II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (9 %) Chủ đề 1 PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG (4 %)
O A+ B nhỏ nhất.
c) 2 2
1 1
OA +OB nhỏ nhất.
Bài 17. Cho 2 đường thẳng (d1) : 2x – y – 2 = 0 và (d2) : 2x + 4y – 7 = 0
1. Viết phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc tạo bởi (d1) và (d2) 2. Viết phương trỡnh đường thẳng qua điểm P(3; 1) cựng với (d1), (d2) tạo
thành một tam giỏc cõn cú đỉnh là giao của (d1), (d2).
Bài 18. Cho hỡnh vuụng ABCD cú 2 cạnh cú phương trỡnh là
4x – 3y + 3 = 0 ; 4x – 3y – 17 = 0
và đỉnh A(2; -3). Lập phương trỡnh 2 cạnh cũn lại của hỡnh vuụng.
Bài 19. Cho hỡnh vuụng ABCD cú đỉnh A(5; -1) và một trong cỏc cạnh nằm trờn
đường thẳng
d: 4x – 3y – 7 = 0. Lập phương trỡnh cỏc đường thẳng chứa cỏc cạnh cũn lại của hỡnh vuụng.
Bài 20. Cho tam giỏc ABC cú M(-2 ; 2) là trung điểm cạnh BC, cạnh AB cú
phương trỡnh x – 2y – 2 = 0, cạnh AC cú phương trỡnh 2x + 5y + 3 = 0. Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC.
Bài 21. Cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 3/2, hai đỉnh A(3; -2), B(2; -3).
Trọng tõm của tam giỏc nằm trờn đường thẳng 3x – y – 8 = 0. Tỡm tọa độ đỉnh C.
Bài 22. Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng d1: x – y = 0 và d2: 2x + y – 1 = 0.
Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng ABCD biết rằng A thuộc d1, C thuộc d2 và cỏc đỉnh B, D thuộc trục hoành. (ĐHA – 2005)
Bài 23. Trong mặt phẳng Oxy, cho cỏc đường thẳng d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0. Tỡm tọa độ điểm M thuộc d3 sao cho khoảng cỏch từ M đến đường thẳng d1 bằng 2 lần khoảng cỏch từ M đến đường thẳng d2 . (ĐHA - 2006)
Bài 24 . Cho 3 điểm A(2;4), B(3;1), C(1;4) và đường thẳng d: x – y – 1 = 0
a) Tỡm điểm M∈d sao cho MA + MB nhỏ nhất. b) Tỡm điểm N∈d sao cho NA + NC nhỏ nhất.
Bài 25. Cho tam giỏc ABC cú M(0;4) là trung điểm cạnh BC cũn 2 cạnh kia cú
PT
2x + y – 11 = 0 và x + 4y – 2 = 0 a) Xỏc định đỉnh A.
b) Gọi C là đỉnh nằm trờn đường thẳng x + 4y – 2 = 0. N là trung điểm của AC. Tỡm điểm N rồi tớnh tọa độ B, C.
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG TRềN (3%) 1. Một số kiến thức bổ trợ (01 tiết)
1. Phương trỡnh đường trũn
Phương trỡnh đường trũn cú tõm I(a; b) và bỏn kớnh R:
x a 2 y b 2 R2
( − ) +( − ) = .
Nhận xột: Phương trỡnh x2+y2+2ax+2by c+ =0, với a2+b2− >c 0, là
phương trỡnh đường trũn tõm I(–a; –b), bỏn kớnh R = a2+b2−c.
2. Phương trỡnh tiếp tuyến của đường trũn
Cho đường trũn (C) cú tõm I, bỏn kớnh R và đường thẳng ∆.
∆ tiếp xỳc với (C) ⇔ d I( , )∆ =R
VẤN ĐỀ 1: Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn
• Nếu phương trỡnh đường trũn (C) cú dạng: (x a− )2+ −(y b)2=R2
thỡ (C) cú tõm I(a; b) và bỏn kớnh R.
