4. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn
3.1.Mục đích thực nghiệm
Lời giải mong đợi:
Cách 1:37. √14 ≈ 8 183,0047
Cách 2:
37 = 2 187 ;√14 ≈ 3,7417
37. √14 ≈ 8 183,0979
Cách 3: [13, tr.23]
Ấn
Ấn liên tiếp phím MODE cho đến khi màn hình hiện ra
Ấn liên tiếp 14 để lấy 4 chữ số ở phần thập phân. Kết quả hiện ra trên màn hình là 8183. 0047
Nhận xét:
-Việc dùng kỹ thuật khác nhau có thể cho kết quả khác nhau. Nếu sử dụng kỹ thuật
𝜏𝑡2, kết quả cuối của phép tính sẽ kém chính xác hơn so với việc sử dụng kỹ thuật
𝜏𝑡1 vì nó có thêm sai số của các kết quả trung gian. Với kỹ thuật 𝜏𝑡3, ta sử dụng chức năng định trước độ chính xác của MTBT.
-Sau khi thực hiện kiểu nhiệm vụ Tt , đề bài không yêu cầu tìm độ chính xác hay ước lượng sai số tuyệt đối của kết quả tính toán. Điều này có thể kiến học sinh không quan tâm đến độ chính xác của kết quảcuối cùng theo mỗi kĩ thuật.
2.4. Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao
Về mục tiêu giảng dạy, thể chế mong muốn học sinh biết ba khái niệm cơ bản: sai số tuyệt đối, sai số tương đối, độ chính xác của số gần đúng.
" Giúp học sinh : Về kiến thức
- Nhận biết được tầm quan trọng của số gần đúng, ý nghĩa của số gần đúng
- Nắm được thế nào là sai số tuyệt đối, sai số tương đối, độ chính xác của số gần đúng, biết dạng chuẩn của số gần đúng.
Về kĩ năng
- Biết cách quy tròn số, biết xác định các chữ số chắc chắn của số gần đúng
- Biết dùng kí hiệu khoa học để ghi những số rất lớn và rất bé." [10, tr.58]. Trong khi SGK ban cơ bản chỉ cần học sinh nắm vững khái niệm sai số tuyệt đối và độ chính xác của số gần đúng thì sách giáo khoa ban nâng cao đòi hỏi yêu cầu cao hơn về kiến thức và cả kĩ năng. Ngoài việc nhận thức được tầm quan trọng và ý nghĩa của số gần đúng, thể chế nâng cao còn muốn giúp học sinh nắm được các kĩ năng: quy tròn số, xác định các chữ số chắc và sử dụng các kí hiệu khoa học đối với
số gần đúng. Bên cạnh đó, thể chế khuyến khích học sinh sử dụng MTBT để tiện cho việc tính toán số gần đúng.
"Với máy tính bỏ túi, việc tính toán đã trở nên đơn giản và có độ chính xác cao, kết quả tính toán có thể lấy chính xác đến hàng phần nghìn, phần vạn, phần triệu hay phần tỉ … ứng với việc ta quy tròn kết quả đó trên máy tính tới hàng tương ứng."
[10, tr.58]. Với các chức năng của MTBT, đặc biệt là chức năng định trước độ chính xác của kết quả có thể trở thành một phương tiện đắc lực giúp học sinh tính toán nhanh và kết quả chính xác cao với các số gần đúng. Nhưng thể chế không đặt yêu cầu về sai số của các phép tính trung gian. Phải chăngsách giáo khoa hoàn toàn không đề cập đến vấn đề này?
Cũng với thời lượng hai tiết dạy, SGK ban cơ bản chỉ có ba nội dung chính, nhưng sách giáo khoa ban nâng cao bao gồm các nội dung sau: số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối, số quy tròn, chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng, kí hiệu khoa học của một số.
I – SỐ GẦN ĐÚNG
Các ví dụ và hoạt động được trình bày nhằm mục đích thể hiện tầm quan trọng của số gần đúng trong thực tiễn: "Trong nhiều trường hợp, ta không biết được giá trị đúng của đại lượng ta quan tâm mà chỉ biết giá trị gần đúng của nó" .
II – SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI
Thể chế đã thể hiện ý nghĩa của sai số tuyệt đối trong khái niệm được trình bày trong sách giáo khoa. Khái niệm này theo quan điểm " đẳng thức" và giống như SGK ban cơ bản:
" Giả sử a là giá trị đúng của một đại lượng và a là số gần đúng của số đúnga. Giá trị |𝑎̅ − 𝑎| thể hiện độ sai lệch giữa a và a. Ta gọi |𝑎̅ − 𝑎| là sai số tuyệt đối của số gần đúng a và kí hiệu là ∆𝑎 , tức là:∆𝑎= |𝑎̅ − 𝑎|.” [9, tr.24].
