10. Chung minh rang trong nhdm tong cac se nguyen Z, mot be phan A coa Z la. met nhdm con can Z Mu va chi Mn A cd clang mZ, m E Z.
11. Trong nhdm cac phep the S 4, cluing minh rang cac phep the' sau : e, it = (12) (34), b = (1 3) (2 4) va c = (I 4) (2 3) the' sau : e, it = (12) (34), b = (1 3) (2 4) va c = (I 4) (2 3) thanh lap met nhdm con dm S 4 . Maim con dd cd aben khong ? 12. Cho Y lit met be plan dm met tap hap X. Chung minh rang be phan S(X, Y) oda &X) gem cac song anh f • X —a•
sao the f(Y) = Y la mot nhdm con cart S(X) (bai tap 4). Tim s6 phan to tha $(X, Y) trong truting hop X ad tt phan tit va
Y cd mot phials tit.
13. Cho A va B la hai 1)0 phan tha mot nhdm X. 1h dinh
nghia
AB=fablaeA,bEB) A' ={¢ -1 1 aeA}
Ch'ing minh cac dAng thlic sau day :
a) (AB) C = A(BC).
b) (A 1 ) 1 = A.
c) (AB) -1 = B -1 A -1
d) Mau A la melt nhdm con dm X thi A -1 = A.
14. Cho X la milt nhdm va A la mat be phan khac rung tha X.
Chting minh A la nhdm con cila X khi va chi khi AA 1 = A. 15. Cho A la mot nhdm con dm nhdm X irk a E X. Chting minh aA la nhdm con ciut X khi va chi khi a E A.
16. Trong mot nhdm ,X cluing minh rang nhdm con sinh ra bai 60 phan 0 lit nhdm con tam thtiOng {el, e la plain to trung lap cfm X.
17. Gia sit S la Wit b0 phan khac rang dm mot nhdm X. Chung minh rang cac pilau tit cilia nhdm con sinh ra bai S la
cac phan to cd dang x /x2 ...xn vol cac x l , xn thufie S hoar
3 1 . Tim nhdm con tha nhdm nhan the s6 huu ti duong sinh ra bed b0 phan cac so nguyan to'.
18. Cluing minh rang moi nhdm con clia mot nhdm xyclic la mot nhdm xyclic.
19. Cho X la mot nhdm vat phAn tit don vi la e,aeX cd cap la rt. Chung minh rang ak = e khi Ara chi khi k chia hat
cho n.
20. Cho a, b la hai phan tit thy 31 cila mot nhdm. Chttng minh ab va ba cd thug cap.
21. GiEt sit X lit mot nhdm xyclic cap n va a E X la into phan tat sinh aim no. Xet phan tit b = ak . Chung minh rang :
a) Cap cua b bang nld, 6 day d lit UCLN ctla k va n. b) b la phan to sinh dm X khi va chi khi k nguyen t6 vdt
rt (tit dd suy ra s6 phan ta: sinh dm X).
22. Gia sit a, b la hal phan tit cila met nhdm, va gia sit ta cd cap ciut a bang r, cap cita b bang a, vat r, s nguyen t6 ding nhau va them nita ab = ba. Chang minh cap cua ab bang rs.
23. Chung minh rang mai nhdm cap v6 han d@u cd v9 han nhdm con.
24. Cho X va Y IA nhfing nhdm xyclic cd cap IA In va n.' Chung minh rang X x 1( IA mOt nhdm xyclic khi va chi khi va n nguyen t6 cang nhau.
25. Cho A la mOt nhdm con cunt mOt nhdm X. Gia sit tap hop thuang X/A cd hai phan tit. Cluing minh A IA chugn tic.
26. Thong nluirn eke phep thg S n , be phan An gam cac phdp thg chin la nhdm con chutin tic cua S.
27. Gilt sit' X IA mOt nhdm xyclic va n han, va a E X la met plight to sinh Goi A la nhdm con dm X sinh ra bat a3. Chang minh rang cac lop trai cila A bang cac lOp phai ctla A va s6
cac lop do bang 3.
28. GM sit X la mOt nhdm, ta goi la tam oda X 69 phitn C(X) =(a E XI ax = xa vii m9i x E X).
Chitng minh rang C(X) la mOt nhdm con giao loan ciut X va mci nhcim con cita C(X) la inert nhdm con chugn tat dm X.
29. Tim tat ca ale nhdm con va nhdm con chugn tic ctla nhdm cac phep the' S3 .
30. Gift sit X la mar nhdm, x va y la hai phtin to caa X. Th goi la. /wan at aim x Ira y phtin t4 xyx-ly -I . Chung minh rang
nhdm con A sinh ra bdi tap hop cac ham to dm tat ca the
cap phtin to x, y cita X la mat nhdm con chugn tax caa X goi