1. Hàm số cho bằng biểu thức chứa tham số trong SGK
2.1. Các KNV T1“Giải và biện luận”
KNV T11: “Giải và biện luận phương trình chứa tham số”
Việc giải và biện luận phương trình chứa tham số được bắt đầu từ bài Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn trong sách Đại số 10 nâng cao với lời giới thiệu tường minh: “Trong bài này, chúng ta sẽ nghiên cứu cách giải và biện luận các phương trình
bậc nhất và bậc hai có chứa tham số.” Xem như học sinh đã biết cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai ở các lớp dưới, phần bài học trình bày ngay kết quả giải và biện luận các phương trình dạng ax + b = 0, ax2 + bx + c = 0 trong hai bảng sau:
Bảng 1. Kết quả giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0
1) a = 0: Phương trình có một nghiệm duy nhất x b a
= −
2) a = 0 và b = 0: Phương trình vô nghiệm.
3) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x∈
Tiếp sau đó SGK có một ví dụ như sau:
Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m 2
2 2 (1)
m x+ = +x m .
Giải: Ta biến đổi tương đương
2 2 (1) 2 2 ( 1) 2( 1), (1 ) m x x m m x m a ⇔ − = − ⇔ − = −
Xét các trường hợp sau đây:
1) Khi m ≠ -1 và m ≠ 1, ta có m2 -1 = 0 nên (1a) có nghiệm 2( 2 1) 2
1 1 m x m m − = = − +
Đó là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho;
2) Khi m = 1, phương trình (1a) trở thành 0x = 0;phương trình này nghiệm đúng với mọi x∈ phương trình cũng nghiệm đúng với mọi x∈;
3) Khi m = -1, phương trình (1a) trở thành 0x = -4; phương trình này vô nghiệm nên phương trình (1) cũng vô nghiệm.
Kết luận: 1: m≠ ± (1) có nghiệm 2 1 x m = + ( tập nghiệm là 2 1 S m = + ); 1
m= − : (1) vô nghiệm (tập nghiệm S = ∅); 1
m= : (1) nghiệm đúng với mọi x∈( tập nghiệm S =).
Tiếp theo, SKG trình bày kết quả giải và biện luận phương trình dạng
2
0
Bảng 2: Kết quả giải và biện luận phương trình dạng 2
0
ax +bx c+ =
0
a= : Trở về giải và biện luận PT bx+ =c 0 0 :
a≠
∆ >0 : phương trình có hai nghiệm (phân biệt) 2 b x a − + ∆ = và 2 b x a − − ∆ = ∆ =0 :Phương trình có một nghiệm (kép) 2 b x a − = 0 :
∆ < Phương trình vô nghiệm.
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau: Bước 1: Tạo tham số m và lập hàm số 2
( ) ( 1) 2( 1)
f x = m − x− m− .
Bước 2: Thực hiện lệnh giải PT f x( )=0 và trên NotePad sẽ hiện ra nghiệm 2
1
x m
=
+ .
Bước 3: Bấm vào hàm f thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hàm số. Khi đó ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị sẽ thay đổi theo như sau:
- Khi thay đổi giá trị tham số đến giá trị m=1 thì đồ thị trùng trục hoành, nên PT có vô số nghiệm.
- Khi thay đổi giá trị tham số đến giá trị m=-1 thì đồ song song với trục hoành, nên PT vô nghiệm.
- Các giá trị tham số còn lại thì đồ thị luôn cắt trục hoành tại một điểm nên PT có nghiệm duy nhất 2
1
x m
=
+ được thể hiện trên NotePad.
Nhận xét:
Phần định lượng (tìm nghiệm PT): Casyopée cho phép tìm nghiệm của PT là 2
1
x m
=
+ và nghiệm đó được thể hiện trên NotePad.