Ngoài ra, thể chế cũng giải thích lí do để đưa vô khái niệm độ chính xác d của số gần đúng và ý nghĩa của cách viết 𝑎̅ = 𝑎 ± 𝑑 bằng kiến thức tập hợp đã học ở bài trước.
"Như vậy, khi viết 𝑎̅ = 𝑎 ± 𝑑 , ta hiểu số đúng 𝑎̅ nằm trong đoạn [a – d ; a + d]. Bởi vậy, d càng nhỏ thì độ sai lệch giữa số gần đúng a và số đúnga càng ít. Thành thử d được gọi là độ chính xác của số gần đúng."
[9, tr.25]. Tương tự như sách giáo khoa ban cơ bản, thể chế không không đưa ra điều kiện ràng buộc nào cho d. Vì vậy, độ chính xác d của một số gần đúng là một số dương không duy nhất. Đối với việc so sánh độ chính xác của hai phép đo đạc hay tính toán, sai số tuyệt đối chưa đủ để phản ánh tính chính xác của chúng. Do đó, để khắc phục "khuyết điểm" này, khái niệm sai số tương đối được đưa vào như sau:
" Sai số tương đối của số gần đúng a, kí hiệu là δa , là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và
|𝑎|, tức là 𝛿𝑎 = ∆𝑎
|𝑎|. " [9, tr.25].
Ngoài công thức để tính sai số tương đối, thể chế còn đánh giá nó qua độ chính xác d vì khái niệm đưa ra chỉ mang tính lí thuyết, trên thực tế nhiều khi ta không thể tính được chính xác ∆𝑎. Tỉ lệ |𝑎|𝑑 càng nhỏ thì sai số giữa số gần đúng và số đúng càng nhỏ.
𝛿𝑎 ≤ 𝑑 |𝑎|
" Nếu 𝑑
|𝑎| càng nhỏ thì chất lượng của phép đo đạc hay tính toán càng cao.
Người ta thường viết sai số tương đối dưới dạng phần trăm. " [9, tr.25]. III – SỐ QUY TRÒN
Ngoài việc đưa ra quy tắclàm tròn một số đến hàng quy tròn như sách giáo khoa ban cơ bản, thể chế nâng cao còn trình bày yếu tố lý thuyết để giải thích cho công nghệ này.
" Nhận xét. Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Như vậy, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn." [9, tr.26].
Do đó, khi ta làm tròn một số đến hàng quy tròn nào đó, độ chính xác của số quy tròn sẽ là𝑑 =1
2. 10𝑘, 𝑘 ∈ 𝒁. Hai ví dụ 3 và 4 đã minh họa cụ thể cho kĩ thuật và công nghệ này.
"Ví dụ 3. Nếu quy tròn số 7216,4 đến hàng chục thì chữ số ở hàng quy tròn là 1, chữ số ngay sau đó là 6; do 6 > 5 nên ta có số quy tròn là 7220.
Ví dụ 4. Nếu quy tròn số 2,654 đến hàng phần trăm (tức là chữ số thứ hai sau dấu phẩy) thì chữ số ngay sau hàng quy tròn là 4; do 4 < 5 nên số quy tròn là 2,65. Ta thấy trong ví dụ 3 và ví dụ 4, sai số tuyệt đối lần lượt là
|7216,4 − 7220| = 3,6 < 5;
|2,654 − 2,65| = 0,004 < 0,005." [9, tr.26].
Ngoài ra, yếu tố lí thuyết để giải thích thêm cho công nghệ trên được trình bày trong phần CHÚ Ý:
" 1) Khi quy tròn số đúng a đến một hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận được là chính xác đến hàng đó. Chẳng hạn, số gần đúng của chính xác đến hàng phần trăm là 3,14; số gần đúng của 2chính xác đến hàng phần nghìn là 1,414. "
[9, tr.26]. Tuy nhiên, khi kết quả của việc tính toán phải qua nhiều bước trung gian, ở mỗi bước ta đều tiến hành làm tròn số thì kết quả tính toán cuối cùng (có được từ việc thực hiện các tính toán với các số gần đúng trung gian) quy tròn đến hàng nào chưa chắc cho kết quả chính xác đến hàng đó. Vì vậy, thể chế đã phát biểu một kĩ thuật để " giải quyết vấn đề này" trong CHÚ Ý:
" 2) Nếu kết quả cuối cùng của bài toán yêu cầu chính xác đến hàng 101𝑛 thì trong
quá trình tính toán, ở kết quả của các phép tính trung gian, ta cần lấy chính xác ít nhất đến hàng 101𝑛+1 ." [9, tr.26].
