2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình ph
2.2.4. Phương trình vi phân thường trong không gian Banach
Cho V là một không gian Banach và xét bài toán giá trị ban đầu
u0(t) = f(t, u(t)), u(t0) =z, (2.31) ở đây, z ∈ V và ánh xạ f : [t0 −c, t0 +c]×V → V là liên tục.
Chẳng hạn, f là một toán tử tích phân. Khi đó, (2.31) là một phương trình vi phân. Phương trình vi phân (2.31) tương đương với phương trình tích phân u(t) = z+ Z t t0 f(s, u(s))ds, |t−t0| < c (2.32) với u = T(u). Từ đó, ta có phép lặp: un(t) = z+ Z t t0 f(s, un−1(s))ds, |t−t0| < c, n ≥1. (2.33) Cho b>0, Qb = {(t, u) ∈ R×V /|t−t0| ≤ c,||u−z|| ≤b}.
Ta có giả thiết về sự tồn tại và tính giải được của phương trình (2.31) ở định lý sau. (Chứng minh là ứng dụng đơn giản của định lí 2.1 kết hợp ý tưởng chứng minh định lí 2.5)
Định lý 2.7. Giả sử f : Qb →V là liên tục Lipsit với đối số thứ hai ||f(t, u)−f(t, v)|| ≤L||u−v||, ∀(t, u),(t, v) ∈ Qb,
trong đó L là một hằng số không phụ thuộc t. Cho M = max
(t,u)∈Qb||f(t, u)||, và
c0 = min{c, b M}.
Khi đó, bài toán giá trị ban đầu (2.31) có nghiệm khả vi liên tục duy nhất u(.) trên [t0 −c0, t0 + c0], và phép lặp (2.33) hội tụ với bất kì giá trị ban đầu u0 mà ||z −u0|| < b,
max
|t−t0|<c0
||un(t)−u(t)|| → 0 khin → ∞. Hơn nữa, với α = 1−e−Lc0, thì sai số:
max
|t−t0|<c0
||un(t)−u(t)||e−L|t−t0|
được giới hạn bởi mỗi giá trị sau αn
1−α |t−maxt0|<c0||u1(t)−u0(t)||e−L|t−t0|, α
1−α |t−maxt0|<c0||un−1(t)−un(t)||e−L|t−t0|, α max
|t−t0|<c0||un−1(t)−u(t)||e−L|t−t0|.
2.3. Vi phân của toán tử phi tuyến
Trong phần này, chúng ta khái quát các khái niệm đạo hàm của hàm thực cho các toán tử.