Cấu trúc nghiệm của hệ khả quy

Đối hệ khả quy ta có định lý sau đây tương tự định lý Floquel đối với hệ tuần hoàn.

Định lý 2.4.1 ( Định lý N.P Êrugin)

Hệ (2.23) tức là hệ tuyến tính dx A t x .

dt  là hệ khả quy khi và chỉ khi một

ma trận cơ bản  t bất kỳ nào đó của nó biểu diễn dưới dạng

    tB

t L t e

  (2.24)

Chứng minh

Giả sử hệ (2.23) là khả quy. Khi đó có một phép biến đổi Liapunop là Y L t x 

đưa hệ đó về hệ tuyến tính dx B y.

dt  ( với Blà ma trận hằng số ) (2.25)

Theo định lý 2.2.1 ta có ma trận hằng số cơ bản  t của hệ (2.25) có dạng   tB

t e C

  , trong đó C là ma trận hằng số không suy biến Do đó         tB t L t y t L t e C    là ma trận cơ bản của hệ (2.23) Chọn C E ta được (2.24) Do (2.24) nên ta có L t   t e. tB 

Khi đó phép biến đổi

  tB x  t e là phép biến đổi Liapunop

Tiếp đó ta có dx  t e. tB dy d  t e tBy  t e. tBBy A t   t e. tBy dt dt dt             Nhưng       d t A t t dt    do đó  t e. tB dy  t e. tBBy dt      hay dy By dt  Vậy hệ ( 2.23) là khả quy.

Hệ quả 2.4.1. Từ định lý Êrugin và định lý Foquel ta suy ra hệ tuyến tính tuần hoàn là hệ khả quy.

Kết luận

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận. Với đề tài này em không mong muốn đi sâu vào phương pháp hay cách giải một bài toán phương trình vi phân tuyến tính cụ thể mà em mong muốn đưa ra một cách tiếp cận mới với lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính.

Đề tài này đã đạt được mục đích và nhiệm vụ đề ra. Khóa luận đã hoàn thành nhưng do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác làm nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và toàn thể các bạn để đề tài được hoàn chỉnh và có tính ứng dụng cao hơn.

Trước khi kết thúc khóa luận em xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Phùng Đức Thắng - người đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành đề tài này.

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2013 Sinh viên Phạm Thị Tuyết

Tài liệu tham khảo

1. Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết hệ phương trình vi phân,

NXBĐH và THCN. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2. Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Thu (2000), Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXBGD

3. Nguyễn Thế Hoàn và Trần Văn Nhung (1979), Bài tập phương trình vi phân, NXBĐH và THCN

4. PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy, Giáo trình Giải tích hàm, NXB Khoa học

và kỹ thuật, Hà Nội.

5. Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, NXBGD.

6. Phan Hồng Trường(2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB ĐHSP

Hà Nội 2.

7. L.E.Elsogols(1979), Phương trình vi phân (tập 1), NXBGD. V.V.STEPANOV (1960) Giáo trình phương

Mục lục