Câu 4.
1. Cho X là một không gian định chuẩn và M là một tập con của X. Giả sử với mọi f ∈ X∗ ta có sup
x∈M
|f(x)| < +∞. Chứng minh rằng, M là một tập bị chặn trong X.
2. ChoX là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn, (An)n là một dãy toán tử tuyến tính liên tục trong không gian L(X, Y). Chứng minh rằng, nếu với mọi x ∈X, (Anx)n là một dãy cơ bản trong Y thì sup
n∈N∗kAnk <+∞.
Câu 5. Cho {en, n ∈N} là một hệ trực chuẩn trong không gian HilbertH và
(λn)n là một dãy số bị chặn.
1. Chứng minh rằng, với mọi x ∈ H, chuỗi P∞
n=1
λnhx, enien hội tụ trong
H.
2. Đặt Ax= P∞
n=1
λnhx, enien với mọi x ∈ H. Chứng minh rằng, A là toán tử tuyến tính liên tục trên H. Tính kAk.
Câu 1. Cho A là một tập đo đ-ợc và f, g : A −→ R là các hàm khả tích trên A. Với mỗi n ∈ N ta đặt An = {x ∈A | n ≤ |f(x)|< n+ 1} và
Bn = {x ∈ A | |f(x)| ≥ n}. Chứng minh rằnga) lim a) lim n→∞ R An gdà= 0, b) P∞ n=1 nàAn < +∞, c) lim n→∞nàBn = 0. Câu 2.
a) Cho A là một tập con trong không gian metric X và x ∈X là một điểm dính của A. Giả sử x /∈ A. Chứng minh A là một tập vô hạn. Suy ra mọi tập con có hữu hạn điểm trong X đều là tập đóng.
b) Giả sử X, Y là hai không gian metric và f : X −→ Y là một toán ánh liên tục từX lên Y. Cho A ⊂X sao cho A =X.Chứng minh rằngf(A) = Y.
Câu 3. Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục, R(A) là tập hợp các giá trị của A.
a) Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian tuyến tính định chuẩn. Chứng minh rằng, nếu tồn tại số m > 0 sao cho kAxk ≥ mkxk với mọi
x ∈ X thì R(A) là một không gian con đóng của Y.
b) Giả sử X, Y là các không gian Banach và R(A) là tập đóng trong Y.
Chứng minh rằng, tồn tại số m > 0 sao cho với mỗi y ∈ R(A),tồn tại x ∈ X