đầy đủ về ý nghĩa của khái niệm dựa trên những phân tích từ lịch sử toán học, trong quá trình kiến tạo kiến thức mới .
Trong quá trình nghiên cứu và giảng dạy các đối tượng của Hình học 10, chúng tôi nhận thấy rằng, HS thường bộc lộ những sai lầm trong cách hiểu nghĩa các đối tượng Hình học 10, những HS này bao gồm cả HS khá giỏi. Điều này cho thấy những sai lầm này không phải xuất phát từ sự lười biếng của HS. Sau khi thực hiện những nghiên cứu cần thiết, chúng tôi thấy rằng một trong những nguyên nhân xuất hiện những sai lầm của HS là do bản chất của tri thức. Trong lịch sử Toán học, mỗi tri thức được hình thành là kết quả của một quá trình nghiên cứu, mò mẫm và kế thừa lẫn nhau giữa các nhà Toán học. Có những tri thức được xuất hiện tường minh qua một công trình nghiên cứu nhưng cũng có những tri thức phải trải qua quá trình nghiên cứu lâu dài, trong quá trình này các nhà Toán học vấp phải rất nhiều khó khăn trong việc kiến tạo ra tri thức. Vì vậy, khi học tập những tri thức này, HS cũng gặp những khó khăn tương tự như các nhà Toán học đã gặp. Dựa trên tư tưởng này, chúng tôi tìm hiểu nghiên cứu lịch sử xuất hiện một số đối tượng tri thức trong Hình học 10. Việc làm này cho phép chúng tôi có thêm những hiểu biết nhất định về tri thức cũng như những khó khăn, chướng ngại trong quá trình hình thành và phát triển tri thức. Từ đó, chúng tôi dự đoán được những khó khăn mà HS gặp phải trong quá trình học tập tri thức đó.
Vậy, một yêu cầu đặt ra cho GV là làm thế nào để HS có thể hiểu đúng, hiểu đủ nghĩa tri thức? Quan điểm của chúng tôi là cách tốt nhất để HS tránh mắc phải sai lầm chính là HS phải gặp phải những sai lầm, nhận ra sai lầm và điều chỉnh cách hiểu sai của bản thân. Chính vì vậy, chúng tôi xây dựng biện pháp 2 nhằm khắc phục những cách hiểu sai thường gặp. Do đặc
trưng của biện pháp này nên chúng tôi thiết kế các tình huống trong biện pháp với quy trình như sau:
Bước 1: Tìm hiểu, nghiên cứu lịch sử toán để có những hiểu biết sâu sắc về quá trình hình thành khái niệm đó.
Bước 2: Phân tích những sai lầm mà HS có thể gặp trong quá trình dạy học khái niệm đó.
Bước 3: Xây dựng các tình huống dạy học.
Bước 4: Tổ chức dạy học tình huống, luôn chú ý điều chỉnh và sửa sai những lỗi mà HS có thể gặp khi giải quyết vấn đề.
Chúng tôi xin minh hoạ biện pháp này bằng các tình huống như sau:
TÌNH HUỐNG 1: CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA VECTƠ
Bước 1: Tìm hiểu về lịch sử hình thành lý thuyết vectơ.2
Trong lịch sử toán học và lịch sử nhân loại, hình học xuất hiện từ rất sớm. Ban đầu, hình học được nghiên cứu chính là hình học Euclide với đối tượng nghiên cứu chính là các hình (đoạn, đường, tam giác…) và yếu tố định tính của các hình như độ dài, diện tích, song song, vuông góc… Năm 1636, Fermat và Decartes giới thiệu "hình học giải tích" cho phép quy các bài toán hình học thành các bài toán đại số. Việc giải bài toán hình học được chuyển thành việc giải một hay nhiều phương trình đại số. Làm như thế, ta có thể tận dụng các công cụ và kỹ thuật đại số để nghiên cứu hình học. Như vậy, phương pháp giải tích đã cung cấp một công cụ khá mạnh để giải các bài toán hình học. Tuy nhiên, với phương pháp giải tích này, nó đã vô tình tạo nên một tấm màn che lấp đi trực giác hình học là cái thực sự xảy ra trong quá
2 Lịch sử hình thành lý thuyết vectơ là một quá trình phức tạp, tác giả Lê Thị Hoài Châu đã thực hiện một nghiên cứu khá đầy đủ về vấn đề này. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày sơ lược lại quá trình hình thành lý thuyết vectơ. Bạn đọc có thể tham khảo thêm để hiểu rõ phần lịch sử này thông qua tài liệu [1] .
trình giải toán. Xuất phát từ nhận xét này, một số nhà toán học, mà Leibniz là người khởi xướng, đến với ý tưởng xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng nó không thoát khỏi phạm vi hình học mà vẫn cho phép bảo toàn bản chất hình học của bài toán. Những ý tưởng của Leibniz thông qua hình học vị trí, đây là những viên gạch đầu tiên hình thành lý thuyết vectơ. Sau ông, có rất nhiều nhà khoa học tiếp tục nhen nhóm tư tưởng đưa vào những tính toán đại số vào nội tại hình học như Mobius với tính toán tâm tỉ cự, Bellavitis và tính toán tương đẳng. Các nhà Toán học này đều có ý tưởng xây dựng mô hình hình học định hướng. Tuy nhiên, những mô hình mà các nhà Toán học này đưa ra tồn tại rất nhiều hạn chế. Bước chuyển vào một hệ thống tính toán trong nội tại hình học đòi hỏi phải gán cho các đối tượng hình học những đặc trưng khác với đại lượng vô hướng, nhưng trong lịch sử tư tưởng này không dễ dàng xuất hiện. Các mô hình được xây dựng đã xuất hiện một số yếu tố tương tự các đặc trưng của lý thuyết vectơ hiện đại như phương, hướng, độ dài nhưng các yếu tố này không được định nghĩa một cách riêng biệt, tường minh mà còn rất mơ hồ, không rõ ràng. Việc xây dựng mô hình hình học định hướng trải qua một quá trình lâu dài và khó khăn. Nguyên nhân của quá trình này chính là do sự thống trị của mô hình hình học mêtric khiến các nhà khoa học khó thoát khỏi mô hình này.
Ngoài ra, lý thuyết vectơ còn được khởi xướng trong quá trình các nhà Toán học mở rộng tập hợp số thực, cụ thể là trong việc biểu diễn hình học của số phức. Việc biểu diễn hình học các đại lượng ảo được soạn thảo hoàn toàn độc lập với nhau bởi năm nhà toán học là Caspar Wessel, Adrien Quentin Buee, Jean Robert Argand, Mourey và John Warren. Nhưng mô hình của họ khá giống nhau, tư tưởng của các mô hình có những nét tương đồng với việc biểu diễn vectơ trong hệ trục toạ độ. Vấn đề tồn tại trong các
mô hình này chính là việc xây dựng các phép toán trên các đại lượng ảo. Mãi đến khi Hamilton phát hiện ra số siêu phức và xây dựng được phép nhân trên các số này thì khái niệm vectơ mới được hình thành. Ông là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ vectơ theo đúng nghĩa toán học của nó. Về sau Hermann, Grassmann, Peter Guthrie Tait,…. Phát triển và hoàn thiện toàn bộ hệ thống các lý thuyết về vectơ..Trong đó Grassmann (1809 - 1877) đã xây dựng nên Lý thuyết thác triển (Théorie de l’extension). Nhờ một sự tiếp cận biện chứng cả về phương tiện trực giác của hình học lẫn phương tiện hình thức của cấu trúc đại số.
Khái niệm vectơ được hình thành rất lâu dài và phức tạp, những chướng ngại lớn gây khó khăn cho các nhà Toán học bao gồm:
• Khó khăn trong việc vượt qua sự thống trị của mô hình hình học Mêtric. Phải trải qua một thời gian dài các nhà Toán học mới xây dựng được mô hình hình học định hướng mà trong đó khái niệm vectơ mang các đặc trưng như phương, hướng, độ dài.
• Khó khăn trong việc xây dựng các phép toán trên đối tượng vectơ. Vectơ là một đối tượng hình học, tuy nhiên nó cũng mang bản chất đại số. Xét về lịch sử hình thành vectơ thì ta thấy, chính sự phức tạp về bản chất kép đại số và hình học này khiến cho các nhà toán học lúng túng trong việc xây dựng nên những hệ thống tính toán trong nội tại hình học
Bước 2: Phân tích những sai lầm thường gặp của HS rút ra từ lịch sử
hình thành lý thuyết vectơ
Từ những khó khăn mà các nhà khoa học gặp phải khi xây dựng lý thuyết vectơ như đã trình bày ở trên, cùng với các phân tích của tác giả Lê Thị Hoài Châu trong tài liệu [1], chúng tôi xin tổng hợp những sai lầm mà HS thường mắc phải khi chiếm lĩnh các tri thức về vectơ như sau:
- Thứ nhất, khó khăn trong việc vượt qua sự thống trị của mô hình Mêtric. HS đã quá quen thuộc với hình học trong không gian Mêtric, nên mô hình hình học định hướng trở nên lạ lẫm, khó chấp nhận trong tư duy.
Ví Dụ: Trong mô hình Mêtric HS đã biết: AB + BC > AC, do việc chưa quen với tư duy của hình học định hướng nên nhiều HS đã hiểu sai rằng . Hoặc khi xem xét hai vector bằng nhau, nhiều HS chỉ quan tâm đến độ dài của vectơ mà không quan tâm đến phương và hướng.
- Thứ hai, khi đã vượt ra khỏi ảnh hưởng của mô hình mêtric thì HS lại gặp khó khăn khi chiếm lĩnh hai đặc trưng định hướng của vectơ, HS thường không để ý đến phương, hoặc đã để ý phương thì lại chưa xem xét hướng, nhiều HS còn nhầm lẫn “phương” và “hướng”, thay vì nói cùng phương lại nói là cùng hướng và ngược lại. HS còn hiểu nghĩa của từ phương hướng theo nghĩa thường dùng trong cuộc sống thường ngày. Ví dụ như họ cho rằng hai vectơ trong H.1 là cùng hướng bởi vì hai vectơ đều có chiều từ trái sang phải, từ dưới lên trên.
H.1
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, HS thường viết (do chưa quan tâm đến phương). Cho hình bình hành ABCD, HS viết (do chưa quan tâm đến hướng). Một số HS không hiểu được rằng khái niệm “cùng hướng hay ngược hướng” chỉ được đặt ra cho những vectơ cùng phương.
- Thứ ba, khó khăn trong việc hiểu bản chất kép đại số - hình học trong các phép toán vectơ. Do không hiểu bản chất kép này nên HS có thể nhầm lẫn phép toán đại số và phép toán vectơ.
Ví dụ: Nhiều HS viết nên do không phân biệt được dấu trị tuyệt đối của số thực và độ dài của vectơ. Hoặc nên hoặc do không phân biệt được tích của hai số thực với tích vô hướng của hai vectơ. Một số HS còn nhẫm lẫn rằng phép toán vectơ có đầy đủ tính chất của phép toán số, hoặc tồn tại phép chia vectơ…. Chẳng hạn HS viết: . . . . . AB AM AO BM AB AM AO BM AB AM AB AC AM AC = ⇒ = = ⇒ = uuur uuuur uuur uuur uuuruuuur uuur
uuur uuur uuuur uuuruuur uuuur uuur Bước 3: Xây dựng tình huống
Chúng tôi xây dựng tình huống dưới dạng bài tập trắc nghiệm trong đó, các kết quả của các bài tập này thường là những cách hiểu sai thường gặp của HS. Để HS nhận ra sai lầm chúng tôi tổ chức lớp học dưới dạng hoạt động nhóm, yêu cầu HS giải thích các câu trả lời, cho HS tranh luận, phản biện. Từ đó, HS sẽ bộc lộ những cách hiểu sai qua quá trình giải thích và điều chỉnh những cách hiểu sai qua quá trình tranh luận, phản biện. Đây không phải là một hình thức mới trong giảng dạy, tuy nhiên hoạt động này vẫn hoàn toàn phù hợp với quan điểm dạy học theo thuyết kiến tạo. Bởi vì, khi HS sử dụng mô hình kiến thức cũ vào giải quyết tình huống (quá trình đồng hoá) thì HS nhận ra mô hình kiến thức này có những điểm không phù hợp và tự điều chỉnh lại (quá trình điều ứng). Lưu ý rằng, kiến thức mới được hình thành ở đây không phải kiến thức mới hoàn toàn mà là kiến thức đúng được điều chỉnh từ những cách hiểu sai tồn tại trong HS. Ưu điểm của việc ứng dụng thuyết kiến tạo dưới dạng bài tập trắc nghiệm khách quan là không tốn quá nhiều thời gian cho việc tổ chức hoạt động vì các câu hỏi đều đã (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
được phát biểu tường minh. HS không phải trải qua quá trình mò mẫm, phán đoán mà chỉ thể hiện mô hình kiến thức cũ của mình. Việc kiểm nghiệm và điều ứng đều thông qua các hoạt động nhóm tương tác. GV cần lưu ý khi ứng dụng thuyết kiến tạo dưới hình thức này thì các câu hỏi cần được đầu tư kĩ càng. Để HS bộc lộ sai lầm và có cơ hội điều chỉnh sai lầm, GV cần dự đoán tất cả các cách hiểu sai, hiểu thiếu nghĩa tri thức để soạn thảo những kết quả trắc nghiệm.
