2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình ph
2.5. Các trường vectơ hoàn toàn liên tục
Có nhiều cách khác nhau để khẳng định sự tồn tại nghiệm của một phương trình. Chẳng hạn, nếu f ∈ C[a, b] và f(a)f(b) < 0, thì định lý giá trị trung bình khẳng định sự tồn tại của một nghiệm trong đoạn [a, b] của phương trình f(x) = 0. Ta chuyển định lý này thành định lý tồn tại điểm cố định sau. Cho T : [a, b] → [a, b] liên tục, khi đó, x = T(x) có nghiệm là điểm bất động trong đoạn [a, b]. Điều này có thể chứng minh bằng cách qui về trường hợp ở trước f(x) ≡ x−T(x).
Định lý 2.26. (Định lý điểm bất động Brouwer)
Cho K ⊂ Rd là tập đóng lồi bị chặn và T : K → K là ánh xạ liên tục. Khi đó T sẽ có ít nhất một điểm bất động trong tập K.
Ta sẽ khái quát trên không gian Banach vô hạn chiều.
Ví dụ 2.5: Cho V là một không gian Hilber với cơ sở trực chuẩn {ϕj}j≥1. Khi đó, với v ∈ V, ta có v = ∞ X j=1 αjϕj, ||v|| = v u u t ∞ X j=1 |αj|2. K là hình cầu đơn vị trong V
Cho tham số k > 1, chọn một tham số thứ hai t < 1 thỏa mãn 0< t < pk2 −1. Kí hiệu T : K → K T(v) = t(1− ||v||V)ϕ1 + ∞ X j=1 αjϕj+1, v ∈ K. (2.57) Có thể chứng minh T là liên tục Lipschitz trên K, với
||T(v)−T(w)|| ≤ k||v −w||, v, w ∈ K. (2.58) Hơn nữa, miền K là lồi, đóng và bị chặn. Tuy nhiên, T không có điểm bất động.
Định nghĩa 2.27. Cho T : K ⊂ V → W, với V, W là hai không gian Banach. Chúng ta nói T là compact nếu với mọi tập bị chặn B ⊂ K, tập T(B) là tập compact tương đối trong W. Nếu T vừa compact vừa liên tục thì T được gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
Khi T là toán tử tuyến tính, T compact, suy ra T bị chặn; do đó T
liên tục. Điều này, nói chung, không còn đúng khi T phi tuyến; tính chất liên tục của T phải được giả định riêng. Một số tác giả yêu cầu tính liên tục trong định nghĩa T compact. Định nghĩa trên trình bày một cách khái quát hơn định lý 2.12.
Định lý 2.28. (Định lý điểm bất động Schauder)
Cho V là một không gian Banach, K ⊂ V là lồi đóng bị chặn. Cho T : K → K là toán tử hoàn toàn liên tục. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động trong K.
Khi giải phương trình liên quan đến hàm phi tuyến khả vi
phương pháp tiếp tuyến thường dùng là “tuyến tính hóa”. Nghĩa là, chúng ta thay hàm phi tuyến bằng một xấp xỉ Taylor
T(v) ≈ T(v0) +T0(v0)(v −v0). (2.60) Chọn một số điểm v0 thích hợp, khi đó phương trình (2.59) được viết lại như sau
(I −T0(v0))(v −v0) ≈T(v0)−v0. (2.61) Phương pháp tuyến tính này thường dùng để phân tích sự hội tụ của phương pháp xấp xỉ khi giải phương trình (2.59). Nó cũng là cơ sở của phương pháp Newton giải (2.59).
Từ xấp xỉ (2.61), chúng ta xét các tính chất của T0(v0) và có các kết quả sau. Từ đó, chúng ta áp dụng định lý loại trừ Fredholm đối với toán tử
I −T0(v0).
Mệnh đề 2.29. Cho V là một không gian Banach và K ⊂ V là một tập mở. Giả sử T : K → V là một toán tử hoàn toàn liên tục, và khả vi tại v0 ∈ K. Khi đó T0(v0) là toán tử compact từ V vào V.
Các khái niệm về vòng quay của một ánh xạ phi tuyến là kết quả khá sâu sắc và phức tạp của một cấu trúc liên kết. Ở đây, ta xét các tính chất chính của "vòng quay" này. Cho T : K ⊂ V → V, với V là một không gian Banach, và giả sử T là hoàn toàn liên tục trên K. Chúng ta gọi
Φ(v) ≡ v −T(v), v ∈ K
là trường vector hoàn toàn liên tục tạo ra bởi T (hoặc Φ). Cho B là một tập con mở, bị chặn của K; S là biên của nó, và giả sử
B ≡ B ∪S ⊂ K.
Giả thiết T không có điểm cố định trên biên S. Theo giả sử trên, có thể xác định vòng quay của T (hoặc Φ) trên S. Nó là một số nguyên, ký hiệu là Rot(Φ) với các tính chất sau:
• Nếu Rot(Φ)6= 0, khi đó T có ít nhất một điểm bất động trong tập B.
• Giả sử có một hàm X(v, t) xác định, cho v ∈ B và 0 ≤ t ≤ 1, và giả sử nó có các tính chất sau:
(a) X(v,0) ≡ Φ(v), v ∈ B.
(b) X(., t) là hoàn toàn liên tục trên B với mỗi t ∈ [0,1]. (c) Với mỗi v ∈ S, X(v, t) là liên tục đều trong t.
(d) v −X(v, t) 6= 0 với mọi v ∈ S và 0≤ t ≤ 1.
Khi đó Rot(Φ) = Rot(Ψ), trong đó Ψ(v) ≡ v −X(v,1). Ánh xạ X
được gọi là đồng luân, và tính chất này cho biết vòng quay của một trường vector hoàn toàn liên tục là bất biến theo đồng luân.
• Cho v0 là một điểm cô lập cố định của T trong K. Khi đó với tất cả lân cận đủ nhỏ của v0, Rot(Φ) trong lân cận đó là hằng số; nó được gọi là chỉ số của điểm cố định v0. Nếu mọi điểm cố định của T trên
B đều bị cô lập thì số lượng những điểm cố định như vậy là hữu hạn, gọi chúng là v1, v2, . . . vr. Hơn nữa, Rot(Φ) bằng tổng của các chỉ số của mỗi điểm cố định v1, v2, . . . vr.
• Cho v0 là một điểm cố định của T, và giả sử T có đạo hàm Fréchet liên tục T0(v) với mọi v ở một số lân cận của v0. Giả sử 1 không là giá trị riêng của v0, thì chỉ số của v0 là khác không. Nói cách khác nó tương đương (−1)β với β bằng giá trị thực dương của T0(v0), lớn hơn 1. Tính theo bội số của chúng. Ngoài ra, điểm cố định v0 bị cô lập.