Phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực

7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

2.1.6. Phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực

Một số phƣơng trình lƣợng giác không thể áp dụng những phƣơng pháp truyền thống nhƣ đƣa về phƣơng trình tích, thực hiện các phép biến đổi phƣơng trình để đƣa về dạng đã biết cách giải phƣơng trình…Đối với các phƣơng trình này, học sinh cần vận dụng khéo léo phƣơng pháp đánh giá các số hạng có trong phƣơng trình (sử dụng các tính chất của bất đẳng thức), sử dụng các tính chất đơn điệu hay bị chặn của các hàm số, sử dụng các đồ thị hàm số để giải chúng.

Vài cách giải đặc biệt với phƣơng trình lƣợng giác không mẫu mực:  Phƣơng pháp tổng hai số không âm:

0 0 0 0 A B A B A B            

 Phƣơng pháp đối lập ( chặn trên và chặn dƣới hai vế):

A M B M A B M A B             Phƣơng pháp phản chứng: A M A M B N B N A B M N               

 Phƣơng pháp biến đổi phƣơng trình về dạng tích có vế phải bằng 1, các nhân tình huốngử bị chặn bởi ±một:

1 1 1 1 . 1 A A B B A B A B                  Dùng tham số nhƣ ẩn số.

 Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất Ngoài ra ta còn có các dạng bài tập:

 Định tham số để hai phƣơng trình tƣơng đƣơng hay phƣơng trình này là hệ quả của phƣơng trình kia

Ta xét phƣơng trình lƣợng giác : 1 1 2 2 (x) (x)(1) f (x) g (x)(2) f g 

Trong đó f1(x);f (x);2 g1(x);g (x)2 là những biểu thức lƣợng giác của x. Nếu (1) không là tham số, giải và tìm nghiệm của (1) sau đó thay nghiệm 0

xx là nghiệm của (1) vào (2) ta tìm đƣợc tham số để có (1) suy ra (2).

Với tham số tìm đƣợc ta tìm nghiệm (2) và xem xét nghiệm của (2) có phải là nghiệm của (1) hay không để kết luận.

Nếu cả hai phƣơng trình có tham số, ta biến đổi phƣơng trình về dạng tích, quan sát các nhân tử đồng dạng ở vế trái mối phƣơng trình để lí luận chúng có cùng tập nghiệm.

 Giải phƣơng trình lƣợng giác có tham số bằng khảo sát hàm

Ngoài các phƣơng pháp đại số nói trên, để giải biện luận (định tham số để phƣơng trình có nghiệm, vô nghiệm), ta còn có thể giải bằng phƣơng pháp khảo sát hàm số. Trƣớc hết ta biến đổi đƣa phƣơng trình về theo lƣợng giác của cung x. Đặt ẩn phụ t bằng hàm lƣợng giác ddosvowis điều kiện thích hợp của ẩn phụ. Sau đó bằng phép biến đổi đại số đƣa phƣơng trình về dạng:

 

F t m với tD

Khảo sát sự biến thiên và dạng đồ thị của hàm yF(t), tD. Tùy theo vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng y=m và đồ thị của hàm yF(t)ta biện luận đƣợc số nghiệm phƣơng trình theo t, từ đó suy ra số nghiệm của phƣơng trình theo x.

Chú ý:

Khi yF(t)là hàm số phức tạp, việc giải có thể gặp khó khăn, nhƣng nếu yF(t)là dạng các hàm đã học, việc giải đơn giản và tránh đƣợc việc thiếu nghiệm khi giải bằng phƣơng pháp đại số.

 Tìm nghiệm phƣơng trình lƣợng giác thỏa mãn điều kiện cho trƣớc. Giải phƣơng trình siêu việt chứa các biểu thức lƣợng giác

Với những phƣơng trình lƣợng giác đƣợc cho thêm điều kiện về nghiệm, khi giải xong ta phải dựa vào các điều kiện mà chọn nghiệm. Nếu điều kiện về nghiệm là một khỏang cho trƣớc thì việc chọn các nghiệm dẫn đến việc giải các bất phƣơng trình trong tập số nguyên. Nếu điều kiện về nghiệm cần thỏa mãn bất phƣơng trình chứa các hàm lƣợng giác, việc chọn các nghiệm nhất thiết đƣợc thực hiện trên một khỏang bằng bội số chung nhỏ nhất của chu kì các học sinh lƣợng giác có mặt trong phƣơng trình và bất phƣơng trình có điều kiện.

Việc giải các phƣơng trình siêu việt chứa các biểu thức lƣợng giác, thƣờng tùy thuộc đặc trƣng của mỗi phƣơng trình. Cần kết hợp các cách giải phƣơng trình mũ, logarit với giải các phƣơng trình lƣợng giác. Đôi khi sử dụng phƣơng pháp đối lập,đoán nghiệm. Chú ý đến điều kiện ban đầu của bài toán.

 Tính giá trị biểu thức, tìm miền giá trị (GTLN, GTNN) của hàm số lƣợng giác bằng phƣơng pháp giải phƣơng trình

Để tính giá trị của một hàm số lƣợng giác của một cung, dựa vào mối liên hệ giữa các cung (bù, phụ, hơn, kém ,

2

 ,…) và công thức lƣợng giác, ta

lập đƣợc một phƣơng trình bậc hai hay ba mà hàm lƣợng giác đó là nghiệm. Giải phƣơng trình này ta tính đƣợc giá trị đó.

Để tính giá trị của một biểu thức lƣợng giác số, ta cùng lập một phƣơng trình lƣợng giác (tƣơng tự) nhƣ trên nhận các hàm lƣợng giác đó làm nghiệm. Dựa vào định lý Viet của phƣơng trình bậc nhƣng ta suy ra giá trị của biểu thức.

Để tìm miền giá trị của một hàm ( hay tìm GTLN, GTNN):  Tìm D (Miền xác định)

 Lấy yT (Miền giá trị), giải phƣơng trình y f(x) với x T

Khi giải phƣơng trình y f(x)ta thƣờng đƣa về dạng phƣơng trình bậc hai hay bậc một đối với sinx và cosx. Từ điều kiện có nghiệm của phƣơng trình suy ra miềm giá trị cần tìm.

2.2. ĐỊNH HƢỚNG VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC