B¬ng c¡ch l§y ¤o h m trüc ti¸p cõa t½ch ph¥n Poisson câ thº thu ÷ñc ÷îc t½nh b¶n trong cõa c¡c d¨n su§t cho h m i·u háa. Ngo i ra c¡c ÷îc t½nh nh÷ vªy công theo ành lþ gi¡ trà trung b¼nh.
Cho u l i·u háa tr¶n Ω v B = BR(y) ⊂⊂ Ω. Gradien cõa h m
u, Du công l i·u háa tr¶n Ω theo ành lþ gi¡ trà trung b¼nh v ành lþ ph¥n ký m : Du(y) = 1 ωnRn Z B Dudx = 1 ωnRn Z B uvds, |Du(y)| ≤ n Rsup∂B |u|,
v do â ta nhªn ÷ñc cæng thùc sau ¥y ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m c§p mët
|Du(y)| ≤ n
dy supΩ |u|, (2.23) trong â dy = dist(y, ∂Ω). B¬ng c¡ch l§y t½ch ph¥n li¶n ti¸p t÷ìng ùng cõa ÷îc t½nh (2.23) tr¶n c¡c h¼nh c¦u lçng nhau, c¡ch ·u nhau chóng ta ÷ñc c¡c ÷îc t½nh cho c¡c d¨n su§t bªc cao.
2.5.2 ¡nh gi¡ b¶n trong mi·n èi vîi ¤o h m b§t ký ành l½ 2.5.1.
Cho u l h m i·u háa trong Ω v cho Ω0 l tªp con compact b§t ký cõa Ω. Khi â cho mët ch¿ sè α b§t ký chóng ta câ
sup Ω0 |Dαu| ≤ n|α| d |α| sup Ω |u|, (2.24) trong â d = dist(Ω0, ∂Ω), α = (α1, α2, ..., αn), αj ∈ N, Dα = Dα1 1 Dα2 2 ...Dαn n , |α| = α1 +α2 +...+αn.
Mët h» qu£ trüc ti¸p cõa r ng buëc (2.24) l sü li¶n töc ·u tr¶n mi·n con cõa c¡c d¨n su§t b§t ký bà ch°n cõa h m i·u háa. Do â theo ành lþ Arzela, chóng ta th§y c¡c h m i·u háa bà ch°n h¼nh th nh mët hå.
ành l½ 2.5.2.
Mët d¢y b§t ký cõa c¡c h m i·u háa trong mët mi·n Ω chùa mët d¢y con hëi tö ·u trong mi·n con compact cõa Ω ¸n mët h m i·u háa.
ành lþ 2.5.2 ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành lþ 2.4.2, ành lþ hëi tö.
2.6 B i to¡n Dirichlet. Ph÷ìng ph¡p h m i·u háa d÷îi
Ta x²t b i to¡n Dirichlet cho ph÷ìng tr¼nh Laplace: Cho Ω l mi·n bà ch°n tr¶n Rn,t¼m mët h m u : Ω →R thäa m¢n u ∈ C2(Ω)∩C( ¯Ω), v ( ∆u = 0, trong Ω u = ϕ, tr¶n ∂Ω , trong â ϕ ∈ C(∂Ω) l h m cho tr÷îc.
2.6.1 Mð rëng kh¡i ni»m h m d÷îi i·u háa v h m tr¶n i·u háa
B¥y gií, chóng ta °t ra mët v§n · l º ti¸p cªn vîi c¥u häi sü tçn t¤i nghi»m g¦n óng cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn tr¶n mi·n tòy þ bà ch°n. º gi£i v§n · tr¶n chóng ta sû döng ph÷ìng ph¡p Perron cõa c¡c h m i·u háa d÷îi [P E] m chõ y¸u düa tr¶n nguy¶n lþ cüc ¤i v kh£ n«ng gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichlet tr¶n h¼nh c¦u. Ph÷ìng ph¡p n y câ mët sè °c iºm h§p d¨n l ìn gi£n, ph¥n t½ch c¡c v§n · tçn t¤i b¶n trong cõa c¡ch xû lþ iºm bi¶n cõa c¡c nghi»m v câ thº d¹ d ng mð rëng ¸n lîp thù hai cõa ph÷ìng tr¼nh Eliptic.
