Sơ đồ “Wavelet Lifting” là một phương pháp thay thế cho phép biến đổi wavelet hàng và cột được định nghĩa trực tiếp trong miền không gian. Lý do chính đằng sau sự ra đời của “Wavelet Lifting” là khả năng định nghĩa sóng con (wavelets) trong trường hình học phức tạp và lấy mẫu bất thường, tức là, ở những nơi mà phương pháp translation (tịnh tiến) và dilation (giãn nở/tỷ lệ) không thể được áp dụng. Thông thường, những loại sóng con (wavelets) này được gọi là wavelet thế hệ thứ hai, để phân biệt với sóng con cổ điển, còn được gọi là sóng con thế hệ đầu tiên.
Điển hình cho kỹ thuật Lifting gồm 3 bước: chia tách ( ), Dự đoán ( ), và Cập nhật ( ) như thể hiện trong Hình 4.13.
Split x −𝒫 𝒰 + + xe xo d s 𝒫 −𝒰 + + Merge xo xe x
Lifting stage Inverse lifting stage
Hình 4.13. Sơ đồ “Wavelet Lifting” (nguồn [26]).
Xem xét tập dữ liệu x, được biết có tính tương quan không gian. Mục đích khai thác sự tương quan này để tìm một biểu diễn nhỏ gọn hơn (compact) của x. Đầu tiên, chuỗi dữ liệu gốc x được chia tách vào trong hai tập không trùng lặp xe và xo bao hàm các phần tử chẵn và các phần tử lẻ của x theo thứ tự lấy mẫu. Do cấu trúc thiết lập của tập dữ liệu ban đầu, chúng ta có thể giả sử rằng các dữ liệu trong xe và xo liên quan chặt chẽ và giá trị của xo có thể được dự đoán từ các dữ liệu trong xe.
Bước thứ hai của sơ đồ Lifting gồm một bộ dự đoán 𝒫, nó xử lý phần chẵn của tập dữ liệu đầu vào để thu được một dự đoán cho phần lẻ. Dữ liệu trong xo là được thay thế bằng phần dư của nó với phần dự đoán cho bởi công thức:
− 𝒫( ) (4.3)
Hình thức của bộ dự đoán phụ thuộc vào một số mô hình liên quan tới cấu trúc tương quan của dữ liệu. Rõ ràng, các bộ dự đoán 𝒫 không thể phụ thuộc trực tiếp vào dữ liệu x, nếu không thì một phần của thông tin trong x sẽ được ẩn trong các bộ dự đoán. Cho xe, d, và 𝒫, chúng ta có thể khôi phục chính xác tập dữ liệu ban đầu. Do đó, bước dự đoán giữ tất
cả các thông tin chứa trong x. Hơn nữa, nếu các yếu tố dự đoán phù hợp rất tốt với tập dữ liệu gốc, chúng ta hy vọng (hay kỳ vọng) phần dư d chứa ít thông tin hơn nhiều so với tập dữ liệu lẻ. Biểu diễn mới thu được sau bước dự đoán thực sự là nhỏ gọn hơn so với một tập ban đầu. Tuy nhiên, nó không bảo tồn một số tính chất toàn cục của dữ liệu gốc. Đặc biệt, tập dữ liệu xe có thể không có cùng giá trị trung bình như tập dữ liệu gốc.
Sơ đồ Lifting sử dụng bước thứ ba để cập nhật giá trị cho xe, dựa trên phần dư d. Bản cập nhật là được cho bởi:
− 𝒰( ) (4.4)
Ở đây 𝒰 được xem là bộ cập nhật. Thường thì bộ cập nhật cũng được thiết kế sao cho duy trì được một số đặc tính mong muốn của tập dữ liệu gốc.
Một khi bộ dự đoán 𝒫 và bộ cập nhật 𝒰 đã được chọn, giai đoạn Lifting có thể được trực tiếp đảo ngược bởi sự đổi chiều các bộ xử lý của nó, như thể hiện trong Hình 4.13. Cho d và s, thì phần chẵn và phần lẻ của tập dữ liệu gốc có thể thu được khi:
− 𝒰( ) (4.5)
− 𝒫( ) (4.6)
Từ đó, bằng cách trộn hai tập dữ liệu để thu lại tập dữ liệu gốc.
Lợi thế chính của việc thực hiện biến đổi wavelet bằng phương pháp Lifting là giảm độ phức tạp tính toán. Xa hơn nữa, Lifting có thể sử dụng để định nghĩa biến đổi wavelet ánh xạ từ số nguyên đến số nguyên.
Bảng 4.1. Các hệ số của bộ lọc wavelet Le Gall 5/3-tap.
Trong luận án này chúng tôi đã thực hiện biến đổi wavelet lifting integer to integer với bộ lọc Le Gall được cho bởi Bảng 4.1.
Khi đó, d và s có thể được tính toán theo công thức khá đơn giản sau đây:
[𝑛] [ 𝑛 ] − ⌊ ( [ 𝑛 ] [ 𝑛])⌋ (4.7) [𝑛] [ 𝑛] ⌊ ( [𝑛] [𝑛 − ]) ⌋ (4.8) Trong đó: ⌊ ⌋ là phép toán lấy phần nguyên của giá trị x.
Cần nói thêm rằng, Wavelet Lifting Transform (WLT) chỉ là một cách thực hiện wavelet và Hình 4.13 là sơ đồ biến đổi wavelet lifting 1D. Giải pháp thực hiện WLT 2D sẽ tương tự như giải pháp thực hiện DWT 2D (đã được mô tả trong Hình 2.14), được tiến hành qua bước xử lý 1D theo dòng để được kết quả trung gian rồi sau đó tiếp tục xử lý 1D theo cột trên kết quả trung gian để thu được kết quả cuối cùng.