Lý thuyết Wavelet:

Hiện nay, lý thuyết wavelet được ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh

vực, đặc biệt là trong lĩnh vực giải tích số và xử lý tín hiệu. Mặc dù lý thuyết

wavelet cung cấp nhiều thuật toán rất hiệu quả cho nhiều ứng dụng khác nhau nhưng các giải thuật này gặp rất nhiều giới hạn trong các bài toán với số chiều lớn.

Việc xây dựng và lưu trữ các wavelet nhiều chiều là rất tốn kém. Vì vậy để giải

quyết vấn đề về số chiều lớn, ta phải xây dựng một giải thuật màở đó sự thực hiện

của giải thuật này ít nhạy cảm với số chiều.

Dựa trên sự tương tự của phép phân tích wavelet và mạng Neural một lớp ẩn, Zhang và Benvenniste (1992) đã kết hợp Wavelet và mạng Neural để tạo ra mạng

Wavelet. Mạng Wavelet là một mạng Neural lan truyền thẳng một lớp ẩn sử dụng

hàm Wavelet làm hàm kích hoạt cho các neural một lớp ẩn và các neural này được

gọi là các wavelon. Ngõ ra của mạng Wavelet là tổng tuyến tính có trọng số các giá

trị của các wavelon. Sự kết hợp của Wavelet và mạng Neural được hy vọng là sẽ

khắc phục được những khuyết điểm của cả hai, sẽ cho ra các mô hình mạng mới với các phương pháp xây dựng hiệu quả và giải quyết được vấn đề về số chiều lớn.

Trong những năm gần đây, mạng wavelet đã thu hútđược rất nhiều sự chú ý

từ các công trình nghiên cứu của các nhà k hoa học, do khả năng xây dựng các hàm hồi quy phi tuyến tốt hơn so với mạng Neural truyền thống. Đó là do khả năng của các hàm wavelet được sử dụng trong mạng wavelet. Trong mạng Neural truyền

thống, tính phi tuyến được tạo ra bởi các hàm signmoid hoặc các hàm Gaussian và

các hàm này không có hiệu quả tốt bằng hàm wavelet. Thêm một đặc tính nữa là do ngõ ra tuyến tính nên các trọng số của mạng Wavelet có thể được ước lượng bằng

phương pháp bình phương cực tiểu. Do đó mạng Wavelet sẽ hội tụ nhanh hơn mạng

rằng mạng wavelet sẽ là một sự thay thế xứng đáng cho các mạng Neural truyền

thống trong lĩnh vực ước lượng các hàm hồi quy tuyến tính.

2.1.2 Biển đổi Wavelet liên tục (CWT):

Biển đổi Wavelet liên tục (CWT-Continuous Wavelet Transform) của một

hàm f t( ) được bắt đầu từ một hàm wavelet mẫu (Mother Wavelet Function) ( )t

 . Hàm wavelet mẫu ( )t có thể là bất kì một hàm số thực hoặc phức liên tục

nào thõa mãn hai tính chất sau đây :

- Tích phân suy rộng trên toàn bộ trục t của hàm  ( )t bằng 0 :

( )t dt 0      (2.1)

- Tích phân năng lượng của hàm trên toàn bộ trục t là một số hữu hạn :

2 |( ) |t dt      (2.2)

Điều kiện (2.2) có nghĩa là hàm ( )t là một hàm bình phương khả tích, nghĩa

là ( )t thuộc không gian L R2( )các hàm bình phương khả tích.

Sau khi hàm  ( )t được lựa chọn, biến đổi Wavelet liên tục của một hàm

( )

f t được tính theo công thức : 1 ( , ) ( ) * | | t b W a b f t dt a a             (2.3)

Biến đổi này là một hàm của hai tham số thực a và b. Dấu * ký hiệu là liên hiệp phức của ( )t . Nếu chúng ta định nghĩa một hàm a b, ( )t theo biểu thức sau :

, 1 ( ) | | a b t b t a a         (2.4)

Biểu thức (2.3) được viết lại như sau:

, ( , ) ( ) a b( )

W a b  f t t dt



  (2.5)

Biểu thức (2.5) là biểu thức toán học tích vô hướng của hai hàm f ( )t và , ( )

a b t

Giá trị 1 |a|

là hệ số chuẩn hóa để đảm bảo rằng tích phân năng lượng của

hàma b, ( )t sẽ độc lập với a và b: 2 2 , |a b( ) |t dt |( ) |t dt        (2.6)

Với mọi giá trị của a thì a b, ( )t là một bản sao của a,0( )t được dịch đi b đơn

vị trên trục thời gian. Do đó b được gọi là tham số dịch. Đặt tham số dịch b=0 ta thu được

,0 1 ( ) | | a t t a a         (2.7)

Tham số a là tham số tỉ lệ. Khi a>1 thì hàm Wavelet có xu hướng trải rộng ra.

