d֔i)
B¥y gií cho Ω l bà ch°n v ϕ l h m bà ch°n tr¶n ∂Ω. Mët h m d÷îi i·u háa u ∈ C0( ¯Ω) ÷ñc gåi l h m d÷îi i·u háa èi vîi ϕ n¸u nâ thäa m¢n u ≤ ϕ tr¶n ∂Ω. T÷ìng tü h m tr¶n i·u háa cõa C0( ¯Ω) ÷ñc gåi l h m tr¶n i·u háa èi vîi ϕ n¸u nâ thäa m¢n u ≥ϕ tr¶n
∂Ω. Theo nguy¶n lþ cüc ¤i måi h m d÷îi ·u nhä hìn ho°c b¬ng måi h m tr¶n. °c bi»t, h m h¬ng ≤ inf
∂Ωϕ (≥ sup
∂Ω
ϕ) l nhúng h m d÷îi (h m tr¶n). Kþ hi»u Sϕ l tªp hñp c¡c h m d÷îi i·u háa èi vîi ϕ. Cì sð cõa k¸t qu£ cõa ph÷ìng ph¡p Perron chùa trong ành lþ sau: ành l½ 2.6.1.
H m sè
u(x) = sup
v∈Sϕ
v(x),
l h m i·u háa trong Ω. Chùng minh.
Theo nguy¶n lþ cüc ¤i b§t k¼ h m v ∈ Sϕ ·u thäa m¢n
v ≤ supϕ,
do â u l x¡c ành.
Cho y l iºm tòy þ cè ành cõa Ω. Theo ành ngh¾a cõa h m u, tçn t¤i mët d¢y {vn} ⊂ Sϕ sao cho
vn(y) → u(y).
B¬ng c¡ch thay th¸ vn b¬ng max(vn,infϕ), chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng d¢y {vn} l bà ch°n.
B¥y gií chån R sao cho h¼nh c¦u B = BR(y) ⊂⊂ Ω v x¡c ành Vn
Vn(y) → u(y) v theo ành lþ 2.5.2 d¢y {Vn} chùa d¢y con {Vnk} hëi tö ·u tr¶n måi h¼nh c¦u Bρ(y) vîi ρ < R ¸n mët h m v l h m i·u háa trong B.
Rã r ng v ≤ u trong B v v(y) = u(y). Chóng ta kh¯ng ành r¬ng tr¶n thüc t¸ u = v trong B.
Gi£ sû v(z) < u(z) t¤i mët sè z ∈ B. Khi â tçn t¤i mët h m ¯
u ∈ Sϕ sao cho
v(z) < u¯(z).
X¡c ành wk = max(¯u, Vnk) v công gièng h m n¥ng i·u háa
Wk nh÷ trong (2.25), chóng ta thu ÷ñc mët d¢y con cõa d¢y {Wk} hëi tö ¸n mët h m i·u háa w thäa m¢n v ≤ w ≤ u trong B v
v(y) = w(y) = u(y). Nh÷ng theo nguy¶n lþ cüc ¤i chóng ta câ v = u
trong B. i·u n y m¥u thu¨n vîi sü x¡c ành cõa u¯ v do â ul h m i·u háa trong Ω.
C¡c k¸t qu£ ¢ ÷ñc tr¼nh b y ð tr¶n cõa mët h m i·u háa l t½nh ch§t nghi»m (÷ñc gåi l nghi»m Perron) cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn: ∆u = 0, u = ϕ trong ∂Ω. Thªt vªy, n¸u b i to¡n Dirichlet gi£i ÷ñc, líi gi£i cõa nâ l çng nh§t vîi líi gi£i Perron. Gi£ sû cho
w l nghi»m. Rã r ng w ∈ Sϕ v theo nguy¶n lþ cüc ¤i th¼ w ≥u vîi måi u ∈ Sϕ.
Chóng ta chó þ r¬ng c¡ch chùng minh cõa ành lþ 2.6.1 câ thº düa tr¶n ành lþ hëi tö Harnack, ành lþ 2.4.3, thay cho ành lþ compact, ành lþ 2.5.1 (xem b i to¡n 2.10).