Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai A trên trường các số thực Ă sao cho A2 = 0.
Câu 2. Cho ánh xạ f :Ă3→Ă2 xác định bởi : f(x, y) = (2x - y, x + y, x - 2y + 2a). a) Tìm a để f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm Ker(f) và Im(f) trong trường hợp f là ánh xạ tuyến tính.
Câu 3. Chứng minh rằng:
a) Có duy nhất một đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỷ Ô đến nhóm cộng các số nguyên Â.
b) Nhóm cộng các số hữu tỷ Ô không phải là nhóm Cyclic.
c) Nhóm thương Ô/ Â không đẳng cấu với nhóm cộng các số hữu tỷ Ô.
Câu 4. Kí hiệu Â[i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên (với phép cộng và nhân số phức).
a) Chứng minh rằng, ánh xạ f xác định bởi f(a + bi) = a - bi là một tự đẳng cấu của vành
Â[i].
b) Tìm tất cả các tự đẳng cấu của Â[i].
c) Mô tả vành thương Â[i]/ A, trong đó A là Ideal của vành Â[i], gồm các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên chẳn.
Câu 5. Cho X là một miền nguyên. Chứng minh rằng, X là một trường khi và chỉ khi X chỉ có hai Ideal tầm thường là {0} và X.
Cõu 1. Tỡm miền hội tụ và tớnh tổng của chuỗi hàm ∞ X n=1 (−1)nn x−1 x+ 1 n
Cõu 2. Xột tớnh liờn tục và khả vi của hàm
f(x, y) = (x2 +y2) sin1 y nếu y6= 0 0 nếu y= 0
Cõu 3.Giả sử f :R→R là hàm đo được và tồn tại tớch phõn Lơbe If. Với mỗi n= 1,2, . . . cho hàm
fn(x) = ( f(x) nếu |f(x)|< n n+ 1 nếu |f(x)| ≥n 1) Chứng minh rằng lim n→∞fn(x) =f(x), với mọi x∈R. 2) Cú kết luận được lim
n→∞Ifn=If hay khụng?
Cõu 4. Giả sử C[−1,1] là khụng gian cỏc hàm số liờn tục trờn [−1,1] với chuẩn
kfk= sup
x∈[−1,1]
|f(x)|, với mọi f ∈C[−1,1].
và X = {f ∈ C[−1,1] : f(1) = 0}, cũnY là khụng gian cỏc dóy số hội tụ với chuẩn
kxk= sup
n∈N
|xn|, với mọi x={xn} ∈Y.
Cho ỏnh xạ T :X →Y được xỏc định bởi cụng thức (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
T(f) = f n n+ 1 , với mọif ∈X.
1) Chứng minh rằng Y là khụng gian Banach
2) Xột tớnh compact của tậpK ={f ∈X :kfk ≤1} trongX
3) Chứng minh rằng T là ỏnh xạ tuyến tớnh liờn tục và tớnh chuẩn của T.