Ngoài ra, để HS nhận ra sai lầm ta cũng có thể khai thác tình huống này dưới dạng trình bày các bài toán có sẵn lời giải, trong các lời giải này tồn tại những sai lầm thường gặp của HS, sau đó yêu cầu HS nhận xét, giải thích, phản biện các lời giải của bài toán.
Bước 4: Tổ chức dạy học một số tình huống nhằm khắc phục các sai lầm
. Dạy học củng cố các khái niệm về phương, hướng của vectơ
Tình huống được xây dựng sau khi GV đã dạy cho HS các ý sau:
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ uuurAB
và
AC uuur
cùng phương.
• GV cho bài toán trắc nghiệm gồm 4 câu như sau:
Bài toán 1:
Câu 1: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C, D sao cho uuurAB cùng phương với CDuuur. Hãy chọn một câu trả lời đúng:
c. ABuuur cùng hướng với CDuuur d. A, B, C, D thẳng hàng hoặc AB // CD
Câu 2: Cho 4 điểm phân biệt A, B, C sao cho uuurAB cùng hướng với uuurAC. Hãy chọn một câu trả lời đúng:
a. BAuuur ngược hướng với BCuuur b. BAuuur cùng hướng với BCuuur
c. A, B, C thẳng hàng. d. CAuuur cùng hướng với CBuuur
Câu 3: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng. Hãy chọn câu trả lời đúng:
a. ABuuur cùng hướng với uuurAC b. BAuuur cùng phương với CBuuur
c. AB cùng phương với AC d. Cả a và b cùng đúng
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Hãy chọn câu trả lời sai:
a. ABuuur cùng phương với CDuuur b. uuurAB cùng phương với DCuuur
c. BCuuur ngược hướng với DAuuur d. uuurAB cùng hướng với uuurAC. • GV chia lớp thành 6 nhóm để thảo luận và giải bài toán.
• GV yêu cầu mỗi nhóm cử đại diện lên bảng viết đáp án. Cho các nhóm lần lượt giải thích lời giải của nhóm mình và tổ chức tranh luận, phản biện giữa các nhóm.
Câu 1:
Dự kiến những hướng phán đoán sai của HS:
• Hướng 1: Hiểu sai là “cùng phương” thì đồng nghĩa với “song song”
nên cho rằng đáp án a đúng.
• Hướng 2: Cho rằng đáp án b đúng vì nó ngược với giả thiết.
• Hướng 3: Hiểu sai là hai vectơ cùng phương thì phải cùng hướng, hoặc (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
và suy ra uuurAB cùng hướng với CDuuur. Từ đó, HS cho đáp án c là đúng. Hướng giải đúng:
AB
uuur
cùng phương với CDuuur ⇔ hai đường thẳng AB và CD song song hoặc
trùng nhau ⇔ A, B, C, D thẳng hàng hoặc AB // CD. Vậy đáp án đúng là d.
Thông qua thảo luận nhóm, HS có thể tự kiểm nghiệm, loại bỏ những cách hiểu sai tri thức và rút ra cách hiểu đúng đắn, chẳng hạn:
• Khái niệm “cùng phương” chỉ để dùng cho vectơ, không dùng cho đường thẳng, từ đó thấy được hướng 1 sai.
• Từ giả thiết ta suy ra được hai đường thẳng AB và DC song song hoặc trùng nhau ⇔ uuurAB cùng phương với DCuuur⇒ hướng 2 sai
• Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng nên HS sẽ thấy đáp án c chưa chắc đúng. Hoặc HS vẽ thêm một số hình vẽ
AB