II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (9 %) Chủ đề 1 PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG (4 %)
8. Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng
•Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c+ + =0 và điểm M x y0( ; )0 0 .
ax by c d M a b 0 0 0 2 2 ( , )∆ = + + +
•Vị trớ tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c+ + =0 và hai điểm M x y( M; M), ( ;N x yN N)∉∆. – M, N nằm cựng phớa đối với ∆⇔ (axM +byM +c ax)( N +byN + >c) 0.
– M, N nằm khỏc phớa đối với ∆⇔ (axM +byM +c ax)( N +byN + <c) 0.
•Phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2 =0cắt nhau.
Phương trỡnh cỏc đường phõn giỏc của cỏc gúc tạo bởi hai đường thẳng ∆1
và ∆2 là: a x b y c a x b y c a b a b 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 + + + + = ± + + 2. Cỏc dạng bài tập VẤN ĐỀ 1: Lập phương trỡnh đường thẳng
•Để lập phương trỡnh tham số và phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng ∆
ta cần xỏc định một điểm M x y0( ; )0 0 ∈∆ và một VTCP u=( ; )u u1 2 của ∆. PTTS của ∆: x xy y0 tutu1 0 2 = + = + ;PTCT của ∆: x xu 0 y yu 0 1 2 − − = (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0).
• Để lập phương trỡnh tổng quỏt của đường thẳng ∆ ta cần xỏc định một điểm M x y0( ; )0 0 ∈∆ và một VTPT n=( ; )a b của ∆.
PTTQ của ∆: a x x( − 0)+b y y( − 0) 0= •Một số bài toỏn thường gặp:
PT của ∆: A A B A B A x x y y x x y y − − = − −
+ ∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): PT của ∆: x y
a b+ =1.
+ ∆ đi qua điểm M x y0( ; )0 0 và cú hệ số gúc k: PT của ∆: y y− 0 =k x x( − 0)
Chỳ ý: Ta cú thể chuyển đổi giữa cỏc phương trỡnh tham số, chớnh tắc, tổng quỏt của một đường thẳng.
• Để tỡm điểm M′ đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta cú thể thực hiện như sau:
Cỏch 1: – Viết phương trỡnh đường thẳng ∆ qua M và vuụng gúc với d. – Xỏc định I = d ∩∆ (I là hỡnh chiếu của M trờn d).
– Xỏc định M′ sao cho I là trung điểm của MM′. Cỏch 2: Gọi I là trung điểm của MM′. Khi đú:
M′ đối xứng của M qua d ⇔ MM ud
I d ′ ⊥ ′ ⊥ ∈ uuuuu (sử dụng toạ độ)
• Để viết phương trỡnh đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, ta cú thể thực hiện như sau:
– Nếu d // ∆:
+ Lấy A ∈ d. Xỏc định A′ đối xứng với A qua ∆.
+ Viết phương trỡnh đường thẳng d′ qua A′ và song song với d. – Nếu d ∩∆ = I:
+ Lấy A ∈ d (A ≠ I). Xỏc định A′ đối xứng với A qua ∆. + Viết phương trỡnh đường thẳng d′ qua A′ và I.
• Để viết phương trỡnh đường thẳng d′ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, ∆, ta cú thể thực hiện như sau:
– Lấy A ∈ d. Xỏc định A′ đối xứng với A qua I.
– Viết phương trỡnh đường thẳng d′ qua A′ và song song với d.
VẤN ĐỀ 2: Cỏc bài toỏn dựng tam giỏc
Đú là cỏc bài toỏn xỏc định toạ độ cỏc đỉnh hoặc phương trỡnh cỏc cạnh của một tam giỏc khi biết một số yếu tố của tam giỏc đú.
Để giải loại bài toỏn này ta thường sử dụng đến cỏc cỏch dựng tam giỏc. Sau đõy là một số dạng:
Dạng 1: Dựng tam giỏc ABC, khi biết cỏc đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao BB′, CC′.
Cỏch dựng: – Xỏc định B = BC ∩ BB′, C = BC ∩ CC′. – Dựng AB qua B và vuụng gúc với CC′. – Dựng AC qua C và vuụng gúc với BB′. – Xỏc định A = AB ∩ AC.
Dạng 2: Dựng tam giỏc ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB′, CC′.
– Dựng AC qua A và vuụng gúc với BB′. – Xỏc định B = AB ∩ BB′, C = AC ∩ CC′.
Dạng 3: Dựng tam giỏc ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM, CN.
Cỏch dựng: – Xỏc định trọng tõm G = BM ∩ CN.
– Xỏc định A′ đối xứng với A qua G (suy ra BA′ // CN, CA′ // BM).
– Dựng dB qua A′ và song song với CN. – Dựng dC qua A′ và song song với BM. – Xỏc định B = BM ∩ dB, C = CN ∩ dC.
Dạng 4: Dựng tam giỏc ABC, khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC và trung điểm M của cạnh BC.
Cỏch dựng: – Xỏc định A = AB ∩ AC.
– Dựng d1 qua M và song song với AB. – Dựng d2 qua M và song song với AC.
– Xỏc định trung điểm I của AC: I = AC ∩ d1. – Xỏc định trung điểm J của AB: J = AB ∩ d2. – Xỏc định B, C sao cho JB AJ IC AIuu uu uu uu= , = .
Cỏch khỏc: Trờn AB lấy điểm B, trờn AC lấy điểm C sao cho MBuuu= −MCuuu.
VẤN ĐỀ 3: Vị trớ tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2=0.
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trỡnh:
a x b y c a x b y c12 12 12 0 0 + + = + + = (1) • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) cú một nghiệm ⇔ aa1 bb1 2 2 ≠ (nếu a b c2 2 2, , ≠0) • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vụ nghiệm ⇔ aa1 bb1 cc1 2 2 2 = ≠ (nếu a b c2 2 2, , ≠0) • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) cú vụ số nghiệm ⇔ aa1 bb1 cc1 2 2 2 = = (nếu a b c2 2 2, , ≠0)
Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui, ta cú thể thực hiện như sau: – Tỡm giao điểm của hai trong ba đường thẳng.
– Chứng tỏ đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm đú.
VẤN ĐỀ 4: Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng
1.Khoảng cỏch từ một điểm đến một đường thẳng
ax by c d M a b 0 0 0 2 2 ( , )∆ = + + +