2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình ph
2.3.1. Đạo hàm Frechet và Gauteaux
Trước tiên, ta nhớ lại định nghĩa đạo hàm của một hàm thực. Cho I là một khoảng trên R và x0 một điểm trong của I. Hàm f : I →R là khả vi tại x0 nếu tồn tại
f0(x0) = lim h→0 f(x0 +h)−f(x0) h , (2.34) hoặc f(x0 +h) = f(x0) +ah+o(|h|) khi h →0. (2.35) Lúc đó f0(x0) = a được gọi là đạo hàm của hàm f tại x0. Hai định nghĩa là tương đương, và định nghĩa (2.34) nhìn đơn giản hơn (2.35). Tuy nhiên, định nghĩa (2.35) cho thấy rõ bản chất của vi phân (địa phương) là tuyến tính. Hơn nữa, dạng (2.35) có thể được mở rộng trực tiếp để xác định đạo hàm của một hàm tổng quát, trong khi dạng (2.34) dùng để xác định đạo hàm theo hướng hoặc đạo hàm từng phần của các hàm số.
Cho K là một tập con của không gian Rd với x0 là điểm trong,
f :K → Rm. Từ (2.35), ta nói f là khả vi tại x0 nếu tồn tại một ma trận (toán tử tuyến tính) A ∈ Rm×d sao cho:
f(x0 +h) = f(x0) +Ah+o(||h||) khi h → 0, h ∈ Rd. (2.36) Ta chứng minh rằng A = 5f(x0) = (Aij), Gradient hoặc Jacobi của hàm f tại x0 là:
Aij = ∂fi
∂xi 1< i < m,1 < j < d.
Khó khăn trong việc mở rộng tính khả vi của hàm đa biến ở (2.34), đó là làm thế nào để mở rộng được ý nghĩa của tỷ sai phân [f(x0 + h)−f(x0)]
h
khi h là một vector. Trong khi, từ (2.34) có thể trực tiếp mở rộng để có được các khái niệm về đạo hàm theo hướng. Ta không tuyến tính hóa các hàm số theo tất cả các hướng của biến x dần đến x0; đúng hơn, chúng ta
tuyến tính hóa hàm số theo một hướng cố định đối với x0. Bằng cách này ta chỉ cần giải hàm vector của một biến thực, và khi đó, tỷ sai phân (2.34) có nghĩa. Cụ thể hơn, chúng ta có h là một vector cố định trong Rd, và chúng ta xem xét hàm f(x0 +h), t ∈ R trong một lân cận của 0. Khi đó, ta nói f là khả vi tại x0 đối với h, nếu có một ma trận A sao cho
lim
t→0
f(x0 +th)−f(x0)
t = Ah. (2.37)
Trong trường hợp ||h|| = 1, ta gọi lượng Ah là đạo hàm theo hướng của f
tại x0 theo hướng h. Thấy rằng nếu f khả vi tại x0 theo định nghĩa (2.36), thì (2.37) luôn thỏa mãn. Nhưng ngược lại không đúng. Cho h ∈ Rd bất kì thỏa mãn (2.37) nhưng không thỏa mãn (2.36).
Bây giờ, chúng ta chuyển sang trường hợp của một toán tử f : K ⊂ V → W giữa hai không gian định chuẩn V và W. Chúng ta qui ước rằng khi nói đến tính khả vi tại một điểmu0 thì ta coi như u0 là một điểm trong của K. Như vậy có nghĩa là có một số dương r sao cho
B(u0, r) ≡ {u ∈ V /||u−u0|| ≤ r} ∈ K.
Định nghĩa 2.8. Hàm f là khả vi Frechet tại u0 nếu tồn tại A∈ L(V, W) sao cho:
f(u0 +h) = f(u0) +Ah+ o(||h||), h → 0. (2.38)
Toán tử A được gọi là đạo hàm Frechet của f tại u0, và chúng ta viết A = f0(u0), đại lượng df(u0;h) = f0(u0)h được gọi là vi phân Frechet của f tại u0. Nếu f khả vi Frechet tại tất cả các điểm trên K0 ⊂ K chúng ta nói f khả vi Frechet trên K0 và gọi f0 : K0 ⊂ V → L(V, W) là đạo hàm của f trên K0.
Nếu f là khả vi tại u0 thì đạo hàm f0(u0) là duy nhất. Giả sử tồn tại một ánh xạ Ae∈ L(V, W) sao cho:
Khi đó,
e
Ah−f0(u0)h = o(||h||), h →0
với bất kì h0 ∈ V, với ||h0|| = 1, ta có: h = th0,0 6= t ∈ R. Chia hệ thức của t và lấy giới hạn t →0, ta được
e
Ah0 −f0(u0)h0 = 0.
Hoặc Ae= f0(u0).
