H m ch­n t¤i mët iºm tr¶n bi¶n, kh¡i ni»m

ch½nh quy

Trong ph÷ìng ph¡p Perron nghi¶n cùu c¡ch xû lþ bi¶n cõa nghi»m thüc ch§t ÷ñc t¡ch tø sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n. Ti¸p töc gi£ thi¸t cõa gi¡ trà bi¶n l  sü li¶n thæng ¸n þ ngh¾a h¼nh håc cõa bi¶n thæng qua kh¡i ni»m cõa h m ch­n.

ành ngh¾a 2.6.2.

Cho ξ l  mët iºm cõa ∂Ω. Khi â cho mët h m w thuëc C0( ¯Ω),

w = wξ ÷ñc gåi l  h m ch­n t¤i ξ t÷ìng èi ¸n Ω n¸u: (i) w l  tr¶n i·u háa trong Ω,

(ii) w > 0 trong Ω¯\ξ, w(ξ) = 0.

Mët ành ngh¾a têng qu¡t hìn v· h m ch­n ch¿ y¶u c¦u h m tr¶n i·u háa w li¶n töc v  mang d§u d÷ìng tr¶n Ω, v  w(x) → 0 vîi

x →ξ. Mët °c iºm quan trång cõa kh¡i ni»m h m ch­n l  mët t½nh ch§t àa ph÷ìng tr¶n bi¶n cõa ∂Ω. Cö thº l , ta ành ngh¾a w l  mët h m ch­n àa ph÷ìng t¤i ξ ∈ ∂Ω n¸u câ mët sè N cõa ξ sao cho w

thäa m¢n ành ngh¾a ð tr¶n trong Ω∩N. Khi â mët h m ch­n t¤i ξ

t÷ìng èi ¸n Ω ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: ành ngh¾a 2.6.3.

Cho B l  mët h¼nh c¦u thäa m¢n ξ ∈ B ⊂⊂ N v  m = inf

N−Bw > 0. H m ¯ w(x) = ( min(m, w(x)), x ∈ Ω¯ ∩B, m, x ∈ Ω¯ −B.

l  mët h m ch­n t¤i ξ t÷ìng èi ¸n Ω, theo c¡c t½nh ch§t (i) v  (ii). Thªt vªy, w¯ l  li¶n töc trong Ω¯ v  l  h m tr¶n i·u háa trong Ω theo t½nh ch§t 3 cõa c¡c h m tr¶n i·u háa; t½nh ch§t (ii) ÷ñc suy trüc ti¸p.

ành ngh¾a 2.6.4.

iºm bi¶n ÷ñc gåi l  iºm ch½nh quy (èi vîi to¡n tû Laplace) n¸u tçn t¤i mët h m ch­n t¤i iºm â.

K¸t hñp giúa h m ch­n v  c¡ch xû lþ iºm bi¶n cõa líi gi£i chùa trong c¡c ành lþ sau.

ành l½ 2.6.2.

Cho u l  h m i·u háa ¢ ÷ñc ành ngh¾a tr¶n Ω theo ph÷ìng ph¡p Perron (ành lþ 2.6.1). N¸u ξ l  mët iºm bi¶n ch½nh quy cõa Ω v  ϕ

l  li¶n töc t¤i ξ, khi â:

u(x) → ϕ(ξ) vîi x → ξ.

Chùng minh.

Chån > 0 v  cho M = sup|ϕ|. Tø ξ l  mët iºm bi¶n ch½nh quy, tçn t¤i mët h m ch­n w t¤i ξ v  do t½nh li¶n töc cõa ϕ, tçn t¤i c¡c h¬ng sè δ v  k sao cho

|ϕ(x)−ϕ(ξ)|< n¸u |x−ξ| < δ,

v 

k.w(x) ≥ 2M n¸u |x−ξ| ≥ δ.

C¡c h m ϕ(ξ) ++kw, ϕ(ξ) −−kw t÷ìng ùng l  h m tr¶n v  h m d÷îi t÷ìng èi ¸n ϕ. Nh÷ vªy tø ành ngh¾a cõa h m u v  thüc t¸ l  måi h m tr¶n trëi hìn måi h m d÷îi, trong Ω chóng ta câ:

ϕ(ξ)−−kw(x) ≤ u(x) ≤ ϕ(ξ) ++kw(x),

ho°c

|u(x)−ϕ(ξ)| ≤ +kw(x).

Tø w(x) → 0 vîi x → ξ, chóng ta thu ÷ñc u(x) → ϕ(ξ) vîi

x →ξ.

i·u n y d¨n ngay lªp tùc ¸n i·u ki»n c¦n v  õ º b i to¡n Dirichlet l  gi£i ÷ñc.