Câ c¡ch ti¸p cªn kh¡c công ÷ñc bi¸t ¸n v· ành lþ sü tçn t¤i nghi»m g¦n óng nh÷ ph÷ìng ph¡p cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, v½ dö nh÷ trong c¡c cuèn s¡ch [KE2] [GU], v ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n ho°c ph²p x§p x¿ cõa khæng gian Hilbert.
ành ngh¾a C0(Ω) h m i·u háa d÷îi v h m i·u háa tr¶n ÷ñc kh¡i qu¡t nh÷ sau.
ành ngh¾a 2.6.1.
Mët h m u tr¶n C0(Ω) ÷ñc gåi l h m d÷îi i·u háa (h m tr¶n i·u háa) tr¶n Ω n¸u vîi måi h¼nh c¦u B ⊂⊂ Ω v måi h m i·u háa
h tr¶n B thäa m¢n u ≤ (≥) h tr¶n ∂B, chóng ta câ u ≤ (≥) h trong
B.
C¡c t½nh ch§t cõa C0(Ω) c¡c h m d÷îi i·u háa d¹ d ng ÷ñc thi¸t lªp.
2.6.2 C¡c t½nh ch§t cõa h m d÷îi i·u háa v h m tr¶n i·u háa mð rëng
A.T½nh ch§t 1:
N¸u u l h m d÷îi i·u háa tr¶n mët mi·n Ω, th¼ nâ thäa m¢n nguy¶n lþ cüc ¤i tr¶n Ω; v n¸u v l tr¶n i·u háa tr¶n mi·n bà ch°n Ω vîi v ≥ u trong ∂Ω, th¼ ho°c l v > u khp Ω ho°c v ≡ u.
º chùng minh sü kh¯ng ành tr¶n, gi£ sû ng÷ñc l¤i, t¤i méi iºm
x0 ∈ Ω chóng ta câ:
(u−v)(x0) = sup
Ω
(u−v) =M ≥ 0.
V chóng ta câ thº gi£ thi¸t câ h¼nh c¦u B = B(x0) k½n sao cho
u−v 6= M tr¶n ∂B.
Cho u¯, v¯ l c¡c h m i·u háa v l¦n l÷ñt b¬ng u, v tr¶n ∂B (ành lþ 2.3.1), ta th§y r¬ng:
M ≥sup
∂B
(¯u−v¯) ≥(¯u−v¯)(x0) ≥ (u−v)(x0) =M.
V do â ¯ng thùc x£y ra khp nìi. Theo nguy¶n lþ cüc ¤i èi vîi c¡c h m i·u háa (ành lþ 1.3.1) ta câ u¯−v¯= M trong B v do â u−v ≡ M trong ∂B, i·u n y m¥u thu¨n vîi c¡ch chån cõa B.
B.T½nh ch§t 2:
Cho u l h m d÷îi i·u háa tr¶n Ω v B l h¼nh c¦u chùa trån trong Ω. Kþ hi»u u¯ l h m i·u háa tr¶n B (¢ cho bði t½ch ph¥n Poisson cõa u tr¶n ∂B) thäa m¢n u¯= u tr¶n ∂B.
Chóng ta ành ngh¾a trong Ω h m n¥ng i·u háa cõa u (tr¶n B) b¬ng: U(x) = ( ¯ u(x), x ∈ B, u(x), x ∈ Ω−B. (2.25) Khi â h m U công l h m d÷îi i·u háa trong Ω.
X²t mët h¼nh c¦u tòy þ B0 ⊂⊂ Ω v cho h l h m i·u háa trong
B0 thäa m¢n h ≥ U tr¶n ∂B0. Tø u ≤ U trong B0 chóng ta câ u ≤ h
trong B0 v do â U ≤ h trong B0 −B. Công tø U l h m i·u háa trong B, chóng ta câ theo nguy¶n lþ cüc ¤i U ≤ h trong B ∩B0. Do â U ≤h trong B0 v U l h m i·u háa d÷îi trong Ω.
C.T½nh ch§t 3:
Cho c¡c h m u1, u2, ..., uN l c¡c h m d÷îi i·u háa trong Ω. Th¼ h m u(x) = max{u1(x), ..., uN(x)} công l h m d÷îi i·u háa trong Ω. ¥y l mët h» qu£ cõa ành ngh¾a h m d÷îi i·u háa.
