Cập nhật mùi toàn cục. Cập nhật mùi toàn cục đối với các cạnh thuộc :
( ) (3.3)
Quy tắc MMAS. Quy tắc này giống như trong MMAS. Sau khi kiến xây dựng xong lời giải ở bước lặp nào đó, vết mùi được thay đổi theo công thức sau:
(3.4) trong đó { ( ) { } (3.5) ở đây >0 là tham số. Chú ý:
1) Công thức (3.4) trở thành công thức (2.10) trong MMAS khi lấy và giả thiết
2) Các quy tắc cập nhật mùi ở trên chính là quy tắc G-best. Nếu trong các công thức (3.3) và (3.5) thay bởi , thì ta nói là quy tắc I-best. Trong mục sau ta chỉ xét cho quy tắc G-best.
3.2. Phân tích toán học về xu thế vết mùi
Dưới đây đưa ra nghiên cứu về tính hội tụ của các thuật toán ACS và MMAS. Sau khi ước lượng xác suất tìm thấy một phương án ở bước lặp , luận án sẽ khảo sát sự thay đổi của vết mùi.
3.2.1. Ước lượng xác suất tìm thấy một phương án
56 a) Bài toán tổng quát có lời giải tối ưu.
b) Với mỗi kết quả thực nghiệm, các giá trị hội tụ cho mỗi lần chạy khi dần ra vô hạn.
c) Ký hiệu tập lời giải của bài toán là và giá trị tối ưu là thì với mọi cạnh ta có đánh giá sau:
{ ( )} { } (3.6)
Chứng minh
Ta thấy khẳng định a) là hiển nhiên vì tập (và ) là tập hữu hạn nên tồn tại giá trị tối ưu là .
Khẳng định b) suy từ tính đơn điệu giảm của dãy và dãy này bị chặn bởi .
Khẳng định c) dễ dàng nhận được nhờ chứng minh quy nạp theo với lưu ý rằng ở mỗi lần cập nhật mùi, cường độ vết mùi của các cạnh theo quy tắc ACS có dạng: , trong đó , còn cường độ vết mùi các cạnh cập nhật theo MMAS suy từ các công thức (3.4) và (3.5).
Về sau, ta sẽ giả thiết và như vậy, .
Định nghĩa 3.1. Với mọi thuộc , đại lượng {
} được gọi là hệ số lệch heuristic của đỉnh , còn đại lượng { } được gọi là hệ số lệch heuristic của bài toán.
Với mọi , ta ký hiệu là xác suất để con kiến tìm được ở bước lặp . Định lý sau đây cho ta một ước lượng cận dưới của nó.
57
, (3.7)
trong đó xác định bởi công thức:
(
) (3.8)
Chứng minh. Giả sử được xác định bởi được mở rộng từ . Với mỗi bước lặp và , từ (3.1) và (3.3) ta có đánh giá sau đối với xác suất để được mở rộng từ
bởi kiến là:
⁄
∑ ( )
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(3.9)
Do đó, nếu gọi là xác suất để kiến tìm được ta có: ∏
Như vậy, ta có ước lượng xác suất tất cả kiến không tìm thấy trong lần lặp này như sau:
( ) ( ) Suy ra : ( ) . Định lý được chứng minh.
Chú ý. Nếu dùng quy tắc chuyển trạng thái cho bởi (2.7), dễ dàng nhận được: [ (
)]
Kí hiệu là xác suất tìm được lời giải trong bước lặp (hay ). Định lý sau là mở rộng của định lý 4.1 trong [65], đảm bảo tính hội tụ của thuật toán.
58
Định lý 3.2. Với mọi bé tuỳ ý, tồn tại sao cho với mọi ta đều có: .
Chứng minh. Theo mệnh đề 3.1, luôn tồn tại lời giải tối ưu . Từ định lý 3.1, ta có ngay ước lượng:
∏[ ] ( ( )) ( ) (3.10)
Biểu thức (3.10) cho ta kết luận của định lý khi chọn đủ lớn.