4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn
3.5.Phân tích hậu nghiệm
Thực nghiệm của chúng tôi được tiến hành vào tháng 9 năm 2014, với 125 học sinh gồm 3 lớp 11 trường THCS – THPT Tân Hòa, thành phố Biên Hòa, Đồng Nai.
Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích kết quả thu được của từng bài tập:
Bài 1: Tam giác ABC có AB = 5,35 cm, AC = 6,12 cm, 𝐴̂ = 610. Tính số đo của BC. Bạn Mai làm như sau:
Áp dụng định lí Cosin cho tam giác ABC, ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2AB. AC. cos𝐴̂
= 5,352 + 6,122 – 2. 5,35. 6,12. 0,48
≈34,64
BC ≈ 5,89 cm.
Nếu em là giáo viên, em hãy cho điểm bài làm của Mai theo thang điểm 10 và giải thích tại sao em lại cho điểm như vậy.
Bảng 3.4. Thống kê số lượng các chiến lược trong bài tập 1 Chiến lược Sk=2 Sk’=2 Sk≠2 Bỏ trống Tổng
Số lượng 102 12 4 7 125
Tỷ lệ 82% 9% 3% 6% 100%
Như vậy, có 102/125 học sinh chiếm 82% đồng ý với cách làm của Mai, tức là đồng ý việc làm tròn kết quả tính toán trung gian và kết quả tính toán cuối cùng đến 2 chữ số phần thập phân khi các số thập phân được cho trong đề bài đều có 2 chữ số phần thập phân. Mặc dù, việc làm tròn ngay kết quả trung gian như vậy sẽ làm cho kết quả cuối cùng có sai số nhiều hơn.
Chỉ có 12/125 học sinh, chiếm 9% cũng đồng ý với việc quy tròn kết quả tính toán cuối cùng đến 2 chữ số thập phân nhưng không đồng ý việc việc quy tròn kết quả trung gian với 2 chữ số thập phân. Mặc dù, không đưa ra lời giải thích tại sao nhưng học sinh mong muốn chọn giá trị của cos 610 khi sử dụng MTBT để giải bài toán tam giác trên. Trong đó, duy nhất 2 em chọn cos 610 = 0,485, tức là quy tròn kết quả trung gian đến 3 chữ số thập phân.
Chỉ có 4/125 học sinh chiếm 3% không đồng ý quy tròn các kết quả tính toán đến số chữ số phần thập phân k = 2 mà lại chọn k = 1.
Trong đó số học sinh ĐỒNG Ý và cho 10 điểm là 91/118(125 – 7 = 118) chiếm 77% và học sinh KHÔNG ĐỒNG Ý và cho điểm thấp hơn 5 điểm là 6/118 chiếm 5%.
Nhóm theo chiến lược Sk=2
H79: Học sinh H79 đồng ý hoàn toàn với việc quy tròn các kết quả tính toán đến 2 chữ số thập phân, việc chọn các giá trị trung gian đã làm tròn vào tính toán và đồng ý với kết quả tính toán cuối cùng sau khi đã làm tròn.
H83: Học sinh H83 ngoải việc đồng ý với cách làm của Mai, còn đặc biệt chú ý đến số các chữ số phần thập phân của các số thập phân được cho trong đề bài đều có k = 2 nên các kết quả tính toán cũng phải có k = 2.
Nhóm theo chiến lược Sk’=2
H56: không đồng ý với việc quy tròn cos 610 = 0,48 mà mong muốn quy tròn đến 3 chữ số phần thập phân, phải chăng là để hạn chế sai số.
H5: Học sinh H5 đồng ý với việc quy tròn kết quả tính toán cuối cùng với 2 chữ số phần thập phân nhưng chọn việc giữ nguyên giá trị cos 610 khi thay số vào công thức và tính toán trên MTBT. Khi đó, học sinh đã ghi lại các kết quả tính toán của mình vào đề bài như sau: BC2 = 34,32, BC ≈5, 85. H5 chưa thể đưa ra lý do vì sao chọn đáp số mới.
H37: Tương tự như H5, học sinh H37 cũng không đồng ý việc quy tròn cos 610 với lý do: " không đúng với công thức" và kết quả cuối cùng thì làm tròn đến 2 chữ số thập phân.
