Ta thấy rằng trong thực tế, ở các bước lặp đủ lớn, khả năng xảy ra (và do đó, ) rất bé, nên có thể từ bước lặp có các cạnh không bao giờ thuộc vào hoặc luôn thuộc vào nó. Ta sẽ khảo sát đặc điểm của trong các trường hợp này.
Định lý 3.3. Giả sử cạnh thuộc vào lời giải chấp nhận được nào đó và tồn tại sao cho với thì các khẳng định sau đúng:
a) hội tụ theo xác suất tới nếu dùng quy tắc cập nhật mùi ACS. b) với mọi
nếu dùng quy tắc cập nhật mùi MMAS.
Chứng minh
a) ta cần chứng minh (| | ) . Công thức cập nhật mùi đia phương (3.2) có thể viết như sau:
59
Nếu từ bước lặp thứ cho đến bước lặp , cạnh được cập nhật cục bộ lần thì:
[ ]. Do đó, tồn tại đủ lớn để cho với mọi , ta có:
| | | [ ]| . Ta sẽ chứng minh .
Thực vậy, nếu đặt
ta có đánh giá sau đối với xác suất để cho kiến cập nhật cục bộ đối với cạnh ở mỗi bước lặp: . Do vậy xác suất của kiến không cập nhật địa phương cạnh ở mỗi bước lặp sẽ thoả mãn:
(3.11) Đặt , từ lần lặp thứ tới , có thể xem như có con kiến cập nhật cục bộ ngẫu nhiên cạnh với xác suất không cập nhật thoả mãn (3.11) trong bất cứ điều kiện nào. Lập luận tương tự như phép thử Béc_nu_li ta có đánh giá:
∑ (3.12) Do vậy (| | ) = = ∑ (đpcm) b) Với , ta có: { } { } (đpcm). Định lý 3.4. Giả sử cạnh thì các khẳng định sau đúng. a) Nếu cập nhật mùi theo ACS thì:
60
(3.13) b) Nếu cập nhật mùi theo MMAS thì:
(3.14)
Chứng minh
a) Ký hiệu là số lần cập nhật mùi cục bộ của cạnh trong bước lặp , khi đó ta có:
∑ [ ( ) ], tức là có một lần cập nhật toàn cục trong mỗi lần lặp. Do là hàm đơn điệu tăng theo , nên ta suy ra:
∑ ∑ [ ( ) ]
,
trong đó ∑ và với mọi Bởi vì với mọi nên : ∑ ∑ [ ( ) ]
Lấy giới hạn biểu thức này khi dần ra vô hạn, với lưu ý rằng qt , ta có biểu thức (3.13). Do vậy khẳng định a) đúng.
Khẳng định b) được chứng minh tương tự, khi lấy giới hạn biểu thức:
∑ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(3.15)