Phần định tính (biện luận): Khi cho tham số m thay đổi giá trị bằng thanh trượt thì trên NotePad vẫn luôn thể hiện nghiệm PT là 2
1
x m
=
+ kể cả khi m=1;m= −1. Điều đó cho thấy Casyopée không thực hiện biện luận trực tiếp PT bằng kĩ thuật “ Đại số” mà phải nhờ kĩ thuật “ Hình học”. Biện luận PT bằng kĩ thuật “Hình học” dựa vào công nghệ sau: “Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số f và g là nghiệm PT: f x( )=g x( ). Đặc biệt, hoành độ giao điểm đồ thị hàm số f với trục ox là nghiệm PT f x( )=0. Vậy, số ngiệm PT f x( )=g x( ) bằng số giao điểm hai đồ thị của hàm số f và g, số ngiệm PTf x( )=0 bằng số giao điểm đồ thị của hàm số f với trục ox.” Nhờ công nghệ đó mà học sinh chuyển bài toán biện luận trong phạm vi9ĐS trong MT truyền thống (biện luận
9
Theo Douady (1986), phạm vi (cadre) được tạo thành từ các đối tượng của một ngành toán học, những mối liên hệ giữa chúng, cách trình bày chúng, cách suy nghĩ, cách lập luận, cách hành động trên chúng. Đối với toán học, ta có phạm vi hình học, phạm vi số học, phạm vi đại số, phạm vi giải tích, …
Hai phạm vi có thể có một số đối tượng như nhau nhưng khác nhau ở sự kết hợp giữa các đối tượng ấy, ở mối liên hệ giữa chúng và ở cách thức hành động, lập luận trên các đối tượng.( dẫn theo Nguyễn Nhật Phương 2012)
số nghiệm PT theo tham số) sang phạm vi HH (biện luận số giao điểm hai đường) trong MT Casyopée. Quá trình này luôn gắn liền với sự chuyển đổi cách biểu thị ĐS trong MT trường truyền thống sang cách biểu thị HH trong MT Casyopée. Để trình bày kết quả biện luận trong phạm vi ĐS ở MT truyền thống, học sinh phải chuyển đổi từ phạm vi và cách biểu thị HH trong MT Casyopée sang phạm vi và cách biểu thị ĐS trongMT truyền thống.
Qua phân tích kĩ thuật giải bài toán trên trong môi trường Casyopée cho phép học sinh hiểu rõ tính chất kép: cố định-tự do của tham số khi cho tham số thay đổi giá trị, tương ứng đồ thị của hàm số và giao điểm cũng thay đổi. Khi chuyển đổi phạm vi và cách biểu thị từ ĐS sang HH và ngược lại để giải, giúp học sinh hiểu rõ mối qua hệ HH và ĐS trong một bài toán biện luận. Điều đó đã làm giảm bớt sự ngắt quãng giữa hàm số và phương trình nói riêng, giữa “Đại số” và “Hình học” nói chung. Đây ưu điểm của Casyopée. Nó đã khắc phục khó khăn việc hiểu tính chất kép của tham số, khắc phục khó
khăn do sự ngắt quãng giữa hàm số và phương trình trong bài toán biện luận PT theo
tham số trong MT truyền thống. Cần nói thêm rằng: việc nghiên cứu phương trình nhờ vào đồ thị chiếm vị trí “yếu ớt” trong thể chế Việt Nam.
Tiếp theo SGK minh họa bằng một ví dụ sau:
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m mx2 – 2(m – 2)x + m – 3 = 0. (2)
Giải. Với m = 0, phương trình (2) trở thành 4x – 3 = 0, nó có nghiệm 3 4
x=
Với m ≠ 0, (2) là phương trình bậc hai với biệt thức thu gọn là '
∆ = (m – 2)2 – m(m – 3) = 4 – m. Do đó: - Nếu m > 4 thì '∆ < 0 nên (2) vô nghiệm;
- Nếu m = 4 thì '∆ = 0 nên (2) có một nghiệm 2 1 2 m x m − = = ;
- Nếu m < 4 và m ≠ 0 thì '∆ > 0 nên (2) có hai nghiệm
2 4 m m x m − − − = và m 2 4 m x m − + − = Kết luận m > 4 : (2) vô nghiệm; m = 0 : (2) có một nghiệm 3 4 x= ; 0≠ ≤m 4(2) có hai nghiệm x m 2 4 m m − ± −
= ( hai nghiệm này trùng nhau và bằng 1
2 khi m = 4).
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau: Bước 1: Ta nhập hàm số 2
( ) 2( 2) 3
f x =mx − m− x+ −m .
Bước 2: Thực hiện lệnh giải PT f x( )=0. Trên NotePad sẽ hiện ra nghiệm
2 4 2 4 ; m m m m m m − − − − + − .
Bước 3: Bấm hàm vào hàm f thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hàm số. Khi đó ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị sẽ thay đổi theo.
- Khi thay đổi giá trị tham số đên giá trị m<4 và m≠0 thì đồ thị hàm số là một Parabol cắt trục hoành hai điểm, nên PT có hai nghiệm
2 4 2 4
;
m m m m
m m
− − − − + − được minh họa trên NotePad;
- Khi tham số đạt giá trị m =4 thì đồ thị hàm số là một Parabol tiếp xúc trục hoành nên PT có một nghiệm (nghiệm kép);
- Khi tham số đạt giá trị m =0 thì đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt trục hoành một điểm nên PT có một nghiệm.