Nhóm theo chiến lược Sk≠2
H7: Học sinh H7 không đồng ý với việc quy tròn cos 610 đến 2 chữ số phần thập phân mà giữ nguyên giá trị của nó khi tính trên MTBT, khi đó BC2≈ 34,3 và mong muốn quy tròn kết quả tính toán cuối cùng với 1 chữ số phần thập phân.
Từ bảng thống kê trên đây cho thấy:
Số học sinh sử dụng chiến lược : quy tròn các kết quả tính toán cuối cùng đến
phần thập phân k = 2 chiếm ưu thế (91%) khi các số thập phân được cho trong đề
bài cũng có phần thập phân k = 2. Điều này cho phép chúng tôi kết luận HS bị ảnh hưởng bởi quy tắc hợp đồng R1.
Số học sinh cho điểm 10 khá nhiều (77%) và cho điểm dưới 5 khá ít (5%). Điều này chứng tỏ phần lớn học sinh đồng ý với việc quy tròn các kết quả tính toán đến số các chữ số phần thập phân giống như các số thập phân đã cho trong đề bài. Ngoài ra, phần nhỏ HS sử dụng chiến lược : giữ nguyên kết quả trung gian, chỉ
quy tròn kết quả tính toán cuối cùng với k = 2 (< 9%) không thể đưa ra lời giải (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
thích tại sao, chứng tỏ học sinh chưa quan tâm đến việc tính toáncác số gần đúng với sai số của nó hoặc kiến thức về sai số và số gần đúng đã bị xem nhẹ.
Bài 2: Trong một bài thực hành thí nghiệm môn Vật lí về việc đo khối lượng, sau khi cân trên 3 cái cân khác nhau, An thu được các kết quả như sau:
Lần 1 Lần 2 Lần 3
42, 15 kg 42,27 kg 42,11 kg
Giáo viên yêu cầu An tìm khối lượng trung bình và An trả lời là: 42,177 kg. Em có đồng ý với kết quả mà An đưa ra không? Tại sao?
Bảng 3.5. Thống kê số lượng các chiến lược cho bài tập 2 Chiến lược Sk=1 Sk=2 Sk=3 Sk=4 Bỏ trống Tổng
Số lượng 4 45 60 9 7 125
Tỷ lệ 3% 36% 48% 7% 6% 100%
Như vậy, có 60/125 học sinh chiếm 48% đồng ý với câu trả lời của An với lý do An đã áp dụng đúng công thức tính trung bình cộng các số đo khối lượng và dường như chưa để ý đến số các chữ số thập phân của các số liệu đã cho trong đề bài và trong kết quả mẫu của An.
Có 45/125 học sinh chiếm 36% không đồng ý với kết quả An đưa ra, mà mong muốn quy tròn kết quả với 2 chữ số phần thập phân. Còn 9/125 học sinh chiếm 7% chọn quy tròn kết quả với 4 chữ số phần thập phân với lý do giảm mức độ sai số và 4/125 học sinh mong muốn quy tròn 1 chữ số thập phân để ngắn gọn.
Nhóm chiến lược Sk=1
H8: Học sinh H8 mong muốn làm tròn với 1 chữ số thập phân, phải chăng là để kết quả được ngắn gọn mà không cần quan tâm đến sai số?
Nhóm chiến lược Sk=2
H56: Vì môn Vật Lý được nhắc đến trong đề bài, học sinh chọn quy tròn số với 2 chữ số thập phân với lý do: " Theo môn Lý chỉ có thể đổi ra đơn vị là sau dấu phẩy 2 chữ số" .
H10: không đồng ý với cách đưa ra kết quả của An mà chọn quy tròn kết quả với 2 chữ số phần thập phân.
Nhóm chiến lược Sk=3
H39: Hoàn toàn đồng ý với kết quả tính toán sau khi An đã quy tròn với 3 chữ số phần thập phân. Tuy kết quả tính toán là giá trị gần đúng nhưng học sinh lại sử dụng dấu " =" để thay cho dấu " ≈" .
Nhóm chiến lược Sk=4
H12: Học sinh mong muốn sai số của kết quả cuối cùng thấp hơn sai số của giá trị gần đúng có 4 chữ số thập phân.
Từ bảng thống kê trên cho thấy:
Trong tình huống ngắt quãng hợp đồng R1, có 36% học sinh bị ảnh hưởng bởi quy tắc hợp đồng R1.
Nhiều học sinh chưa hiểu được ý nghĩa sai số của số gần đúng: số gần đúng có số các chữ số phần thập phân càng ít thì sai số càng nhiều so với giá trị đúng của nó.
