2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình ph
2.3.4. Đạo hàm Gateaux và cực tiểu lồi
Đầu tiên chúng ta hãy sử dụng khái niệm đạo hàm Gateaux để mô tả tính lồi của hàm khả vi Gateaux.
Định lý 2.21. Cho V là không gian định chuẩn, K ⊂ V là tập con lồi khác rỗng. Giả sử f : K → R là khả vi Gateaux, thì ba mệnh đề sau là tương đương:
(a) f lồi;
(b) f(v) ≥ f(u) +f0(u), v−u ∀u, v ∈ K; (c) f0(v)−f0(u), v−u ≥0 ∀u, v ∈ K.
Chứng minh. (a) ⇒ (b).
Với t ∈ [0,1] bất kì, do f có tính lồi nên
f(u+ t(v −u)) ≤ tf(v) + (1−t)f(u). Khi đó: f(u+t(v −u)) −f(u) t ≤ f(v)−f(u) t ∈ [0,1]. Lấy giới hạn t→ 0+, chúng ta có: f0(u, v −u) ≤ f(v)−f(u). (b) ⇒ (a). Cho u, v ∈ K bất kì: λ ∈ [0,1], chúng ta có: f(v) ≥ f(u+ λ(v −u)) + (1−λ)f0(u+λ(v−u)), v−u, f(u) ≥ f(u+λ(v −u)) +λf0(u+λ(v −u)), u−v.
Nhân bất đẳng thức thứ nhất với λ, bất đẳng thức thứ hai với (1−λ), và cộng chúng với nhau chúng ta được:
λf(v) + (1−λ)f(u) ≥f(u+λ(v−u)).
Vậy f là hàm lồi.
(b) ⇒ (c).
Xác định hàm thực
Sử dụng định lý Taylor ta có φ(1) = φ(0) +φ0(θ) với θ ∈ (0,1). Chú ý rằng φ(1) = f(v), φ(0) = f(u). Ngoài ra φ0(θ) = f0(u+ (v −u)), v−u = 1 θ f0(u+θ(v −u))−f0(u), v−u+f0(u), v−u ≥ f0(u), v −u.
kết hợp điều kiện (b), ta chứng minh được (c)
Định lý 2.22. Cho V là không gian định chuẩn, và K ⊂ V là tập con lồi không rỗng. Giả sử f : K → R là khả vi Gateaux. Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
(a) f là lồi chặt;
(b) f(v) > f(u) +f0(u), v−u ∀u, v ∈ K, u 6= v; (c) f0(v)−f0(u), v−u > 0 ∀u, v ∈ K, u6= v.
Định lý 2.23. Cho V là không gian định chuẩn, và K ⊂ V là tập con lồi không rỗng. Giả sử f : K → R là lồi và khả vi Gateaux. Khi đó tồn tại u ∈ K sao cho:
f(u) = inf
v∈Kf(v) (2.42)
nếu và chỉ nếu tồn tại u ∈ K sao cho:
f0(u), v−u ≥ 0 ∀v ∈ K. (2.43)
Khi K là một không gian con, bất đẳng thức (2.43) được quy về đẳng thức
Chứng minh. Giả sử u thỏa mãn (2.42). Khi đó với t ∈ (0,1) bất kì, từ
u+t(v−u) ∈ K ta có:
f(u) ≤ f(u+ t(v −u)).
Khi đó, ta có (2.43) bằng cách sử dụng lập luận tương tự trong chứng minh của định lý 2.7 phần (a) ⇒ (b).
Bây giờ, giả sử u thỏa mãn (2.43) khi đó từ giả thiết f lồi, ta có:
f(v) ≥ f(u) + f0(u), v−u ≥ f(u).
Khi K là một không gian con, ta lấy v trong (2.43) là v +u đối với v bất kì để được
f0(u), v ≥ 0 ∀v ∈ K.
Do K là một không gian con, nên −v ∈ K và
f0(u), v ≥ 0 ∀v ∈ K.
Do đó, đẳng thức (2.44) được chứng minh.