II. Gúc trong đường trũn:
2.Hai tam giỏc vuụng ABI và ABH cú:
cạnh huyền AB chung, B1= B2=> AHB = AIB => AI = AH.
3. AI = AH và BE AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đường trũn (O; R) đường kớnh AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trờn tiếp tuyến đú một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xỳc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giỏc APMO nội tiếp được một đường trũn. 2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuụng gúc với AB ở O cắt tia BM tại N. C/m tứ giỏc OBNP là hỡnh bỡnh hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kộo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải:
1. (HS tự làm).
2.Ta cú ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là gúc ở tõm chắn cung AM => ABM= AOM
2 (1)
100 X 2 1 2 1 E K I H F M B O A => AOP = AOM 2 (2) Từ (1) và (2) => ABM = AOP (3) Mà ABMvà AOP là hai gúc đồng vị nờn suy ra BM // OP. (4)
3.Xột hai tam giỏc AOP và OBN ta cú : PAO=900 (vỡ PA là tiếp tuyến ); NOB= 900 (gt NOAB).
=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OPN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú hai cạnh đối song song và bằng nhau).
4. Tứ giỏc OBNP là hỡnh bỡnh hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta cũng cú PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nờn I là trực tõm tam Ta cũng cú PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nờn I là trực tõm tam giỏc POJ. (6)
Dễ thấy tứ giỏc AONP là hỡnh chữ nhật vỡ cú PAO = AON= ONP = 900 => K là trung điểm của PO (t/c đường chộo hỡnh chữ nhật). (6)
AONP là hỡnh chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta cú PO là tia phõn giỏc APM=> APO= MPO (8). Từ (7) và (8) => IPO cõn tại I cú IK là trung tuyến đụng thời là đường cao => IK PO. (9) Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB và điểm M bất kỡ trờn nửa đường trũn ( M khỏc A,B). Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trũn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phõn giỏc của gúc IAM cắt nửa đường trũn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF là tam giỏc cõn.
4) Chứng minh rằng : Tứ giỏc AKFH là hỡnh thoi.
5) Xỏc định vị trớ M để tứ giỏc AKFI nội tiếp được một đường trũn.
Lời giải:
1. Ta cú : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trũn ) => KMF= 900 (vỡ là hai gúc kề bự).
AEB= 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trũn ) => KEF= 900 (vỡ là hai gúc kề bự).
=> KMF + KEF = 1800 .
Mà KMFvà KEFlà hai gúc đối của tứ giỏc EFMK do đú EFMK là tứ giỏc nội tiếp.
2. Ta cú IAB= 900 ( vỡ AI là tiếp tuyến ) => AIB vuụng tại A cú AM IB ( theo trờn). Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.
3. Theo giả thiết AE là tia phõn giỏc gúc IAM => IAE= MAE => AE= ME (lớ do …) => ABE= MBE (hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phõn giỏc gúc ABF (1) => ABE= MBE (hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phõn giỏc gúc ABF (1) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
101 D C A O B F E X
Theo trờn ta cú AEB= 900 => BE AF hay BE là đường cao của ∆ ABF (2). Từ (1) và (2) => BAF là tam giỏc cõn. tại B .