Còn khi quy tròn một số mà không nói rõ là quy tròn đến hàng nào thì ta áp dụng kĩ thuật sau :
"3) Cho số gần đúng a với độ chính xác d (tức là a a d). Khi được yêu cầu quy
tròn số a mà không nói rõ đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng thấp nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó." [9, tr.27].
IV – CHỮ SỐ CHẮC VÀ CÁCH VIẾT CHUẨN SỐ GẦN ĐÚNG
Hai khái niệm chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng chỉ được trình bày trong sách giáo khoa ban nâng cao. Thể chế đã đưa vào khái niệm chữ số chắc theo quan điểm thứ nhất đã trình bày trong chương 1.
" Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d. Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. " [9, tr.27].
Như vậy, việc tìm các chữ số chắc của số gần đúng sẽ liên quan đến độ chính xác d của nó. Ngay sau khái niệm, sách giáo khoa còn đưa ra nhận xét về các chữ số chắc và không chắc.
"Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc." [9, tr.27].
Có hai cách viết số gần đúng. Cách thứ nhất: 𝑎̅ = 𝑎 ± 𝑑,cách này đòi hỏi phải biết độ chính xác d của số gần đúng 𝑎. Cách thứ hai là viết dạng chuẩn của số gần đúng:
"Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ số chắc.
Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k, trong đó A là số nguyên, k là hàng thấp nhất có chữ số chắck ." [9, tr.27-28].
Để viết cách thứ hai ta phải biết các chữ số chắc, và khi số gần đúng được viết dưới dạng chuẩn ta cũng sẽ biết được độ chính xác của nó. Phải chăng học sinh sẽ ưu tiên dùng cách này vì chỉ cần viết số đúng 𝑎̅ ≈ 𝑎 là đủ?
"Ví dụ 6. Cho một giá trị gần đúng của 5được viết dưới dạng chuẩn là 2,236
( 52, 236). Ở đây, hàng thấp nhất có chữ số chắc là hàng phần nghìn nên độ
chính xác của nó là 1103 0, 0005 2
.
Do đó, ta biết được 2, 236 0, 0005 52, 236 0, 0005. " [9, tr.27].
Chỉ riêng sách giáo khoa ban nâng cao nhắc nhở HS về ý nghĩa của các chữ số 0 ở phần thập phân được viết dưới dạng chuẩn. Hai số gần đúng có giá trị như nhau nhưng có thể có độ chính xác khác nhau.
"Với quy ước về dạng chuẩn số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dưới dạng chuẩn có ý nghĩa khác nhau. Số 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn số gần đúng 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005." [9, tr.28].
Vậy phải chăng các học sinh học sách giáo khoa ban cơ bản không được nhắc đến và không quan tâm đến độ chính xác của các số gần đúng trong trường hợp này?
V – KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ
Có những số gần đúng rất lớn như khối lượng Trái Đất hoặc rất bé như khối lượng nguyên tử Hiđrô. Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để viết gọn lại những đại lượng này.
"Mỗi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng 𝛼. 10𝑛, trong đó 1 ≤ |𝛼| < 10, 𝑛 ∈ 𝒁. .
2.5. Tổ chức toán học
a) Kiểu nhiệm vụ TLT-k: Làm tròn số với k chữ số thập phân (k∈ 𝑵∗). Kỹ thuật 𝝉𝑳𝑻−𝒌:
-Sử dụng MTBT để a̅có dạng thập phân.
-Làm tròn kết quả trên màn hình đến hàng quy tròn hoặc với k chữ số thập phân.
Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝑳𝑻−𝒌:Quy tắc làm tròn số.
Ví dụ: [9, tr.29]
Sử dụng máy tính bỏ túi:
a) Hãy viết giá trị gần đúng của √23 chính xác đến hàng phần trăm và hàng
phần nghìn.
b) Viết giá trị gần đúng của 3√100 chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần
nghìn.
