các quy tắc cập nhật mùi khi hàm mục tiêu được biến đổi tuyến tính đơn điệu [8,70]. Để khảo sát tính bất biến, ta cần khái niệm về các thể hiện của bài toán TƯTH và giả thiết về tính lặp của máy tạo số giả ngẫu nhiên.
Định nghĩa 3.2. (Thể hiện của bài toán)
Xét hai bài toán TƯTH và . Ta sẽ gọi chúng là hai thể hiện
và tương ứng của một bài toán, nếu với mọi thuộc trong đó là hàm đơn điệu tăng chặt.
Thông thường ta sẽ xét thuộc một nhóm các hàm nào đó.
Định nghĩa 3.3. (Giả thiết về tính lặp của máy tạo số giả ngẫu nhiên)
Khi chạy một thuật toán tìm kiếm ngẫu nhiên cho hai thể hiện của một bài toán, các quyết định dựa trên các thí nghiệm ngẫu nhiên nhờ một máy tạo số giả ngẫu nhiên. Ta giả thiết các số này được tạo ra cùng một phương pháp (chẳng hạn cùng một giống:seed), như vậy dãy số ngẫu nhiên tạo ra khi giải hai thể hiện là như nhau và ta gọi nó là máy phát lặp.
67
Định nghĩa 3.4. (Tính bất biến của thuật toán)
Ta nói thuật toán bất biến trên nhóm biến đổi đơn điệu đối với bài toán nếu khi sử dụng nó nhờ một máy phát lặp để giải hai thể hiện của bài toán vẫn
cho ta cùng một dãy lời giải và vết mùi.
Birattari [8] và Zang [70] đã xét tính bất biến của một số thuật toán nhờ biến đổi tuyến tính đơn điệu tăng: { }, trong đó .
Ta dễ dàng kiểm tra được các thuật toán SMMAS và 3-LAS bất biến đối với nhóm biến đổi đơn điệu tăng của bài toán . Định lý sau là đúng.
Định lý 3.5. Giả sử và là hai thể hiện của một bài toán TƯTH tùy ý. Khi giải bằng một trong hai thuật toán SMMAS hoặc 3-LAS với cùng số lần lặp nhờ dùng một máy phát lặp sẽ cho kết quả cùng một dãy lời giải và các vectơ vết mùi.
Kết luận của định lý là hiển nhiên vì quyết định và lượng mùi thay đổi trong mỗi lần lặp sẽ như nhau ở mỗi lần lặp.