T÷ìng ùng k¸t qu£ cho h m tr¶n i·u háa câ ÷ñc b¬ng c¡ch thay
u bði −u trong c¡c t½nh ch§t (1), (2) v (3).
2.6.3 Ph÷ìng ph¡p Perron (Ph÷ìng ph¡p h m i·u háad÷îi) d÷îi)
B¥y gií cho Ω l bà ch°n v ϕ l h m bà ch°n tr¶n ∂Ω. Mët h m d÷îi i·u háa u ∈ C0( ¯Ω) ÷ñc gåi l h m d÷îi i·u háa èi vîi ϕ n¸u nâ thäa m¢n u ≤ ϕ tr¶n ∂Ω. T÷ìng tü h m tr¶n i·u háa cõa C0( ¯Ω) ÷ñc gåi l h m tr¶n i·u háa èi vîi ϕ n¸u nâ thäa m¢n u ≥ϕ tr¶n
∂Ω. Theo nguy¶n lþ cüc ¤i måi h m d÷îi ·u nhä hìn ho°c b¬ng måi h m tr¶n. °c bi»t, h m h¬ng ≤ inf
∂Ωϕ (≥ sup
∂Ω
ϕ) l nhúng h m d÷îi (h m tr¶n). Kþ hi»u Sϕ l tªp hñp c¡c h m d÷îi i·u háa èi vîi ϕ. Cì sð cõa k¸t qu£ cõa ph÷ìng ph¡p Perron chùa trong ành lþ sau: ành l½ 2.6.1.
H m sè
u(x) = sup
v∈Sϕ
v(x),
l h m i·u háa trong Ω. Chùng minh.
Theo nguy¶n lþ cüc ¤i b§t k¼ h m v ∈ Sϕ ·u thäa m¢n
v ≤ supϕ,
do â u l x¡c ành.
Cho y l iºm tòy þ cè ành cõa Ω. Theo ành ngh¾a cõa h m u, tçn t¤i mët d¢y {vn} ⊂ Sϕ sao cho
vn(y) → u(y).
B¬ng c¡ch thay th¸ vn b¬ng max(vn,infϕ), chóng ta câ thº gi£ sû r¬ng d¢y {vn} l bà ch°n.
B¥y gií chån R sao cho h¼nh c¦u B = BR(y) ⊂⊂ Ω v x¡c ành Vn
Vn(y) → u(y) v theo ành lþ 2.5.2 d¢y {Vn} chùa d¢y con {Vnk} hëi tö ·u tr¶n måi h¼nh c¦u Bρ(y) vîi ρ < R ¸n mët h m v l h m i·u háa trong B.
Rã r ng v ≤ u trong B v v(y) = u(y). Chóng ta kh¯ng ành r¬ng tr¶n thüc t¸ u = v trong B.
Gi£ sû v(z) < u(z) t¤i mët sè z ∈ B. Khi â tçn t¤i mët h m ¯
u ∈ Sϕ sao cho
v(z) < u¯(z).
X¡c ành wk = max(¯u, Vnk) v công gièng h m n¥ng i·u háa
Wk nh÷ trong (2.25), chóng ta thu ÷ñc mët d¢y con cõa d¢y {Wk} hëi tö ¸n mët h m i·u háa w thäa m¢n v ≤ w ≤ u trong B v
v(y) = w(y) = u(y). Nh÷ng theo nguy¶n lþ cüc ¤i chóng ta câ v = u
trong B. i·u n y m¥u thu¨n vîi sü x¡c ành cõa u¯ v do â ul h m i·u háa trong Ω.
C¡c k¸t qu£ ¢ ÷ñc tr¼nh b y ð tr¶n cõa mët h m i·u háa l t½nh ch§t nghi»m (÷ñc gåi l nghi»m Perron) cõa b i to¡n Dirichlet cê iºn: ∆u = 0, u = ϕ trong ∂Ω. Thªt vªy, n¸u b i to¡n Dirichlet gi£i ÷ñc, líi gi£i cõa nâ l çng nh§t vîi líi gi£i Perron. Gi£ sû cho
w l nghi»m. Rã r ng w ∈ Sϕ v theo nguy¶n lþ cüc ¤i th¼ w ≥u vîi måi u ∈ Sϕ.
Chóng ta chó þ r¬ng c¡ch chùng minh cõa ành lþ 2.6.1 câ thº düa tr¶n ành lþ hëi tö Harnack, ành lþ 2.4.3, thay cho ành lþ compact, ành lþ 2.5.1 (xem b i to¡n 2.10).
2.6.4 H m chn t¤i mët iºm tr¶n bi¶n, kh¡i ni»m iºmch½nh quy ch½nh quy
Trong ph÷ìng ph¡p Perron nghi¶n cùu c¡ch xû lþ bi¶n cõa nghi»m thüc ch§t ÷ñc t¡ch tø sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n. Ti¸p töc gi£ thi¸t cõa gi¡ trà bi¶n l sü li¶n thæng ¸n þ ngh¾a h¼nh håc cõa bi¶n thæng qua kh¡i ni»m cõa h m chn.
ành ngh¾a 2.6.2.
Cho ξ l mët iºm cõa ∂Ω. Khi â cho mët h m w thuëc C0( ¯Ω),
w = wξ ÷ñc gåi l h m chn t¤i ξ t÷ìng èi ¸n Ω n¸u: (i) w l tr¶n i·u háa trong Ω,
(ii) w > 0 trong Ω¯\ξ, w(ξ) = 0.
Mët ành ngh¾a têng qu¡t hìn v· h m chn ch¿ y¶u c¦u h m tr¶n i·u háa w li¶n töc v mang d§u d÷ìng tr¶n Ω, v w(x) → 0 vîi
x →ξ. Mët °c iºm quan trång cõa kh¡i ni»m h m chn l mët t½nh ch§t àa ph÷ìng tr¶n bi¶n cõa ∂Ω. Cö thº l , ta ành ngh¾a w l mët h m chn àa ph÷ìng t¤i ξ ∈ ∂Ω n¸u câ mët sè N cõa ξ sao cho w
thäa m¢n ành ngh¾a ð tr¶n trong Ω∩N. Khi â mët h m chn t¤i ξ
t÷ìng èi ¸n Ω ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: ành ngh¾a 2.6.3.
Cho B l mët h¼nh c¦u thäa m¢n ξ ∈ B ⊂⊂ N v m = inf
N−Bw > 0. H m ¯ w(x) = ( min(m, w(x)), x ∈ Ω¯ ∩B, m, x ∈ Ω¯ −B.
l mët h m chn t¤i ξ t÷ìng èi ¸n Ω, theo c¡c t½nh ch§t (i) v (ii). Thªt vªy, w¯ l li¶n töc trong Ω¯ v l h m tr¶n i·u háa trong Ω theo t½nh ch§t 3 cõa c¡c h m tr¶n i·u háa; t½nh ch§t (ii) ÷ñc suy trüc ti¸p.
ành ngh¾a 2.6.4.
iºm bi¶n ÷ñc gåi l iºm ch½nh quy (èi vîi to¡n tû Laplace) n¸u tçn t¤i mët h m chn t¤i iºm â.
K¸t hñp giúa h m chn v c¡ch xû lþ iºm bi¶n cõa líi gi£i chùa trong c¡c ành lþ sau.
ành l½ 2.6.2.
Cho u l h m i·u háa ¢ ÷ñc ành ngh¾a tr¶n Ω theo ph÷ìng ph¡p Perron (ành lþ 2.6.1). N¸u ξ l mët iºm bi¶n ch½nh quy cõa Ω v ϕ
l li¶n töc t¤i ξ, khi â:
u(x) → ϕ(ξ) vîi x → ξ.
Chùng minh.
Chån > 0 v cho M = sup|ϕ|. Tø ξ l mët iºm bi¶n ch½nh quy, tçn t¤i mët h m chn w t¤i ξ v do t½nh li¶n töc cõa ϕ, tçn t¤i c¡c h¬ng sè δ v k sao cho
|ϕ(x)−ϕ(ξ)|< n¸u |x−ξ| < δ,
v
k.w(x) ≥ 2M n¸u |x−ξ| ≥ δ.
