2 Áp dụng phương pháp lặp giải một số phương trình ph
2.3.2. Định lý giá trị trung bình
Ta khái quát định lý giá trị trung bình cho hàm khả vi một biến thực. Từ đó, xét định lý trên hàm phi tuyến.
Mệnh đề 2.15. Cho U, V là không gian Banach thực, và cho F : K ⊂ U → V, với K là một tập mở. Giả sử F khả vi trên K, F0 là hàm liên tục biến u trên K vào L(U, V). Cho u, w ∈ K, và giả sử đoạn thẳng nối hai điểm đó cũng được chứa trong K. Thì
||F(u)−F(w)||V ≤ sup
0≤θ≤1
||F0((1−θ)u+ θw)||||u−w||U. (2.40)
Chứng minh. Kí hiệu y = F(u) − F(w). Định lý Hahn-Banach trong hệ quả trên chứng tỏ sự tồn tại của một hàm tuyến tính T : V → R với
||T|| = 1 và T(y) =||y||V. Cho hàm thực
g(t) = T(F(tu+ (1−t)w)),0≤ t≤ 1
với T(y) = g(1)−g(0). Chúng ta chứng minh rằng g là khả vi liên tục trên đoạn [0,1], sử dụng qui tắc dây chuyền của hệ quả trên. Đặt :
g1(t) =tu+ (1−t)w, g1 : [0,1] → V, g2(v) = T(F(v)), g2 : K ⊂ V →R. Cho 0 ≤ t≤ 1, g(t) = g2(g1(t)), g0(t) = g20(g1(t))g10(t) = [T F ◦F0(tu+ (1−t)w)](u−w) = T[F0(tu+ (1−t)w)(u−w)].
Áp dụng định lý giá trị trung bình, chúng ta có θ ∈ [0,1] sao cho: ||F(u)−F(w)||V = g(1)−g(0) = g0(θ) = T[F0(θu + (1−θ)w)(u−w)] ≤ ||T||||F0(θu + (1−θ)w)(u−w)||W ≤ ||F0(θu+ (1−θ)w)||||u−v||U. Từ đó ta suy ra công thức (2.40).
Hệ quả 2.16. Cho U, V là hai không gian định chuẩn, K là tập mở liên thông trong U. Giả sử F : K → V là khả vi. Nếu F0(v) = 0 với mọi v ∈ K, thì F là một hàm hằng.
Đối với một hàm khả vi liên tục F : R → R, áp dụng định lý giá trị trung bình thông thường cho (2.40), ta có:
F(u)−F(w) =F0((1−θ)u+θw)(u−w), u, w ∈ R với θ ∈ [0,1] phụ thuộc vào F, u và w.
Mặc dù vậy, dạng này của định lý giá trị trung bình, nói chung, không làm cho các hàm xác định trên không gian Banach. Kết quả sau cho ta cận sai số với xấp xỉ Taylor tuyến tính của một hàm phi tuyến. Chứng minh mệnh đề tương tự như ở trên.
Mệnh đề 2.17. Cho U, V là không gian Banach thực, và cho F : K ⊂ U → V. Với K là một tập mở. Giả sử F là liên tục khả vi cấp hai trên K, với F00 : K → L(U ×U, V). Cho (u0, u0+h) ∈ K, cùng các đoạn thẳng nối chúng. Khi đó:
||F(u0 + h)−[F(u0) +F0(u0h)||V ≤ 1