Khi 0<a<1 thì sẽ được co lại. Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa phép biển đổi wavelet

liên tục.

Gọi () là biến đổi Fourier ( )t :

( ) ( )t ej tdt



   (2.8)

Nếu W(a,b) là biến đổi CWT của f t( )bằng hàm wavelet  ( )t thì biến đổi ngược của biển đổi CWT sẽ được tính như sau:

, 2 1 1 ( ) W(a,b) ( ) | | a b f t t dadb C  a       (2.9)

Với giá trị C được định nghĩa là : 2 | ( ) | | | C  d       (2.10)

Biển đổi CWT tồn tại nếu C dương và hữu hạn. Do đó C cònđược gọi là điều

kiện tồn tại của biến đổi Wavelet. Cùng với hai điều kiện (2.1) và (2.2) thì (2.10) là

điều kiện thứ 3 mà một hàm cần thỏa mãn để có thể được lựa chọn l àm hàm mẫu

wavelet. Chúng ta có thể xem biến đổi CWT như là một ma trận hai chiều các kết

quả của phép tính tích vô hướng giữa hai hàm f ( )t và

,( )

a b t

tương ứng với giá trị của a và các cột tương ứng với các giá trị của b do cách tính

biển đổi wavelet theo tích vô hướng đã trình bàyở trên: ( ). ( ) ( ) ( ) f t g t f t g t      f t( ).a b, ( )t  f t( )a b, ( )t    (2.11)

2.1.3 Biển đổi wavelet rời rạc (DWT):

Việc tính toán các hệ số wavelet tại tất cả các tỉ lệ là một công việc hết sức

phức tạp, vì nó tạo ra một lượng dữ liệu khổng lồ. Để giảm thiểu công việc tính toán người ta chỉ chọn ra một tập nhỏ các giá trị tỉ lệ và một số vị trí để tiến hành tính

toán. Hơn nữa nếu việc tính toán được tiến hành tại các tỉ lệ và các vị trí trên cơ sở

lũy thừa cơ số 2 thì kết quả thu được sẽ hiệu quả và chính xác hơn rất nhiều. Quá

trình chọn các tỉ lệ và các vị trí như trên sẽ tạo thành các “dyadic”. Một phân tích như trên hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ biến đổi Wavelet rời rạc (DWT- Discrete Wavelet Transform) thực chất là rời rạc hóa biến đổi CWT. Việc rời rạc hóa được thực hiện với sự lựa chọn các hệ số a và b như sau:

2m

a ; 2m

b n ; m,n Z (2.12)

Việc tính toán hệ số của biến đổi Wavelet có thể dễ dàng thực hiện bằng các băng lọc số nhiều nhịp đa kênh, một lý thuyết rất quen thuộc trong xử lí tín hiệu.

2.1.4 Giới thiệu một số họ wavelet thông dụng:

2.1.4.1 Hàm Wavelet Haar:

Biến đổi Wavelet Haar là biến đổi đầu tiên và đơn giản nhất trong các biến đổi

wavelet. Do tính chất đơn giản của biến đổi Haar nên nó được ứng dụng tương đối

rộng rãi trong công nghệ nén hình ảnh, khi áp dụng biến đổi này để nén ảnh thì thuật toán ảnh trên máy tính có một số điểm khác so với công thức toán học của

biến đổi Haar.

Biểu thức toán học của hàm Haar:

( ) 1 2 ( ) 1 2 0 H u         1 0 0 1 u u otherwise     

Hình 2.1 : Hàm( )t của biến đổi Haar

2.1.4.2 Hàm Wavelet Meyer:

Phép biến đổi Mayer cũng là một phép biến đổi thông dụng, phép biến đổi này cho khả năng phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar. Hàm ( )t của

phép biến đổi Meyer được cho trong hình 2:

