Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Gọi En+1Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc ≤n với hệ số thực. Trong
1+ +
n
E cho các đa thức uk( )x với 0≤k ≤n được xác định như sau: 0 0 = u ;uk( )x =x(x−1)(x−2) (L x−k+1) với 0≤k ≤n. a) Chứng minh rằng các đa thức { }n k k u =0 lập thành một cơ sở của En+1.
b) Hãy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính ϕ của En+1 thoả mãn n+1 điều kiện ( ) k
k u x =
ϕ , k =0, ,12,K,n. Và ϕ là một song ánh.
c) Xác định ánh xạ ∂:En+1 → En+1 bởi điều kiện ∂[ ]p( )x = p(x+1) ( )− p x ; ∀p x( )∈En+1. Hãy chứng minh ∂ là một ánh xạ tuyến tính . Tìm nhân và ảnh của∂. Tìm các đa thức
( )(uk x ) (uk x )
∂ ;k =0,,12,K,n.
Câu 2. a) Cho G là một nhóm Xyclic. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic. b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G. Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng cấu với G.
c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic.
Câu 3. Ta gọi một trường là nguyên tố nếu nó không chứa một trường con thực sự nào.
a) Chứng minh rằng trường các ssó hữu tỉ Ô và trường các lớp đồng dư Âp (với p là số nguuyên tố ) là trường các số nguyên tố.
b) Cho X là một trường nguyên tố bất kì. Chứng tỏ rằng X≅ Ô hoặc X≅ Âp (với p là một số nguyên tố nào đó).
Câu 4. Giả sử phép biến đổi tuyến tính ϕ của không gian R3 đối với cơ sở đơn vị có ma trận là: 8 1 5 2 3 1 4 1 1 A − − = − − −
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ϕ.
b) Tìm một cơ sở của R3 mà đối với nó ma trận của ϕ có dạng tam giác . Viết ma trận đó. c) Giá trị riêng của ϕ có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở.
3
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt NamĐộc lập - Tự do - Hạnh phúc