Lời giải mong đợi: [10, tr.59]
a) Bấm máy tính 3√2 , trên màn hình hiện số 1,259 921 05. Vậy 3√2≈ 1,26
(chính xác đến hàng phần trăm) và √23 ≈ 1,260 (chính xác đến hàng phần
nghìn).
b) 3√100 ≈ 4,641 588 834. Vậy √1003 ≈ 4,64 (chính xác đến hàng phần trăm)
và √1003 ≈ 4,642 (chính xác đến hàng phần nghìn).
b) Kiểu nhiệm vụ Td1: Ước lượng sai số tuyệt đối của số gần đúng.
Kỹ thuật 𝝉𝒅𝟏và Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝒅𝟏:tham khảo mục 2. 3d, trang 26 – 27.
Ví dụ: [9, tr.29]
Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số 22
7 để xấp xỉ số 𝜋. Hãy đánh
giá sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này, biết 3,1415<𝜋< 3,1416.
Lời giải mong đợi: [10, tr.59]
Vì 22
7< 3,1429 và 𝜋> 3,1415 nên ∆= |𝜋 −22
7| = 22
7 – 𝜋< 3,1429 – 3,1415 = 0,0014.
c) Kiểu nhiệm vụ TCT: Chứng tỏ độ chính xác của𝒂 không vượt quá một số d cho trước.
Kỹ thuật 𝝉𝑪𝑻:
-Sử dụng kỹ thuật 𝜏𝑑 để tìm d.
Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝑪𝑻:Khái niệm độ chính xác của số gần đúng.
Ví dụ: [9, tr.33]
Cho biết giá trị gần đúng của số 𝜋 với 10 chữ số thập phân là 𝜋 ≈ 3,1415926535.
a) Giả sử ta lấy giá trị 3,14 làm giá trị gần đúng của 𝜋 . Chứng tỏ sai số tuyệt
đối không vượt quá 0,002.
b) Giả sử ta lấy giá trị 3,1416 làm giá trị của 𝜋 . Chứng tỏ sai số tuyệt đối không
vượt quá 0,0001.
Lời giải mong đợi: [10, tr.62]
a) |𝜋 − 3,14| = 𝜋 − 3,14 < 3,1416 − 3,14 < 0,002.
b) |𝜋 − 3,1416| = 3,1416 − 𝜋 < 3,1416 − 3,1415 = 0,0001.
d) Kiểu nhiệm vụ Tt2:Tính sai số tương đối của 𝒂.
Kỹ thuật 𝝉𝒕𝟐:
-Tính sai số tuyệt đối ∆𝑎= |𝑎̅ − 𝑎|
-Sai số tương đối 𝛿𝑎 = ∆𝑎
|𝑎|
Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝐭𝟐:Khái niệm sai số tương đối.
Ví dụ: [11, tr.12]
Cho 𝑎̅ = 1
1+𝑥 , 0 < 𝑥 < 1 . Giả sử ta lấy số 𝑎 = 1- x làm giá trị gần đúng của 𝑎̅ .
Hãy tính sai số tương đối của 𝑎 theo x.
Lời giải mong đợi: [11, tr.23]
∆a= 1
1+x− (1 − x) = x2
1+x . Sai số tương đối là δa = ∆a
1−x = x2 1−x2 .
e) Kiểu nhiệm vụ TCSC: Xác định các chữ số chắc của số gần đúng. Kỹ thuật 𝝉𝑪𝑺𝑪:
-Tìm k để 𝑑 ≤1
2. 10𝑘, 𝑘 ∈ 𝒁
-Các chữ số bên trái chữ số hàng thứ k là chữ số chắc.
Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝑪𝑺𝑪: Khái niệm và nhận xét về chữ số chắc.
Ví dụ: [10, tr.33]
Một hình lập phương có thể tích là V = 180,57 𝑐𝑚3± 0,05 𝑐𝑚3. Xác định các chữ
số chắc của V.
Lời giải mong đợi: [10, tr.62]
f) Kiểu nhiệm vụ TKH: Tính và viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. Kỹ thuật 𝝉𝑲𝑯:
-Sử dụng MTBT để tính kết quả phép toán.
-Viết kết quả dưới dạng 𝛼. 10𝑘, 1 ≤ |𝛼| < 10, 𝑘 ∈ 𝒁.
Công nghệ - Lý thuyết 𝜽𝑲𝑯:Khái niệm kí hiệu khoa học.
Ví dụ: [9, tr.29]
Một đơn vị thiên văn xấp xỉ bắng 1,496. 108 km. Một trạm vũ trụ di chuyển với vận
tốc trung bình là 15000 m/s. Hỏi trạm vũ trụ đó phải mất bao nhiêu giây mới đi được một đơn vị thiên văn? (Hãy viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học).
Lời giải mong đợi: [10, tr.60]