Hãy chứng minh:
a) (X, ρ) là một không gian metric.
b) Không gian (X, ρ) đầy đủ khi và chỉ khi (X, d) đầy đủ.
c) Cho A là một tập compact trong (X, d). Chứng minh rằng, A cũng là một tập compact trong (X, ρ).
Câu 2. Cho f ≥ 0 là hàm đo đ-ợc trên tập A. Với mỗi n ∈N ta đặt
fn(x) = ( ( f(x) nếu f(x) < n n nếu f(x) ≥ n. Chứng minh lim n→∞ R Afndà=RAf dà.
Câu 3. Ký hiệu X =C[0,1] là không gian định chuẩn với chuẩn ” max ”.
a) Giả sử x ∈ X, với mỗi n ∈N ta đặt
xn(t) = x(t1+1n), ∀t ∈ [0,1].
Chứng minh rằng, dãy (xn)n hội tụ về hàm x trong X.
b) ĐặtA : X −→ X cho bởi công thứcx 7−→ Ax,(Ax)(t) = x(0)−tx(t),
với mọi t ∈ [0,1]. Chứng minh A tuyến tính liên tục và tính kAk.
Câu 4. Cho X là một không gian định chuẩn và f ∈ X∗, f 6= 0. Ký hiệu
α = inf{kxk : x ∈X, f(x) = 1}. Chứng minh rằng, kfk = 1
α.
Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với {en, n ∈ N} là một cơ sở trực chuẩn của H. Đặt A : H −→ H xác định bởi ∀x ∈ H, Ax = ∞ X n=1 hx, en+1ien.
Chứng minh rằng, A tuyến tính, liên tục. Tìm kAk và xác định toán tử liên hợp A∗.
Câu 1 1) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số sau đây: P∞ n=1 ln(1+n) nα , α >1. 2) Cho f :R −→ R là hàm số xác định bởi: f = 0, nếu x /∈ (0,1], √ n, nếu x ∈( 1 n+ 1, 1 n], với n∈ N. Tính R
Rf dà và suy ra f khả tích trên R, trong đó à là độ đo Lebesgue trên
R.
Câu 2. Cho X là một không gian metric compact và f :X −→ X là một ánh xạ liên tục. Giả sử (Kn) là một dãy giảm các tập đóng không rỗng của X.
Chứng minh rằng, f(T∞
n=1
Kn) = T∞n=1 n=1
f(Kn).
Câu 3. Ký hiệu C[0,1] là không gian định chuẩn các hàm số liên tục trên [0,1]
với chuẩn ” max ”. Đặt
M = {x ∈ C[0,1] : x(0) = 0, 0 ≤x(t) ≤1, ∀t ∈[0,1]}.
1) Chứng minh rằng M là một tập đóng và bị chặn trong C[0,1].
2) Xét hàm số f :C[0,1] −→ R xác định bởi công thức f(x) = R01x2(t)dt.
Chứng minh rằng, f liên tục trên tập M nh-ng f không đạt đ-ợc giá trị bé nhất trên M.
Câu 4. Giả sửX là không gian định chuẩn thực vàf :X −→ Rlà một phiếm hàm tuyến tính. Chứng minh rằng, f ∈X∗ khi và chỉ khi tập M ={x ∈X :
f(x)≥ 1} là một tập đóng trong X.
Câu 5. Cho H là một không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {en, : n∈ N}
và X là một không gian Banach. Giả sử A ∈ L(H, X) sao cho P∞
n=1