Bài 3: Một cái bảng hình chữ nhật có các cạnh là: x = 2,56m ± 1cm, y = 4,2m ± 2cm. Nếu lấy một sợi dây không giãn dài 14m cuốn quanh theo mép bảng thì cuộn được mấy vòng? Tại sao?
Bảng 3.6. Thống kê số lượng các chiến lược cho bài tập 3
Chiến lược S2TH S1TH STT Bỏ trống Tổng
Số lượng 11 38 14 62 125
Tỷ lệ 9% 30% 11% 50% 100%
Như vậy, có 63/125 chiếm 50% sử dụng các chiến lược để tìm đáp án cho bài toán, còn 50% còn lại bỏ trống. Chỉ có 11/125 học sinh chiếm 9% hiểu được kí hiệu a ± d nên sử dụng chiến lược 2 trường hợp S2TH, còn 14 học sinh thực hiện chiến lược tính toán trực tiếp STTvới các số trước và sau dấu " ±" rồi sau đó ghép các kết quả lại. Đặc biệt, 38/125 học sinh
chiếm 30% giải toán mà không cần quan tâm đến độ chính xác đi kèm với các số thập phân. Những điều này cho thấy học sinh chưa có thói quen tính toán với các số gần đúng đi kèm với độ chính xác của nó, giúp chúng tôi khẳng định giả thuyết R2. Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy học sinh chưa quan tâm đến số các chữ thập phân của các số gần đúng được cho trong đề bài.
Nhóm chiến lược S2TH (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H112: hiểu được ý nghĩa của các số liệu cho bởi dạng x = a ± d tức là a – d < x < a+ d nên học sinh tìm 2 giá trị min và max của chu vi.
H14: Tương tự, H14 sau khi xác định cận trên và cận dưới của các cạnh của bảng hình chữ nhật, học sinh xác định cận trên và dưới của chu vi cái bảng, rồi so sánh với chiều dài sợi dậy không giãn.
Nhóm chiến lược S1TH
H79: Học sinh không quan tâm đến độ chính xác đi kèm với số gần đúng, và chỉ tính toán trên các số đo cạnh gần đúng.
Nhóm chiến lược STT
H16: Học sinh tính toán riêng biệt trên các số đo cạnh gần đúng và độ chính xác của nó rồi sau đó ghép lại để tìm chu vi cái bảng hình chữ nhật.
H17: Tương tự như H16, sau khi đạt được kết quả chu vi có dạng a ± d, học sinh lập phép chia và so sánh với 1.
Kết luận
Kết quả thực nghiệm thu được đã cho phép chúng tôi hợp thức được các giả thuyết đã đề cập ở đầu chương:
H1: Tồn tại nơi học sinh trong thể chế dạy học Toán ở phổ thông quy tắc hợp đồng sau:
R: Đối với những bài toán mà trong đó các số liệu được cho đều có k chữ số thập phân sau dấu phẩy và không có yêu cầu nào khác thì học sinh có nhiệm vụ quy tròn các kết quả tính toán đến k chữ số thập phân.
H2: Học sinh không có thói quen thao tác trên các số liệu được cho có dạng a ± d tức là số gần đúng đi kèm với độ chính xác của nó.
Trong tình huống ngắt quãng hợp đồng R2, với các số liệu của đề bài có dạng thập phân với số các chữ số sau dấu phẩy đều bằng k thì tồn tại một bộ phận học sinh sẽ quy tròn kết quả tính toán với k chữ số phần thập phân.
Ngoài ra, học sinh chưa hiểu được: số các chữ số phần thập phân của một số gần đúng càng nhiều thì sai số càng ít so với giá trị đúng của nó.
KẾT LUẬN
Các nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 cho phép chúng tôi giải đáp những câu hỏi liên quan tới đối tượng số gần đúng và sai số được đặt ra trong phần Mở đầu. Cụ thể, chúng tôi đã thu được những kết quả chính sau:
Chương 1, các nghiên cứu khoa học luậncho phép chúng tôi khẳng định:
- Đối tượng số gần đúng không thể tách rời khỏi khái niệm sai số. Sai số có nguồn gốc từ thiên văn học. Có 4 loại sai số: sai số giả thiết, sai số số liệu, sai số phương pháp, sai số tính toán. Sai số giả thiết là loại sai số xuất hiện do việc giả định bài toán đang xét thỏa mãn một số điều kiện ban đầu nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán. Sai số số liệu là loại sai số xuất hiện do việc đo đạc hoặc cung cấp số liệu ban đầu không chính xác. Sai số phương pháp là loại sai số do phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản hơn. Sai số tính toán là loại sai số tích lũy trong quá trình thực hiện các phép toán: bao gồm sai số của bản thân các số, sai số do việc quy tròn số trong quá trình tính toán ở các bước trung gian.
