II. Gúc trong đường trũn:
1. Xột hai tam giỏc ABC và EDB Ta cú BAC =900 (vỡ tam giỏc ABC vuụng tại A); DE B= 900 ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn )
=> DEB = BAC = 900 ; lại cú ABC là gúc chung => DEB CAB
2. Theo trờn DEB = 900 => DEC = 900 (vỡ hai gúc kề bự); BAC = 900 ( vỡ ABC vuụng tại A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đõy là hai gúc đối nờn ADEC là tứ giỏc nội A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đõy là hai gúc đối nờn ADEC là tứ giỏc nội tiếp .
107 O M Q P H C B A 2 1 G 1 1 O S D E B A C 1 F
* BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng tại A); DFB = 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) hay BFC = 900 như vậy F và A cựng nhỡn BC dưới một gúc bằng 900 nờn A và F cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh BC => AFBC là tứ giỏc nội tiếp.
3. Theo trờn ADEC là tứ giỏc nội tiếp => E1 = C1 lại cú E1 = F1 => F1 = C1 mà đõy là hai gúc so le trong nờn suy ra AC // FG. hai gúc so le trong nờn suy ra AC // FG.
4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của ∆DBC nờn CA, DE, BF đồng quy tại S.
Bài 17. Cho tam giỏc đều ABC cú đường cao là AH. Trờn cạnh BC lấy điểm M bất kỡ ( M khụng trựng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuụng gúc với cỏc cạnh AB. AC.
1. Chứng minh APMQ là tứ giỏc nội tiếp và hóy xỏc định tõm O của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc đú.
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3. Chứng minh OH PQ.
Lời giải:
1. Ta cú MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt)
=> AQM = 900 như vậy P và Q cựng nhỡn BC dưới một gúc bằng 900 nờn P và Q cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh AM => APMQ là tứ giỏc nội tiếp.
* Vỡ AM là đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc APMQ tõm O của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc APMQ là trung điểm của AM.