Các dạng phƣơng trình lƣợng giác giải bằng cách đặt ẩn phụ

7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

2.1.3. Các dạng phƣơng trình lƣợng giác giải bằng cách đặt ẩn phụ

Các phƣơng trình lƣợng giác có thể đại số hóa gồm:

a) Phƣơng trình đa thức với một hàm số lƣợng giác là các phƣơng trình dạng

sin  0; cos  0; tan  0; cot  0

f x  f x  f x  f x  trong đó f u 0là một đa thức chƣa biến u.

b) Phƣơng trình đối xứng (hay gần đối xứng ) đối với sinxvà cosx: là phƣơng trình dạng f sin x c os x, sin x. cos x0, trong đó f(u,v) là một đa thức của hai biến số u, v. Để học sinh để quan niệm thế nào là một phƣơng trình lƣợng giác đối xứng với sin x và cos x có thể sử dụng một trong 2 cách diễn đạt khác, kém chính xác hơn, nhƣng dễ hiểu hơn: phƣơng trình đối xứng với sin x và cos x là những phƣơng trình trong đó có sự tham gia của sinx và

cosx, đồng thời khi thay đổi khi thay đổi cosx bằng sinx, sinx bằng cosx thì phƣơng trình không thay đổi. Cũng có thể sử dụng định nghĩa đa thức đối xứng của hai biến là các đa thức f(u,v) thỏa mãn các điều kiện f(u,v)=f (v,u), với mọi u,v và phƣơng trình đối xứng với sinx và cosx là các phƣơng trình có dạng f(sinx, cosx) trong đó f(u, v) là một đa thức đối xứng.

Một dạng đặc biệt của phƣơng trình đối xứng với sinx, cosx là phƣơng trình đối xứng với tanx và cotx.

c) Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cosin

Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sin và cos là phƣơng trình có dạng:

  

2 2

a sin x b sin cosx x c cos xd 3 a b c d, , , R

Trong chƣơng trình SGK Đại số mà giải tích lớp 11 không trình bày phƣơng pháp giải cụ thể cho phƣơng trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cosin. Giáo viên cần giúp học sinh hình thành phƣơng pháp giải cụ thể.

* Phƣơng pháp giải:

Cách 1: Thực hiện theo các bƣớc sau:

B1: Vớicos 0  

2

x   x  k kZ

thay trực tiếp giá trị này vào phƣơng trình (3) xem có phải là nghiệm của phƣơng trình không?

Khi đó pt (3) có dạng: 2 a sin xd. - Nếu a = d thì pt (3) nhận   2 x  k kZ làm nghiệm - Nếu a khác d thì pt (3) không nhận   2 x  k kZ làm nghiệm B2: Với cos 0   2 x x  k k Z     

Chia cả hai vế của pt (3) cho 2

os 0 c x ta đƣợc:     2 2 2

a tan tan 1 tan

tan tan 0

x b x c d x

a d x b x c d

   

Đặt t = tanx. Khi đó pt trở thành:  2  

t 0 3'

a d t    b c d

Giải pt (3’) ta tìm đƣợc các giá trị của t.

B3: Giải pt lƣợng giác cơ bản đối với giá trị t vừa tìm đƣợc

B4: Kết luận nghiệm của phƣơng trình.

Cách 2:

B1: Ta sử dụng các công thức hạ bậc và nhân đôi.

sin2 1 os2 , os2 1 os2 à s inx.cos 1sin 2

2 2 2

c x c x

x  c x  v x x

.

B2: Thay các công thức trên vào pt (3) ta đƣợc pt sau: bsin 2x c a c os2x  d c a.

Đây là phƣơng trình bậc nhất đối với sin và cosin.

B3: Áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc nhất đối với sin và cosin.

B4: Kết luận nghiệm của phƣơng trình. d) Phƣơng trình bậc hai đối với hàm số sin:

 

2

sin sin 0 , , ; 0

a x b x c  a b cR a

Quy tắc giải:

B1: Đặt sinx = t, t  1;1. Khi đó ta nhận đƣợc phƣơng trình: 2 0 at   bt c B2: Giải pt 2 0 at   bt c trong đoạn 1;1.

- Nếu vô nghiệm trong đoạn  1;1 thì kết luận phƣơng trình đã cho vô nghiệm.

- Nếu có nghiệm trong đoạn  1;1 thì chuyển sang bƣớc 3. B3: Giải các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản sinxt0. B4: Kết luận.

Chú ý: Quy tắc giải trên đƣợc áp dụng để giải phƣơng trình tƣơng tự: