Ph÷ìng ph¡p Perron (Ph÷ìng ph¡p h m i·u

Một phần của tài liệu Phương trình và bất phương trình laplace (Trang 30)

d֔i)

B¥y gií cho Ω l  bà ch°n v  ϕ l  h m bà ch°n tr¶n ∂Ω. Mët h m d÷îi i·u háa u ∈ C0( ¯Ω) ÷ñc gåi l  h m d÷îi i·u háa èi vîi ϕ n¸u nâ thäa m¢n u ≤ ϕ tr¶n ∂Ω. T÷ìng tü h m tr¶n i·u háa cõa C0( ¯Ω) ÷ñc gåi l  h m tr¶n i·u háa èi vîi ϕ n¸u nâ thäa m¢n u ≥ϕ tr¶n

∂Ω. Theo nguy¶n lþ cüc ¤i måi h m d÷îi ·u nhä hìn ho°c b¬ng måi h m tr¶n. °c bi»t, h m h¬ng ≤ inf

∂Ωϕ (≥ sup

∂Ω

ϕ) l  nhúng h m d÷îi (h m tr¶n). Kþ hi»u Sϕ l  tªp hñp c¡c h m d÷îi i·u háa èi vîi ϕ. Cì sð cõa k¸t qu£ cõa ph÷ìng ph¡p Perron chùa trong ành lþ sau: ành l½ 2.6.1.

H m sè

u(x) = sup

v∈Sϕ

v(x),

l  h m i·u háa trong Ω. Chùng minh.

Theo nguy¶n lþ cüc ¤i b§t k¼ h m v ∈ Sϕ ·u thäa m¢n

v ≤ supϕ,

do â u l  x¡c ành.

Cho y l  iºm tòy þ cè ành cõa Ω. Theo ành ngh¾a cõa h m u, tçn t¤i mët d¢y {vn} ⊂ Sϕ sao cho

vn(y) → u(y).

B¬ng c¡ch thay th¸ vn b¬ng max(vn,infϕ), chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng d¢y {vn} l  bà ch°n.

B¥y gií chån R sao cho h¼nh c¦u B = BR(y) ⊂⊂ Ω v  x¡c ành Vn

Vn(y) → u(y) v  theo ành lþ 2.5.2 d¢y {Vn} chùa d¢y con {Vnk} hëi tö ·u tr¶n måi h¼nh c¦u Bρ(y) vîi ρ < R ¸n mët h m v l  h m i·u háa trong B.

Rã r ng v ≤ u trong B v  v(y) = u(y). Chóng ta kh¯ng ành r¬ng tr¶n thüc t¸ u = v trong B.

Gi£ sû v(z) < u(z) t¤i mët sè z ∈ B. Khi â tçn t¤i mët h m ¯

u ∈ Sϕ sao cho

v(z) < u¯(z).

X¡c ành wk = max(¯u, Vnk) v  công gièng h m n¥ng i·u háa

Wk nh÷ trong (2.25), chóng ta thu ÷ñc mët d¢y con cõa d¢y {Wk} hëi tö ¸n mët h m i·u háa w thäa m¢n v ≤ w ≤ u trong B v 

v(y) = w(y) = u(y). Nh÷ng theo nguy¶n lþ cüc ¤i chóng ta câ v = u

trong B. i·u n y m¥u thu¨n vîi sü x¡c ành cõa u¯ v  do â ul  h m i·u háa trong Ω.

C¡c k¸t qu£ ¢ ÷ñc tr¼nh b y ð tr¶n cõa mët h m i·u háa l  t½nh ch§t nghi»m (÷ñc gåi l  nghi»m Perron) cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn: ∆u = 0, u = ϕ trong ∂Ω. Thªt vªy, n¸u b i to¡n Dirichlet gi£i ÷ñc, líi gi£i cõa nâ l  çng nh§t vîi líi gi£i Perron. Gi£ sû cho

w l  nghi»m. Rã r ng w ∈ Sϕ v  theo nguy¶n lþ cüc ¤i th¼ w ≥u vîi måi u ∈ Sϕ.

Chóng ta chó þ r¬ng c¡ch chùng minh cõa ành lþ 2.6.1 câ thº düa tr¶n ành lþ hëi tö Harnack, ành lþ 2.4.3, thay cho ành lþ compact, ành lþ 2.5.1 (xem b i to¡n 2.10).

Một phần của tài liệu Phương trình và bất phương trình laplace (Trang 30)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(39 trang)