Phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc tạo bởi hai đường thẳng

II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (9 %) Chủ đề 1 PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG (4 %)

3. Phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2=0cắt nhau.

Phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc tạo bởi hai đường thẳng

∆1 và ∆2 là: a x b y c a x b y c a b a b 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 + + + + = ± + +

Chỳ ý: Để lập phương trỡnh đường phõn giỏc trong hoặc ngoài của gúc A trong tam giỏc ABC ta cú thể thực hiện như sau:

Cỏch 1:

– Tỡm toạ độ chõn đường phõn giỏc trong hoặc ngoài (dựa vào tớnh chất đường phõn giỏc của gúc trong tam giỏc).

Cho ∆ABC với đường phõn giỏc trong AD và phõn giỏc ngoài AE (D, E ∈ BC) ta cú: DB AB DC AC. = − uuu uuu , EB AB EC AC. = uuu uuu . – Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm.

Cỏch 2:

– Viết phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc d1, d2 của cỏc gúc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC.

– Kiểm tra vị trớ của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2).

+ Nếu B, C nằm khỏc phớa đối với d1 thỡ d1 là đường phõn giỏc trong.

+ Nếu B, C nằm cựng phớa đối với d1 thỡ d1 là đường phõn giỏc ngoài.

VẤN ĐỀ 4: Gúc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 (cú VTPT n1=( ; )a b1 1 )

và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2=0 (cú VTPT n2 =( ; )a b2 2 ). ã n n khi n n n n khi n n 0 1 2 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 90 ( , ) 180 ( , ) ( , ) 90 ∆ ∆ =  ≤ − >          ã ã n n a b a b n n n n a b a b 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 . cos( , ) cos( , ) . . ∆ ∆ = = = + + +       Chỳ ý: • 0 (ã ) 0 1 2 0 ≤ ∆ ∆, ≤90 . •∆1 ⊥∆2 ⇔ a a1 2+b b1 2 =0.

• Cho ∆1: y k x m= 1 + 1, ∆2: y k x m= 2 + 2 thỡ:

+ ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1. k2 = –1.

• Cho ∆ABC. Để tớnh gúc A trong ∆ABC, ta cú thể sử dụng cụng thức: ( ) AB AC A AB AC AB AC . cos cos , . = = uuu uuu uuu uuu uuu uuu b) Bài tập tại lớp

Bài 1. Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC nếu biết A(1;2) và 2 đường

trung tuyến lần lượt cú phương trỡnh : 2x – y + 1 = 0 và x + 3y – 3 = 0.

Bài 2. Cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh cạnh AB : 5x – 3y + 2 = 0

và cú 2 đường cao AA’: 4x – 3y + 1 = 0 BB’: 7x + 2y – 22 = 0

Lập phương trỡnh 2 cạnh cũn lại và đường cao thứ 3 của tam giỏc ABC.

Bài 3. Cho tam giỏc ABC cú đỉnh A(3; -1). Phương trỡnh của một phõn giỏc và

một trung tuyến xuất phỏt từ 2 đỉnh khỏc nhau theo thứ tự là : x – 4y + 10 = 0 ; 6x + 10y – 59 = 0. Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC.

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại A cú đỉnh A(6;6),

đường thẳng đi qua trung điểm cỏc cạnh AB và AC cú phương trỡnh x + y – 4 = 0. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B, C biết điểm E(1;-3) nằm trờn đường cao đi qua đỉnh C của tam giỏc đó cho. (ĐHA - 2010)

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tỡm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại điểm M thỏa món OM.ON = 8. (ĐHB – 2011)

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú đỉnh B(1/2 ; 1).

Đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC tiếp xỳc với cỏc cạnh BC, CA, AB tương ứng tại cỏc điểm D, E, F. Cho D(3;1) và đường thẳng EF cú phương trỡnh y – 3 = 0. Tỡm tọa độ đỉnh A, biết A cú tung độ dương. (ĐHB – 2011)

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú đỉnh B(-4;1), trọng

tõm G(1;1) và đường thẳng chứa phõn giỏc trong của gúc A cú phương trỡnh x – y – 1 = 0. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A và C. (ĐHD - 2011)

Bài 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Gọi M là trung điểm của

cạnh BC, N là điểm trờn cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử 11 1; 2 2

M 

 ữ

  và

đường thẳng AN cú PT: 2x – y – 3 = 0. Tỡm tọa độ điểm A. (ĐHA-2012).

Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho chữ nhật ABCD. Cỏc đường thẳng AC và AD

lần lượt cú PT là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm 1

;13 3

M− 

 ữ

 . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hcn ABCD. (ĐH D-2012).

Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm C thuộc

C, N là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn đường thẳng MD. Tỡm tọa độ cỏc điểm B và C, biết N(5;-4). (ĐH A-2013).

Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD cú hai đường chộo

vuụng gúc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD cú PT x + 2y – 6 = 0 và tam giỏc ABD cú trực tõm H(- 3;2). Tỡm tọa độ cỏc đỉnh C và D. (ĐH B-2013).

Bài 12. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giỏc ABC cú chõn đường cao hạ từ đỉnh

A là 17; 1 5 5

H − 

 ữ

 , chõn đường phõn giỏc trong của gúc A là D(5;3) và trung điểm

cạnh AB là M(0;1). Tỡm tọa độ đỉnh C. (ĐH B-2013).

Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giỏc ABC cú điểm 9 3; 2 2

M− 

 ữ

  là trung

điểm cạnh AB, điểm H(-2;4) và điểm I(-1;1) lần lượt là chõn đường cao kẻ từ B và tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Tỡm tọa độ điểm C. (ĐH D-2013).

c) Bài tập về nhà

Bài 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm I(6;2) là giao

điểm của hai đường chộo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng∆: x + y – 5 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng AB. (ĐHA – 2009)

Bài 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giỏc ABC cú M(2;0) là trung điểm của

cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt cú phương trỡnh là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trỡnh đường thẳng AC. (ĐHD – 2009)

Bài 16. Cho điểm M(4;1). Đường thẳng (d) luụn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ

tự tại A(a;0), B(0;b) với a, b > 0. Lập phương trỡnh đường thẳng (d) sao cho: a) Diện tớch tam giỏc OAB nhỏ nhất