II. Gúc trong đường trũn:
2.Tứ giỏc OMNP nội tiếp
=> OPM= ONM (nội tiếp chắn cung OM).
∆ ONC cõn tại O vỡ cú ON = OC = R => ONC= OCN => OPM = OCM. Xột hai tam giỏc OMC và MOP ta cú MOC= OMP = 900; OPM= OCM => CMO= POMlại cú MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1) Theo giả thiết Ta cú CD AB; PM AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành.
3. Xột hai tam giỏc OMC và NDC ta cú MOC= 900 ( gt CD AB); DNC= 900 (nội tiếp chắn nửa đường trũn ) => MOC =DNC = 900 lại cú C là gúc chung => OMC NDC
104 ( ) 21 21 I 1 F E O2 O1 H C B A 1 => CM CO
CD CN => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nờn CO.CD = 2R2 khụng đổi => CM.CN =2R2 khụng đổi hay tớch CM. CN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm M.
4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trờn đường thẳng cố định vuụng gúc với CD tại D. vuụng gúc với CD tại D.
Vỡ M chỉ chạy trờn đoạn thẳng AB nờn P chỉ chạy trờn doạn thẳng A’ B’ song song và bằng AB.
Bài 13 Cho tam giỏc ABC vuụng ở A (AB > AC), đường cao AH. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường trũn đường kớnh BH cắt AB tại E, Nửa đường trũn đường kớnh HC cắt AC tại F. Chứng minh AFHE là hỡnh chữ nhật.
1. BEFC là tứ giỏc nội tiếp. 2. AE. AB = AF. AC.
3. Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường trũn .
Lời giải:
1. Ta cú : BEH= 900 ( nội tiếp chắn nửc đường trũn ) => AEH= 900 (vỡ là hai gúc kề bự). (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường trũn ) => AFH= 900 (vỡ là hai gúc kề bự).(2)
EAF= 900 ( Vỡ ∆ ABC vuụng tại A) (3) Từ (1), (2), (3)
=> tứ giỏc AFHE là hỡnh chữ nhật ( vỡ cú ba gúc vuụng).
2. Tứ giỏc AFHE là hỡnh chữ nhật nờn nội tiếp được một đường trũn => F1= H1 (nội tiếp chắn cung AE).