- Để đánh giá một số gần đúng, người ta định nghĩa các khái niệm: sai số tuyệt đối hay sai số tuyệt đối giới hạn, sai số tương đối hay sai số tương đối giới hạn. Các khái niệm này được trình bày trong các giáo trình đại học theo hai quan điểm: "đẳng thức" và "bất đẳng thức".
- Không xuất hiện thuật ngữ "độ chính xác của số gần đúng" như trong sách giáo khoa ở phổ thông.
-Về mặt toán học mọi số đều là số gần đúng của nhau với một sai số nào đó nên khi viết một số gần đúng mà không kiểm soát được độ chính xác của số ấy thì nó không có giá trị sử dụng. Do đó, các giáo trình đại học tuân thủ nghiêm ngặt hai cách viết:
Viết số gần đúng không kèm theo độ chính xác thì phải đảm bảo mọi chữ số của số gần đúng đều là chữ số chắc chắn.
-Có 5 kiểu nhiệm vụ liên quan tới số gần đúng và sai số:
o TLT-k: Làm tròn số với k chữ số thập phân (k∈ 𝑁∗).
o Tt: Thực hiện phép tính với các số gần đúng.
o TSS: Tính sai số tương đối (sai số tuyệt đối) của số gần đúng khi biết sai số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó.
o TƯLSS: Ước lượng sai số tuyệt đối, sai số tương đối của các phép toán với số gần đúng.
o TCSC: Xác định các chữ số chắc (chữ số đáng tin) của số gần đúng khi biết sai số tuyệt đối (sai số tương đối) của nó.
Chương 2, các phân tích thể chế cho thấy:
-Trong 4 loại sai số, sách giáo khoa hiện hành Đại số 10 chỉ đề cập đến sai số tính toán, là sai số tích lũy trong quá trình thực hiện tính toán. Khái niệm sai số tuyệt đối và sai số tương đối được trình bày theo quan điểm thứ hai: quan điểm đẳng thức. Thuật ngữ "độ chính xác của số gần đúng" xuất hiện như một khái niệm. Các khái niệm: chữ số chắc, cách viết số gần đúng và quy tắc làm tròn số được trình bày giống như trong tri thức luận. Ngoài ra, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao đã có giải thích rõ độ chính xác của số gần đúng khi áp dụng quy tắc làm tròn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sau khi phân tích SGK và SBT Đại số 10 cơ bản và nâng cao, chúng tôi tìm được các kiểu nhiệm vụ sau:
• TLT-k: Làm tròn số với k chữ số thập phân
• TLT-d: Làm tròn số khi biết độ chính xác của nó
• TLT-t: Làm tròn số sau khi tính toán
• Td1: Ước lượng sai số tuyệt đối của số gần đúng
• TCT: Chứng tỏ độ chính xác của số gần đúng không vượt quá số d cho trước
• Tt2: Tính sai số tương đối của số gần đúng
• TCSC: Xác định các chữ số chắc của số gần đúng
• TKH: Tính và viết kết quả dưới dạng ký hiệu khoa học
• TCM: Chứng minh kết quả các phép toán bằng một số có dạng 𝑎̅ = 𝑎 ± 𝑑 cho trước.
-Kiểu nhiệm vụ TLT: "Làm tròn số" xuất hiện nhiều nhất trong các kiểu nhiệm vụ và chỉ riêng nó còn tồn tại trong các sách giáo khoa Toán phổ thông Hình học và Đại số. Đặc biệt, trong các chủ đề về giải phương trình, hệ phương trình, giải tam giác và thống kê, kiểu nhiệm vụ này luôn đi chung với kiểu nhiệm vụ Tt: "Thực hiện phép tính" vì sau khi tính toán, kết quả cuối cùng ở dạng thập phân được làm tròn đến k chữ số thập phân sau dấu phẩy.
-Thể chế ở phổ thông hiện hành không trình bày các quy tắc xác định sai số của các phép