ành l½ 2.6.3.
B i to¡n Dirichlet cê iºn trong mi·n bà ch°n l gi£i ÷ñc vîi h m cho tr÷îc tr¶n bi¶n tòy þ li¶n töc n¸u v ch¿ n¸u c¡c iºm bi¶n ·u l ch½nh quy.
Chùng minh.
N¸u c¡c gi¡ trà cõa ϕ tr¶n bi¶n l li¶n töc v bi¶n ∂Ω bao gçm c¡c iºm ch½nh quy, theo ành lþ 2.6.2 h m i·u háa cho bði ph÷ìng ph¡p Perron l gi£i ÷ñc èi vîi b i to¡n Dirichlet.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng b i to¡n Dirichlet l gi£i ÷ñc vîi måi bi¶n li¶n töc. Cho ξ ∈ ∂Ω. Khi â h m ϕ(x) = |x−ξ| l li¶n töc tr¶n ∂Ω v h m i·u háa gi£i b i to¡n Dirichlet trong Ω vîi gi¡ trà cõa nâ tr¶n bi¶n l ϕ hiºn nhi¶n l bà ch°n t¤i ξ.
Do â ξ l ch½nh quy, hay måi iºm cõa ∂Ω ·u l ch½nh quy. Trð l¤i c¥u häi quan trång: Nhúng mi·n n o câ bi¶n l c¡c iºm ch½nh quy? Nâ mð ra i·u ki»n õ têng qu¡t câ thº ÷ñc bt ¦u tø t½nh ch§t h¼nh håc àa ph÷ìng cõa bi¶n.
Chóng ta nhc l¤i mët sè i·u ki»n sau.
N¸u n = 2, x²t mët iºm bi¶n z0 cõa mët mi·n bà ch°n Ω v °t gèc t¤i z0 vîi tåa ë cüc r, θ .
Gi£ sû câ mët l¥n cªn N cõa z0 sao cho mët nh¡nh duy nh§t cõa
θ câ gi¡ trà ÷ñc x¡c ành tr¶n Ω∩N, ho°c tr¶n mët th nh ph¦n cõa Ω∩N câ z0 tr¶n bi¶n cõa nâ. Ta th§y r¬ng:
w = −Re 1
logz = − logr
log2r +θ2,
l mët h m chn cöc bë ( chn y¸u) t¤i z0. Do â z0 l iºm ch½nh quy.
°c bi»t, z0 l iºm bi¶n ch½nh quy n¸u nâ l iºm k¸t thóc cõa mët cung ìn n¬m ð ph½a ngo i cõa Ω. Do â b i to¡n Dirichlet tr¶n m°t ph¯ng l luæn luæn gi£i ÷ñc èi vîi bi¶n câ gi¡ trà li¶n töc tr¶n mët mi·n (mi·n bà ch°n) câ c¡c iºm bi¶n thu ÷ñc tø b¶n ngo i cõa cung ìn.
Têng qu¡t hìn, gièng nh÷ h m chn r¬ng b i to¡n gi¡ trà bi¶n l gi£i ÷ñc n¸u måi th nh ph¦n cõa mi·n bao gçm nhi·u hìn mët iºm. V½ dö v· c¡c mi·n nh÷ vªy l c¡c mi·n bà ch°n bði mët sè húu h¤n c¡c ÷íng cong kh²p k½n. Mët v½ dö kh¡c l nh¡t ct ìn và còng mët
váng cung; trong tr÷íng hñp n y gi¡ trà bi¶n câ thº l giao tr¶n c¡c c¤nh èi di»n cõa nh¡t ct.
èi vîi sè chi·u cao hìn thüc ch§t l kh¡c nhau ¡ng kº v b i to¡n Dirichlet khæng thº gi£i ÷ñc tr¶n têng qu¡t t÷ìng ùng. Do â, mët v½ dö do Lebesgue tr¼nh b y cho th§y mët m°t k½n trong ba chi·u vîi mët ¿nh câ iºm lòi h÷îng v o trong câ mët iºm khæng ch½nh quy t¤i ¦u cõa iºm lòi â.