Quá trình biện luận phải dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số với trục hoành. Đồ thị thay đổi vị trí theo tham số nên giao điểm đồ thị với trục hoành thay đổi theo.Để có kết quả biện luận chính xác thì phân chia các trường hợp biện luận phải rơi vào các giá trị“đẹp”.
Nhận xét: Trước đó, học sinh đã tiếp cận với phương trình số một thời gian khá dài ở lớp 8 lớp 9 với một tần số tương đối cao. Đây là lần đầu tiên học sinh gặp KNV T1“Giải và biện luận” phương trình chứa tham số. Do đó, khi học sinh tiếp cận phương trình chứa tham số luôn bị “cái cũ” (PT số10) thống trị “cái mới” (PT chứa tham số). Tôi nhận thấy rằng SGK không xây dựng bước chuyển “tổng quát hóa” để nối khớp PT số với PT tham số. Ví dụ: học sinh ứng xử trước tình huống giải PT 2mx-3=0 sẽ khác với tình huống giải PT 2x-3=0. Chúng tôi cho rằng: Sự ngắt quãng giữa PT số với PT chứa tham
số PT số với PT tham số là một khó khăn cho HS ở thời điểm bắt đầu làm quen với
phương trình chứa tham số.Tuy nhiên, SGK đã không xây dựng sự nối khớp giữa PT số
với PT chứa tham số nhằm xóa bỏ sự ngắt quãng đó. Đây là khó khăn do thể chế gây ra
cho học sinh.Cũng nói thêm rằng,khi đã có kết quả biện luận tổng quát về diễn biến tập nghiệm của phương trình theo tham số, học sinh có sử dụng kết quả đó để trả lời cho nghiệm của các phương trình cụ thể hay không? Điều này không thấy thể hiện trong SGK. Theo cách nói biện chứng giữa cái cụ thể với cái trừu tượng thì sau khi chuyển từ cái cụ thể (PT số) cái trừu tượng (PT chứa tham số ), chúng tôi nhận thấySGK không quan tâm đến chiều ngược lạitrừu tượng cụ thể.
Quay lại phân tích hai ví dụ trên, ta thấy hai ví dụ trên cho thấy tính phụ thuộc một
10 Chúng tôi muốn nhấn mạnh “phương trình số” theo nghĩa là phương trình với hệ số là số thực cụ thể, nhằm phân biệt với phương trình có hệ số chứa tham số.
chiều (nghiệm x phụ thuộc vào tham số), chiều ngược lại không có. Tôi tự hỏi rằng, học sinh có dựa vào tính phụ thuộc một chiều (ẩn phụ thuộc vào tham số) để phân biệt chữ nào là ẩn, chữ nào là tham số hay không? Ta tìm hiểu qua ví dụ sau trong bài một số phương trình quy về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai trong SGK ĐS 10 NC
Ví dụ 2, trang 82, Giải và biện luận phương trình 1 2 (2) 1 mx x + = −
Giải. Điều kiện của phương trình là x-1≠0, tức làx≠1. Với điều kiện đó, ta có
(2) 1 2( 1) ( 2) 3 (2 ) mx x m x a ⇔ + = − ⇔ − = −
1) Với m≠2, ta có m-2≠0 . Phương trình (2a) có nghiệm 3 . 2 x m − = − Giá trị này là
nghiệm của (2) nếu nó thỏa mãn điều kiện x≠1. Ta có 3 1 1 2 m m − ≠ ⇔ ≠ − − Do đó: Khi m ≠2 và m≠-1 thì 3 2 x m − = − là nghiệm của (2) Khi m=-1 thì giá trị 3 2 x m − =
− bị loại. PT (2) vô nghiệm
2) Với m = 2, PT (2a) trở thành 0x = 3. PT này vô nghiệm nên PT (2) vô nghiệm. Kết luận: Khi m ≠2 và m≠-1, PT (2) có nghiệm 3 2 x m − = −
Khi m =2 hoặc m = -1, PT (2) vô nghiệm.
Qua ví dụ trên cho thấy, ẩn phụ thuộc vào tham số nhưng ngược lại, tham số cũng phụ thuộc theo ràng buộc điều kiện của ẩn. Sau khi tìm được x, ta phải quay lại xác định điều kiện của tham số m. Đến bước này, ẩn x cung cấp giá trị cho tham số m. Xuất hiện chuyển đổi vai trò của kí hiệu chữ: ẩn x chuyển đổi vai trò thành tham số, tham số m chuyển đổi vai trò thành ẩn.