C¡c h m ϕ(ξ) ++kw, ϕ(ξ) −−kw t÷ìng ùng l h m tr¶n v h m d÷îi t÷ìng èi ¸n ϕ. Nh÷ vªy tø ành ngh¾a cõa h m u v thüc t¸ l måi h m tr¶n trëi hìn måi h m d÷îi, trong Ω chóng ta câ:
ϕ(ξ)−−kw(x) ≤ u(x) ≤ ϕ(ξ) ++kw(x),
ho°c
|u(x)−ϕ(ξ)| ≤ +kw(x).
Tø w(x) → 0 vîi x → ξ, chóng ta thu ÷ñc u(x) → ϕ(ξ) vîi
x →ξ.
i·u n y d¨n ngay lªp tùc ¸n i·u ki»n c¦n v õ º b i to¡n Dirichlet l gi£i ÷ñc.
2.6.5 T½nh gi£i ÷ñc cõa b i to¡n Dirichletành l½ 2.6.3. ành l½ 2.6.3.
B i to¡n Dirichlet cê iºn trong mi·n bà ch°n l gi£i ÷ñc vîi h m cho tr÷îc tr¶n bi¶n tòy þ li¶n töc n¸u v ch¿ n¸u c¡c iºm bi¶n ·u l ch½nh quy.
Chùng minh.
N¸u c¡c gi¡ trà cõa ϕ tr¶n bi¶n l li¶n töc v bi¶n ∂Ω bao gçm c¡c iºm ch½nh quy, theo ành lþ 2.6.2 h m i·u háa cho bði ph÷ìng ph¡p Perron l gi£i ÷ñc èi vîi b i to¡n Dirichlet.
Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng b i to¡n Dirichlet l gi£i ÷ñc vîi måi bi¶n li¶n töc. Cho ξ ∈ ∂Ω. Khi â h m ϕ(x) = |x−ξ| l li¶n töc tr¶n ∂Ω v h m i·u háa gi£i b i to¡n Dirichlet trong Ω vîi gi¡ trà cõa nâ tr¶n bi¶n l ϕ hiºn nhi¶n l bà ch°n t¤i ξ.
Do â ξ l ch½nh quy, hay måi iºm cõa ∂Ω ·u l ch½nh quy. Trð l¤i c¥u häi quan trång: Nhúng mi·n n o câ bi¶n l c¡c iºm ch½nh quy? Nâ mð ra i·u ki»n õ têng qu¡t câ thº ÷ñc bt ¦u tø t½nh ch§t h¼nh håc àa ph÷ìng cõa bi¶n.
Chóng ta nhc l¤i mët sè i·u ki»n sau.
N¸u n = 2, x²t mët iºm bi¶n z0 cõa mët mi·n bà ch°n Ω v °t gèc t¤i z0 vîi tåa ë cüc r, θ .
Gi£ sû câ mët l¥n cªn N cõa z0 sao cho mët nh¡nh duy nh§t cõa
θ câ gi¡ trà ÷ñc x¡c ành tr¶n Ω∩N, ho°c tr¶n mët th nh ph¦n cõa Ω∩N câ z0 tr¶n bi¶n cõa nâ. Ta th§y r¬ng:
w = −Re 1
logz = − logr
log2r +θ2,
l mët h m chn cöc bë ( chn y¸u) t¤i z0. Do â z0 l iºm ch½nh quy.
°c bi»t, z0 l iºm bi¶n ch½nh quy n¸u nâ l iºm k¸t thóc cõa mët cung ìn n¬m ð ph½a ngo i cõa Ω. Do â b i to¡n Dirichlet tr¶n m°t ph¯ng l luæn luæn gi£i ÷ñc èi vîi bi¶n câ gi¡ trà li¶n töc tr¶n mët mi·n (mi·n bà ch°n) câ c¡c iºm bi¶n thu ÷ñc tø b¶n ngo i cõa cung ìn.
Têng qu¡t hìn, gièng nh÷ h m chn r¬ng b i to¡n gi¡ trà bi¶n l gi£i ÷ñc n¸u måi th nh ph¦n cõa mi·n bao gçm nhi·u hìn mët iºm. V½ dö v· c¡c mi·n nh÷ vªy l c¡c mi·n bà ch°n bði mët sè húu h¤n c¡c ÷íng cong kh²p k½n. Mët v½ dö kh¡c l nh¡t ct ìn và còng mët
váng cung; trong tr÷íng hñp n y gi¡ trà bi¶n câ thº l giao tr¶n c¡c c¤nh èi di»n cõa nh¡t ct.
