... thấy chứngminh trong cuốn Sáng tạo BDT
của Phạm Kim Hùng).
Áp dụng BDT Schwarz cho 3 số
20 cáchchứngminhbấtđẳngthức NesBit
Loạt bài này sẽ giới thiệu 20 cáchchứngminhbấtđẳngthức ... với bài toán.
Cách 1:
Cộng thêm 1+1+1 vào hai vế của bấtđẳngthức , ta được:
Đây là bấtđẳngthức quen thuộc (nhân hai vế với 2 rồi sử dụng BĐT Cauchy 2 lần và nhân lại).
Cách 2: Đặt
... xong.
Cách 12:
Giả sử . Khi đó:
Theo Chebyshev và AM-GM, ta có:
Chứng minh xong.
Cách 13:
Ta có
trên khoảng I=(0;1), ta có
Do đó là hàm lồi trên , áp dụng bấtđẳngthức Jensen...
... +
Suy ra
điều phải chứng minh.
Một số cáchchứngminh
BẤT ĐẲNGTHỨC NESBITT
1. Bấtđẳngthức Nesbitt: Nếu
, ,a b c
là các số dương thì ta có bấtđẳngthức
3
2
a b c
P
b c ... giả sử
b c=
. Bấtđẳngthức trở thành
2
2 3 ( )
0
2 2 2 ( )
a b a b
b a b b a b
−
+ ≥ ⇔ ≥
+ +
B
ất đẳngthức được chứng minh.
Cách 45.
Tr
ước hết ta sẽ phát biểu và chứngminh một bổ đề. ... c c a
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
+ + +
.
Nhân theo v
ế hai bấtđẳngthức này ta có điều phải chứng minh.
Cách 2. Viết lại bấtđẳngthức đã cho dưới dạng
2 ( )( ) 2 ( )( ) 2 ( )( ) 3( )( )(...
... đổi bấtđẳngthức cần chứngminh tơng đơng với bấtđẳngthức
đúng hoặc bấtđẳngthức đà đợc chứngminh đúng.
Bài 3.1: a. Với a,b, c > 0. Chứng minh:
b. Cho a c > 0, b c. Chứng minh: ... SSSS
++=
.
3
1
321
SSSS
++
AC
MP
AC
MP
S
S
AC
MP
S
S
=
=
1
2
1
22
2
=
=
AC
PC
AC
QE
S
S
Các phơng pháp chứng minh
bấtđẳng thức
A. Kiến thức cơ bản.
* Một số bấtđẳngthức cần nhớ:
1. a
2
0; ; -
, dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0
2. Bấtđẳngthức Cô ... 3 số dơng a,b, c. Chứngminh rằng: 1 <
Giải:
Vì nên
Tơng tự:
Cộng cácbấtđẳngthức trên lại ta đợc điều phải chứng minh.
Bài 6.2: Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứngminh rằng:
A = không...
... + ≥
Giải:
*
1
1
1
1: .n a
a
2
= =1
: Bấtđẳngthức luôn đúng.
*
n k
=
: Giả sử bấtđẳngthức đúng là:
5
Giải:
Bấtđẳngthức (1) tương đương với:
2
( ) ( ) 2 ( )( )
c ... − − − ≥
đây là bấtđẳngthức đúng (đpcm)
Ví dụ 8:
Chứngminh rằng đối với mọi
, ,
a b c R
∈
, ta có:
2
2 2
2
4
a
b c ab ac bc
+ + ≥ − +
(1)
Giải:
Bấtđẳngthức (1) tương đương ... > + ⇒
Bấtđẳngthức đúng với
1
n k
= +
⇒
đpcm.
Ví dụ 4:
Cho
, 1, ,n Z n a b
∈ ≥ ≥ 0
. Hãy chứng minh:
2 2
n
n n
a b a b
+ +
≥
Giải:
* n = 1: Bấtđẳngthức luôn...
... 04)1(
2
acb
Chứng minh rằng hệ đã cho vô nghiệm.
Giải:
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNGMINHBẤTĐẲNGTHỨC
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum ... 3 bấtđẳngthức sau có một bấtđẳngthức đúng:
1,1,1
333
abccabcbabca
PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp hình học
I. Phương pháp vecto
Một số bấtđẳngthức có thể được chứngminh bằng các ... 3: Cmr trong 3 bấtđẳngthức sau có ít nhất một bấtđẳngthức đúng:
222222222
)()(2,)()(2,)()(2 baacaccbcbba
Bài 4: Cho a,b,c >0 và abc=1.Cmr 3
cba
Bất đẳngthức http://thptyenvien.edu.vn/forum...
... c + d) 4.
1
8
=
1
8
.
Vậy BĐT đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra a = b = c = d =
1
4
.
Bài toán 2. (Mỹ, 2003). Cho các số thực dơng a, b, c. Chứngminh rằng
22
222222
(2 ) (2 ) (2 )
8
2()2()2()
abc ... thi Olympic Toán các nớc tham khảo từ Internet.
7
áp dụng cho các số a, b, c (0, 3) ta có f(a) + f(b) + f(c) 4(a + b + c) + 12 = 24.
BĐT (2.2) đợc chứng minh. Đẳngthức xảy ra ở (2.2) ... c) là một hoán vị bất kỳ của (1, 0, 0).
Nhận xét cách giải: Đây là bài toán rất khó và đặc biệt là đẳngthức xảy ra tại
a = b = c =
1
3
hoặc (a, b, c) là một hoán vị bất kỳ của (1, 0, 0)....