Hình 2.2 : Hàm( )t của phép biến đổi Meyer

2.1.4.3 Biến đổi Wavelet Daubechies:

Giống như Mayer, Daubechies cũng là một nhà khoa học có công lao to lớn

trong việc nghiên cứu phát triển phép biển đổi wavelet. Biến đổi Daubechies là một

trong những phép biến đổi phức tạp nhất trong các phép biến đổi wavelet. Họ biến đổi này được ứng dụng hết sức rộng rãi, biến đổi Wavelet áp dụng trong JPEG2000

là một trong họ biến đổi Daubechies. Dưới đây là một số hàm ( )t trong họ

Hình 2.3 : Họ hàm( )t của biến đổi Daubechies

2.1.5 Một số ứng dụng nổi bật của phân tích Wavelet:

2.1.5.1 Nén tín hiệu:

Do đặc điểm của mình, Wavelet đặc biệt tốt khi sử dụng để nén hay phân tích

các tín hiệu không dừng đặc biệt là tín hiệu ảnh số và c ác ứng dụng nén tiếng nói,

nén dữ liệu. Việc sử dụng các phép mã hóa băng con, băng lọc có nhiều nhịp và biến đổi wavelet rời rạc tương ứng với loại tín hiệu cần phân tích có thể mang lại

những hiệu quả rõ rệt trong nén tín hiệu. Do tính chất chỉ tồn tại trong các khoảng

thời gian rất ngắn (khi phân tích tín hiệu trong miền thời gian tần số) mà các biến đổi wavelet có khả năng tập trung năng lượng rất tốt vào các hệ số biến đổi. Các hệ

số mang thông tin chi tiết của biến đổi wavelet thường rất nhỏ và có thể bỏ qua mà không ảnh hưởng đến việc mã hóa dữ liệu (trong phương pháp mã hóa ảnh hay

tiếng nói là những tín hiệu cho phép mã hóa có tổn thất thông tin).

2.1.5.2 Khử nhiễu :

Tính chất của biến đổi Wavelet mà ta xét tới trong phần ứng dụng cho nén tín

hiệu được mở rộng bởi Iain Johnstone và David Donohos trong các ứng dụng khử

nhiễu cho tín hiệu. Phương pháp khử nhiễu này được gọi là Wavelet Shrinkage Denoising (WSD). Ý tưởng cơ bản của WSD dựa trên việc tín hiệu nhiễu sẽ lộ rõ khi phân tích bằng biến đổi wavelet ở các hệ số biến đổi bậc cao. Việc áp dụng các ngưỡng loại bỏ tương ứng với các bậc cao hơn của số wavelet sẽ có thể dễ dàng loại

2.1.5.3 Mã hóa nguồn và mã hóa kênh :

Wavelet được ứng dụng trong mã hóa nguồn và mã hóa kênh l à do trong việc

mã hóa nguồn chúng ta cần khả năng nén với tỉ lệ nén cao còn trong mã hóa kênh thì cần khả năng chống nhiễu tốt. Biến đổi wavelet kết hợp với một số phương pháp

mã hóa như má hóa Huffman hay mã hóa số học có thể thực hiện được cả hai điều

trên. Vì thế việc sử dụng wavelet để mã hóa nguồn và mã hóa kênh là rất thích hợp.

2.2. Lý thuyết Fuzzy Logic:

2.2.1 Khái niệm tập hợp kinh điển:

Khái niệm về tập hợp được hình thành trên nền tảng logic và được G.Cantor định nghĩa như là một sự sắp đặt chung các vật, các đối tượng có chung một tính

chất, được gọi là phần tử của tập hợp đó. Ý nghĩa logic của khái niệm tập hợp làở

chỗ một vật hoặc một đối tượng bất kì chỉ có thể có hai khả năng hoặc là phần tử

của tập hợp đang xét hoặc không phải là phần tử của tập hợp đó.

Cho một tập hợp A. Một phần tử x thuộc tập A được kí hiệu bằng xA,

ngược lại nếu x không thuộc A được kí hiệu là x A . Một tập hợp không có phần

tử nào gọi là tập hợp rỗng. Có nhiều cách để biểu diễn một tập hợp, phổ biến nhất là cách liệt kê các phần tử của tập hợp và cách biểu diễn thông qua tính chất tổng quát

của các phần tử.

Cho một tập hợp A. ánh xạ A:ARđược định nghĩa như sau: 1 ( ) 0 A x     x A x A   (2.13) ( ) A x

 gọi là hàm thuộc của tập hợp A. Như vậy A( )x chỉ nhận hai giá trị hoặc

0 hoặc 1. Giá trị 1 của hàm thuộc A( )x cònđược gọi là giá trị đúng, ngược lại giá trị

0 gọi là giá trị sai. Một tập hợp X luôn có A( ) 1x  x được gọi là không gian nền

(tập nền).

Một tập hợp A có dạng : AxX /x thõa một số tính chất nào đó} thì X

Với khái niệm tập nền như trên thì hàm thuộc A( )x của tập A có tập nền X sẽ được hiểu là ánh xạ A:X 0,1 từ X vào tập {0,1} gồm hai phần tử 0 và 1.