èi vîi sè chi·u cao hìn thüc ch§t l kh¡c nhau ¡ng kº v b i to¡n Dirichlet khæng thº gi£i ÷ñc tr¶n têng qu¡t t÷ìng ùng. Do â, mët v½ dö do Lebesgue tr¼nh b y cho th§y mët m°t k½n trong ba chi·u vîi mët ¿nh câ iºm lòi h÷îng v o trong câ mët iºm khæng ch½nh quy t¤i ¦u cõa iºm lòi â.
2.6.6 i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i
Mët i·u ki»n õ ìn gi£n cho t½nh ch½nh quy cõa iºm ξ ∈ ∂Ω l i·u ki»n h¼nh c¦u ngo i; tùc l , tçn t¤i mët h¼nh c¦u ngo iB = BR(y) thäa m¢n B¯ ∩Ω =¯ ξ. N¸u i·u ki»n nh÷ vªy ÷ñc thäa m¢n, th¼ h m
w ÷ñc x¡c ành bði w(x) = R2−n − |x−y|2−n, n ≥ 3, log|x−y| R , n = 2, (2.26) l mët h m chc chn t¤i ξ. Do â c¡c iºm bi¶n cõa mët mi·n thuëc lîp C2 ·u l c¡c iºm ch½nh quy (xem möc 2.8 trong [2]).
2.7 Dung l֖ng
i·u ki»n cho t½nh ch½nh quy cõa mët iºm bi¶n câ thº mæ t£ qua kh¡i ni»m dung l÷ñng cõa mi·n. C¡c kh¡i ni»m vªt lþ cõa dung l÷ñng cung c§p mët t½nh ch§t °c tr÷ng cõa iºm bi¶n. Cho Ω l mët mi·n bà ch°n trong Rn(n ≥ 3) vîi bi¶n ∂Ω, v cho u l h m i·u háa x¡c ành tr¶n ph¦n bò cõa Ω¯ v thäa m¢n c¡c i·u ki»n bi¶n u = 1 tr¶n
∂Ω v u = 0 t¤i væ cüc. ¤i l÷ñng
cap Ω =
Z
Rn−Ω
÷ñc ành ngh¾a l dung l÷ñng cõa Ω. Trong t¾nh i»n håc, cap Ω l i»n t½ch trong vªt d¨n ∂Ω ÷ñc h¼nh th nh khi nâ câ i»n th¸ b¬ng 1 so vîi ð ngo i væ cüc.
°c bi»t, chóng câ °c t½nh bi¸n ph¥n
cap Ω = inf v∈K Z |Dv|2, (2.28) trong â, K = {v ∈ C01(Rn) | v = 1 trong Ω},
vîi C01(Rn) l têng hñp c¡c h m kh£ vi li¶n töc trong Rn v b¬ng khæng ð ngo i mët h¼nh c¦u n o â.
º kiºm tra t½nh ch½nh quy cõa mët iºm x0 ∈ ∂Ω, x²t b§t ký
λ ∈ (0,1), λ cè ành v °t
Cj = cap{x /∈ Ω | |x−x0| ≤λj}.
Ti¶u chu©n Wiener nâi r¬ng x0 l iºm bi¶n ch½nh quy cõa ∂Ω n¸u v ch¿ n¸u chuéi ∞
X
i=0
Cj/λj(n−2), (2.29) ph¥n ký (xem möc 2.9 cõa [2]).
K¸t luªn
Nëi dung ch½nh ÷ñc tr¼nh b y trong luªn v«n bao gçm:
- Tr¼nh b y kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh v b§t ph÷ìng tr¼nh Laplace, nghi¶n cùu c¡c ¯ng thùc, b§t ¯ng thùc v· gi¡ trà trung b¼nh, nguy¶n lþ cüc ¤i v cüc tiºu èi vîi h m i·u háa, tr¶n i·u háa v d÷îi i·u háa .
- Nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa h m i·u háa: b§t ¯ng thùc Har- nack, kh¡i ni»m h m Green èi vîi b i to¡n Dirichlet, ành lþ hëi