Định nghĩa 2.9. Toán tử f được gọi là khả vi Gâteaux tại u0 nếu và chỉ nếu tồn tại A ∈ L(V, W) sao cho:
lim
t→0
f(u0 +th)−f(u0)
t = Ah ∀h ∈ V. (2.39)
Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của f tại u0, chúng ta viết: A =
f0(u0). Đại lượng df(u0h) =f0(u0h) được gọi là vi phân Gâteaux của f tại u0. Nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm trên K0 ⊂ K, thì ta nói f khả vi Gâteaux trên K0, và gọi f0 : K0 ⊂ V → L(V, W) là đạo hàm Gâteaux của f trên K0.
Từ (2.38) ta có kết quả tiếp theo sau.
Mệnh đề 2.10. Nếu tồn tại đạo hàm Fréchet f0(u0) thì f liên tục tại u0.
Hiển nhiên, hệ thức (2.39) tương đương với
f(u0 + th) = f(u0) +tAh+ o(|t|) ∀h ∈ V.
Do đó, đạo hàm Fréchet còn là đạo hàm Gateaux. Mệnh đề ngược lại không đúng. Tuy nhiên chúng ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.11. Đạo hàm Fréchet cũng là đạo hàm Gâteaux. Ngược lại, nếu giới hạn ở (2.39) là đều với h,||h|| = 1, hoặc nếu đạo hàm Gâteaux là liên tục tại u0 thì đạo hàm Gâteaux tại u0 cũng là đạo hàm Fréchet tại u0.
Bây giờ chúng ta có một vài qui tắc vi phân. Nếu không ghi rõ đạo hàm loại nào thì sẽ vừa là đạo hàm Fréchet vừa là đạo hàm Gâteaux.
Mệnh đề 2.12. (qui tắc tổng)
Cho V, W là hai không gian định chuẩn. Nếu f, g :K ⊂ V →W khả vi tại u0, thì với bất kì vô hướng α, β nào αf +βg khả vi tại u0 và:
(αf +βg)0(u0) = αf0(u0) +βg0(u0). Mệnh đề 2.13. (qui tắc nhân)
Cho V, V1, V2, W là các không gian định chuẩn. Nếu f1 : K ⊂ V → V1, f2 :
K ⊂ V → V2 khả vi tại u0 và b : V1 × V2 → W là một dạng song tuyến tính bị chặn, thì toán tử B(u) =b(f1(u), f2(u)) khả vi tại u0 và:
B0(u0)h = b(f10(u)h, f2(u)) +b(f1(u), f20(u)h). Mệnh đề 2.14. (qui tắc dây chuyền)
Cho U, V, W là các không gian định chuẩn, f : K ⊂ U → V, g : L ⊂ V → W đã cho, f(K) ⊂ L. Giả sử u0 là điểm trong của K, f(u0) là một điểm trong của L. Nếu f0(u0) và g0(f(u0)) là các đạo hàm Fréchet thì g ◦ f là khả vi Fréchet tại điểm u0 và
(g ◦f)0(u0) =g0(f(u0))f0(u0).
Nếu f0(u0) là đạo hàm Gâteaux, g0(f(u0)) là đạo hàm Fréchet thì g ◦f là khả vi Gâteaux tại u0 và công thức cũng như trên
Xét một số ví dụ:
Ví dụ 2.2: Cho f :V → W là toán tử afin liên tục
f(v) =Lv+b
trong đó, L ∈ L(V, W), b ∈ W và v ∈ V thì f là khả vi Fréchet, và
Ví dụ 2.3: Cho hàm T : K ⊂Rm →Rn. Đạo hàm Fréchet của hàm số là ma trận Jacobin cỡ m×n ước lượng tại v0 = [(x1, . . . , xm)]T :
T0(v0) = ∂Ti(v0) ∂xj 1≤i≤n 1≤j≤m .
Ví dụ 2.4: L = W = C[a, b] với chuẩn maximum. Giả sử g ∈ C[a, b], k ∈ C([a, b] ×[a, b] × R), thì chúng ta định nghĩa toán tử T : V → W bằng công thức sau: T(u)(t) = g(t) + Z b a k(t, s, u(s))ds.
Hàm tích phân này được gọi là hàm tích phân Urysohn. Cho u0 ∈ C[a, b]
sao cho: ∂k ∂u(t, s, u0(s)) ∈ C([a, b]2) thì T khả vi Fréchet tại u0, và (T0(u0)h)(t) = Z b a ∂k ∂u(t, s, u0(s))h(s)ds h ∈ V.
Khi k ∈ C([a, b]×[a, b]×R), định nghĩa T0(u0) vẫn như vậy.
Ta có thể tìm đạo hàm Fréchet và Gâteaux bậc cao hơn. Ví dụ đạo hàm bậc hai Fréchet là đạo hàm của đạo hàm Fréchet. Cho hàmf : K ⊂ V →W
khả vi trên K0 ⊂ K. Đạo hàm Fréchet là một ánh xạ f0 : K0 ⊂ V → W. Nếu f0 là khả vi Fréchet trên K0 thì đạo hàm bậc hai Fréchet là
f00 = (f0)0 : K0 ⊂ V → L(V, L(V, W)).
Tại mỗi điểm v ∈ T0 đạo hàm bậc hai f00 có thể được xem như một ánh xạ được giới hạn từ V ×V →W và
f00 :K0 ∈ V →L(V ×V, W)