Cũng nói thêm, nếu nhìn theo ngữ cảnh hàm số, biểu diễn ẩn số phụ thuộc vào tham số ( ví dụ 3 2 x m − =
− , đại lượng x thay đổi phụ thuộc vào sự thay đổi của đại lượng m) có thể xem x là hàm theo đối số m. Điều đó cho thấy việc ý nghĩa của chữ không cố định mà nó phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể.
KNV T12 Biện luận số nghiệm của phương trình chứa tham số. Ví dụ 3, trang 74, SGK ĐS 10 NC
Cho phương trình: 2
3x= − + + +x x 2 a (3)
Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình (3) tùy theo các giá trị của tham số a.
Lời giải SGK. Trước hết, ta đưa phương trình (3) về dạng 2
2 2 (4)
x + x+ =a
Số nghiệm của phương trình (3) cũng là số nghiệm của phương trình (4) và bằng số giao điểm của parabol (P): y = x2 + 2x + 2 với đường thẳng (d): y = a. Quan sát đồ thị (h.3.1), ta thấy đỉnh của parabol (P) là điểmM( 1;1)− , khi a thay đổi thì đường thẳng (d) cũng thay đổi nhưng luôn luôn song song (hoặc trùng) với trục hoành. Từ đó, ta suy ra
- Với a < 1, phương trình (3) vô nghiệm (đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung);
Với a = 1, phương trình (3) có một nghiệm (kép) (đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P));
- Với a > 1, phương trình (3) có hai nghiệm (đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt).
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:
Cách 1
Bước 1: Ta nhập hàm số 2
( ) 2 2
f x =x + x+ và g x( )=a tiếp theo ta bấm hàm vào hàm
f, g thì phần mềm sẽ tự động minh họa đồ thị của hai hàm số.
Bước 2: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị hàm số g sẽ thay đổi cùng phương với trục hoành. Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số g ( đường thẳng di
động cùng phương trục hoành) với đồ thị hàm số f ta sẽ có kết quả biện luận. Cách 2
Bước 1; Ta nhập hàm số 2
( ) 2 2
f x =x + x+ −a
Bước 2: Ta thay đổi giá trị tham số trên thanh trượt thì đồ thị hàm số f sẽ thay đổi theo phép tịnh tiến véc tơ u(0;−a)
đồ thị hàm số 2
2 2
y=x + x+ . Dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số f với trục hoành ta sẽ có kết quả biện luận.
Như vậy, quá trình biện luận phải dựa vào sự tương giao đồ thị hàm số với trục hoành
hoặc sự tương giao giữa hai đồ thị. Trong điều kiện đó, phân chia các trường hợp biện
luận phải rơi vào những giá trị m phải “đẹp” của tham số.
Xét về kĩ thuật:
Có hai kĩ thuật “Đại số” và “Hình học” để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên. Tuy nhiên, kĩ thuật hình học được học sinh sử dụng khi đề cho hoặc gợi ý. Ngoài ra, thể chế vẫn ưu tiên kĩ thuật đại số hơn.
Xét về ngữ nghĩa tham số a:
Đường thẳng y=a song song hoặc trùng với trục hoành hiểu tham số a là hằng số (số cố định).
biến số.
KNV: T13 “Biện luận theo tham số” số giao điểm của hai đường
Xét bài tập 1.91 sách Bài tập Giải tích 12 nâng cao trang 29. Cho hàm số 2 2 3 3 1 x x y x + + = +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho .
b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận số giao điểm của đường thẳng
y = m(x+1) + 3 và đường cong (C), tùy theo các giá trị của m. Lời giải trong sách bài tập Giải tích 12 nâng cao trang 64.
b) Giải. Đường thẳng y = m(x + 1) + 3 có hệ số góc m, đi qua điểmI( 1;3)− , I nằm trên tiệm cận đứng x = - 1 của (C ).
Với m < 0 đường thẳng không cắt đường cong (C); Với m = 0 đường thẳng tiếp xúc với (C) tại điểm (0 ; 3);
Với 0 < m < 2 đường thẳng cắt (C) tại hai điểm (cả hai giao điểm đều thuộc nhánh phải của (C));
Với m = 2, đường thẳng song song với tiệm cận xiên của (C); đường thẳng cắt (C) tại một điểm;
Với m > 2, đường thẳng cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của (C).
Trong môi trường Casyopée bài toán giải như sau:
Cách 1 Bước 1: Ta nhập hàm số ( ) 2 2 3 3 1 x x f x x + + = + và g x( )=m x( + +1) 3 tiếp theo ta bấm