• Nếu phương trỡnh đường trũn (C) cú dạng: x2+y2+2ax+2by c+ =0
thỡ – Biến đổi đưa về dạng (x a− )2+ −(y b)2 =R2
hoặc – Tõm I(–a; –b), bỏn kớnh R = a2+b2−c.
Chỳ ý: Phương trỡnh x2+y2+2ax+2by c+ =0 là phương trỡnh đường trũn nếu thoả món điều kiện:a2+b2− >c 0.
Để lập phương trỡnh đường trũn (C) ta thường cần phải xỏc định tõm I (a; b) và bỏn kớnh R của (C). Khi đú phương trỡnh đường trũn (C) là:
x a 2 y b 2 R2
( − ) + −( ) =
Dạng 1: (C) cú tõm I và đi qua điểm A. – Bỏn kớnh R = IA.
Dạng 2: (C) cú tõm I và tiếp xỳc với đường thẳng ∆. – Bỏn kớnh R = d I( , )∆ .
Dạng 3: (C) cú đường kớnh AB.
– Tõm I là trung điểm của AB. – Bỏn kớnh R = AB
2 .
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và cú tõm I nằm trờn đường thẳng ∆. – Viết phương trỡnh đường trung trực d của đoạn AB.
– Xỏc định tõm I là giao điểm của d và ∆. – Bỏn kớnh R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xỳc với đường thẳng ∆. – Viết phương trỡnh đường trung trực d của đoạn AB. – Tõm I của (C) thoả món: ∈I dd I( , )∆ =IA.
– Bỏn kớnh R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xỳc với đường thẳng ∆ tại điểm B. – Viết phương trỡnh đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trỡnh đường thẳng ∆′ đi qua B và vuụng gúc với ∆. – Xỏc định tõm I là giao điểm của d và ∆′.
– Bỏn kớnh R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xỳc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2. – Tõm I của (C) thoả món: d Id I 1 d IIA 2 1 ( , ) ( , ) (1) ( , )∆ ∆ (2) ∆ = = – Bỏn kớnh R = IA.
Chỳ ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xột dấu miền mặt phẳng định bởi ∆1 và ∆2 hay xột dấu khoảng cỏch đại số từ A đến ∆1 và
∆2.
– Nếu ∆1 // ∆2, ta tớnh R = 1 ( , )d 1 2
2 ∆ ∆ , và (2) được thay thế bới IA = R.
Dạng 8: (C) tiếp xỳc với hai đường thẳng ∆1, ∆2 và cú tõm nằm trờn đường thẳng d.
– Tõm I của (C) thoả món: d II d( , )∆1 =d I( , )∆2 ∈
.
– Bỏn kớnh R = d I( , )∆1 .
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm khụng thẳng hàng A, B, C (đường trũn ngoại tiếp tam giỏc).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trỡnh.
– Giải hệ phương trỡnh này ta tỡm được a, b, c ⇒ phương trỡnh của (C).
Cỏch 2: – Tõm I của (C) thoả món: =IA IBIA IC =
.
– Bỏn kớnh R = IA = IB = IC.
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giỏc ABC.
– Viết phương trỡnh của hai đường phõn giỏc trong của hai gúc trong tam giỏc
– Xỏc định tõm I là giao điểm của hai đường phõn giỏc trờn. – Bỏn kớnh R = d I AB( , ).
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
1. Tập hợp cỏc tõm đường trũn
Để tỡm tập hợp cỏc tõm I của đường trũn (C), ta cú thể thực hiện như sau: a) Tỡm giỏ trị của m để tồn tại tõm I.
b) Tỡm toạ độ tõm I. Giả sử: I =x f my g m( )( ) =
.
c) Khử m giữa x và y ta được phương trỡnh F(x; y) = 0.
d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của m ở a) để giới hạn miền của x hoặc y. e) Kết luận: Phương trỡnh tập hợp điểm là F(x; y) = 0 cựng với phần giới hạn ở d).