2.2.2 Khái niệm tập mờ - các khái niệm cơ bản:

Hàm thuộc A( )x định nghĩa trên tập A, trong khái niệm tập hợp kinh điển chỉ

có hai giá trị là 1 nếu xA hoặc bằng 0 nếu xA. Như vậy trong lý thuyết tập hợp kinh điển, hàm thuộc hoàn toàn tương đương với định nghĩa một tập hợp. Từ định

nghĩa về một tập A bất kì ta có thể xác định được hàm thuộc ( )

A x

 cho tập hợp đó và

ngược lại.

Cách biểu diễn hàm thuộc như vậy sẽ không phù hợp với những tập hợp được

mô tả mờ như các ví dụ sau:

B = {x€ R|x ≈ 6}

 | 3

C x R x

Lý do là với những định nghĩa mờ như vậy thì ta chưa đủ để xác định được

một số ví dụ như x2.3có thuộc B hay không. Nếu đã không khẳng định được là 2.3

x có thuộc B thì cũng không thể khẳng định nó có không thuộc B hay không

và nếu x2.3 thuộc B thì nó thuộc bao nhiêu phần trăm? Giả sử có câu trả lời thì lúc này hàm thuộc B( )x tại điểm x2.3 phải có giá trị trong khoảng [0,1] tức là 0B( ) 1x  . Nói một cách khác hàm B( )x không còn là hàm hai giá trị như đối với

tập hợp kinh điển nữa mà là một ánh xạ : [0,1]

B X

  .

Như vậy khác với tập hợp kinh điển A, từ định nghĩa kinh điển của tập mờ B

hoặc C không suy ra được hàm phụ thuộc B( )x hoặc ( )

C x

 của chúng. Hơn thế nữa

hàm phụ thuộc ở đây lại giữ vai trò làm rõ nghĩa cho một tập mờ. Do đó nó phải được nêu lên như là một điều kiện trong định nghĩa về tập mờ.

Định nghĩa : Tập mờ F xác định trên tập kin h điển X là một tập mà mỗi phần

Ánh xạ F được gọi là hàm thuộc của tập mờ F. Tập kinh điển X được gọi là tập nền của tập mờ D. Dạng đồ thị của thuộc có mức chuyển đổi tuyến tính được

choở hình sau :

Hình 2.4 : Hàm thuộc F( )x có mức chuyển đổi tuyến tính.

2.2.2.1 Độ cao của tập mờ:

Trong các ví dụ trên, các hàm thuộc đều có độ cao bằng 1. Điều đó có nghĩa

là các tập mờ trên đều có ít nhất một phần tử với độ phụ thuộc bằng 1. Trong thực tế

không phải tập mờ nào cũng phần tử có độ phụ thuộc bằng 1. Nghĩa là không phải

mọi hàm phụ thuộc đều có độ cao bằng 1.

Định nghĩa : Độ cao của một tập mờ F được định nghĩa trên tập nền X là giá

s u p F( )

x X

h  x



 (2.14)

h là giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị chặn trên của hàm F( )x . Một tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 được gọi là tập mờ chính tắc tức

là h=1, ngược lại tập mờ với h 1 được gọi là tập mờ không chính tắc.

2.2.2.2 Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ:

Định nghĩa : Miền xác định của tập mờ F, định nghĩa trên tập nền X, kí hiệu S là tập con của X thỏa mãn :S supF( )x  x X |F( )x 0

(2.15)

Kí hiệu supF( )x là tập con trong X chứa các phần tử mà tại đó hàm F( )x >0.

Định nghĩa : Miền tin cậy của tập mờ F định nghĩa trên tập nền X, kí hiệu T

Hình 2.5 : Miền xác định và miền tin cậy của tập mờ.

2.2.3 Luật hợp thành mờ:

Luật hợp thành là tên gọi chung cho mô hình R biễu diễn một hay nhiều hàm thuộc cho một hay nhiều mệnh đề hợp thành, nói cách khác luật hợp thành được

hiểu là một tập hợp của nhiều mệnh đề hợp thành. Một luật hợp thành chỉ có một

mệnh đề hợp thành gọi là luật hợp thành đơn, ngược lại nếu có nhiều hơn một mệnh đề hợp thành thì gọi là luật hợp thành kép. Phần lớn các hệ mờ trong thực tế có luật

hợp thành kép.

Trong thực tế thường sử dụng quy tắc hợp thành MIN hoặc PROD, và thường

sử dụng phép hợpthành các tập mờ theo luật MAX hoặc tổng Lukasiewicz.

Để xác định hàm thuộc R'( )y của giá trị đầu ra R’ của một luật hợp thành có