2. 3 Các dữ liệu cần thiết trong mô phỏng máy gia tốc cyclotron
3.2.5.Cƣờng độ điện trƣờng giữa hai vòng D
Điện trƣờng E và điện thế V giữa hai vòng cực cách nhau một khoảng d liên hệ với nhau bởi công thức:
(3.8)
Với giá trị V và d cho trƣớc ta sẽ xác định đƣợc giá trị E. Tuy nhiên V luôn phải lớn hơn một giá trị cực tiểu để đảm bảo điều kiện gia tốc hạt. Khi proton đến khe điện trƣờng, hạt nhận thêm một năng lƣợng nếu tại thời điểm đó pha của điện trƣờng nằm trong khoảng 00
đến 1800. Tuy nhiên, sau mỗi chu kỳ chuyển động proton luôn có xu hƣớng đến trễ pha hơn so với chu kỳ trƣớc đó. Vì vậy, proton thực hiện càng nhiều chu kỳ thì pha điện trƣờng sẽ dần dịch chuyển đến giá trị lớn hơn 1800
và gây ra sự hãm tốc. Đây là hiện tƣợng không mong muốn trong quá trình gia tốc hạt. Do đó, để không xảy ra hiện tƣợng này, số lƣợng chu kỳ của proton phải nhỏ. Để giảm số lần qua khe điện trƣờng của proton thì giá trị điện trƣờng E đủ lớn, hay điện thế V phải lớn hơn hoặc bằng một giá trị điện thế gới hạn Vmin.
Giá trị Vmin đƣợc xác định dựa vào độ lệch pha của proton sau mỗi chu kỳ theo công thức:
(3.9)
Thay các đại lƣợng bởi:
{
(3.10)
35
(
) (3.11)
và lần lƣợt là tần số góc của proton trong từ trƣờng đều B0 và từ trƣờng biến thiên B. ϕ là pha của điện trƣờng tại thời điểm proton đến khe điện trƣờng. Từ trƣờng biến thiên theo phƣơng bán kính nên B0 và B tƣơng ứng với các vị trí R0 và R. m là khối lƣợng của proton ở vị trí R.
Năng lƣợng proton nhận thêm sau mỗi chu kỳ là:
(3.12)
Phƣơng trình (3.12) có thể viết dƣới dạng sau:
(3.13)
Trong đó V0 = E0 d
Nhân hai vế phƣơng trình (3.13) với
, ta đƣợc: (3.14) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra độ lệch pha của proton sau mỗi chu kỳ là:
(3.15)
Đồng nhất hai vế của hai phƣơng trình (3.11) và (3.15) ta đƣợc:
(
) (3.16)
36
(3.17)
Lấy vi phân phƣơng trình (3.17) theo r2 ta có:
(3.18)
Thay dK trong phƣơng trình (3.18) vào phƣơng trình (3.16) và rút gọn ta đƣợc:
(
) (3.19)
Lấy tích phân hai vế phƣơng trình (3.19) từ thời điểm t0 = 0 đến thời điểm t tƣơng ứng với các giá trị của ϕ và R thì phƣơng trình (3.19) thành:
∫
(
) (3.20)
Phƣơng trình (3.20) tƣơng đƣơng với:
( (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
) (3.21)
Suy ra giá trị V0 đƣợc xác định bởi phƣơng trình:
(
) (3.22)
Giá trị V0 đạt cực tiểu khi giá trị biểu thức (cosϕ - cosϕ0) đạt cực đại. Nếu thiết lập pha ban đầu ϕ0 = , thì ϕ = 0. Do đó, biểu thức (3.22) trong điều kiện này có thể viết lại nhƣ sau:
37 ( ) (3.23)
Từ trƣờng đƣợc tạo từ hai cuộn solenoid nên cƣờng độ giảm theo phƣơng bán kính. Trong biểu thức (3.23), giá trị từ trƣờng B tƣơng ứng tại vị trí bán kính R. Từ trƣờng có giá trị gần nhƣ không đổi và bằng B0 trong khoảng 0 đến Rnc/2. Ngoài khoảng này, từ trƣờng giảm tuân theo quy luật của phƣơng trình (1.26).
Đối với máy cyclotron hội tụ yếu n = 0,3 [5]. Biểu thức (3.23) xác định điện thế cực tiểu để có thể gia tốc cho proton nên từ trƣờng chỉ xét trong khoảng đều. Nói cách khác giá trị B trong biểu thức (3.23) là B = B0 = 1Tvà R = R0 = Rnc/2. Do vậy, giá trị cực tiểu của điện thế là:
( ) ( ) (3.24) Trong đó: (3.25) và (3.26)
Thay các giá trị từ phƣơng trình (3.25) và (3.26) vào phƣơng trình (3.24) ta xác định đƣợc giá trị V0,min là:
(3.27)
Điện thế đặt vào hai vòng cực D có giá trị V0 > 530 KV. Giá trị điện thế đƣợc sử dụng trong luận văn là 600 KV. Vì khoảng cách giữa hai vòng D khoảng 10,16 cm nên suy ra cƣờng độ điện trƣờng cần thiết lập xấp xỉ khoảng 6 MV/m.
38