i·u ki»n cho t½nh ch½nh quy cõa mët iºm bi¶n câ thº mæ t£ qua kh¡i ni»m dung l÷ñng cõa mi·n. C¡c kh¡i ni»m vªt lþ cõa dung l÷ñng cung c§p mët t½nh ch§t °c tr÷ng cõa iºm bi¶n. Cho Ω l mët mi·n bà ch°n trong Rn(n ≥ 3) vîi bi¶n ∂Ω, v cho u l h m i·u háa x¡c ành tr¶n ph¦n bò cõa Ω¯ v thäa m¢n c¡c i·u ki»n bi¶n u = 1 tr¶n
∂Ω v u = 0 t¤i væ cüc. ¤i l÷ñng
cap Ω =
Z
Rn−Ω
÷ñc ành ngh¾a l dung l÷ñng cõa Ω. Trong t¾nh i»n håc, cap Ω l i»n t½ch trong vªt d¨n ∂Ω ÷ñc h¼nh th nh khi nâ câ i»n th¸ b¬ng 1 so vîi ð ngo i væ cüc.
°c bi»t, chóng câ °c t½nh bi¸n ph¥n
cap Ω = inf v∈K Z |Dv|2, (2.28) trong â, K = {v ∈ C01(Rn) | v = 1 trong Ω},
vîi C01(Rn) l têng hñp c¡c h m kh£ vi li¶n töc trong Rn v b¬ng khæng ð ngo i mët h¼nh c¦u n o â.
º kiºm tra t½nh ch½nh quy cõa mët iºm x0 ∈ ∂Ω, x²t b§t ký
λ ∈ (0,1), λ cè ành v °t
Cj = cap{x /∈ Ω | |x−x0| ≤λj}.
Ti¶u chu©n Wiener nâi r¬ng x0 l iºm bi¶n ch½nh quy cõa ∂Ω n¸u v ch¿ n¸u chuéi ∞
X
i=0
Cj/λj(n−2), (2.29) ph¥n ký (xem möc 2.9 cõa [2]).
K¸t luªn
Nëi dung ch½nh ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n bao gçm:
- Tr¼nh b y kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace, nghi¶n cùu c¡c ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v· gi¡ trà trung b¼nh, nguy¶n lþ cüc ¤i v cüc tiºu èi vîi h m i·u háa, tr¶n i·u háa v d÷îi i·u háa .
- Nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa h m i·u háa: b§t ¯ng thùc Har- nack, kh¡i ni»m h m Green èi vîi b i to¡n Dirichlet, ành lþ hëi tö, c¡c ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi h m i·u háa.
- Nghi¶n cùu b i to¡n Dirichlet èi vîi h m i·u háa, tr¼nh b y kh¡i ni»m iºm ch½nh quy tr¶n bi¶n, ph¡t biºu i·u ki»n c¦n v õ cho t½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n, i·u ki»n c¦n v õ º mët iºm tr¶n bi¶n l ch½nh quy.
T i li»u tham kh£o T i li»u Ti¸ng Vi»t
[1] Tr¦n ùc V¥n (2004), Lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, Nh xu§t b£n ¤i håc Quèc gia H Nëi.
T i li»u Ti¸ng Anh
[2] D. Gilbarg and N. Trudinger (2001), Elliptic Differential Equa- tions of Second Order, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.
XC NHN CHNH SÛA LUN VN
X¡c nhªn luªn v«n th¤c s¾ cõa håc vi¶n cao håc Tr¦n V«n Tîi.
T¶n · t i luªn v«n
Ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng
M¢ sè: 60.46.01.12
B£o v» ng y 11.10.2014
¢ ch¿nh sûa theo nh÷ k¸t luªn cõa Hëi çng b£o v» t¤i tr÷íng
¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n
Gi¡o vi¶n h÷îng d¨n