Bài tiểu luận Toán cao cấp Lin

A.PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn để tài Toán nói chung tốn giải tích nói riêng có ứng dụng nghành khoa học khác , đặc biệt khoa học công nghệ thông tin Các nghiên cứu phân tích mặt định lượng tiến hành thơng qua quy mơ tốn Vì mà nhà nghiên cứu ngành công nghệ thông tin có nhu cầu sử dụng nhiều cơng cụ tốn học , đặc biệt cơng cụ giải tích đạo hàm phương pháp tối ưu Đề tài tiểu luận đề cập đến kiến thứchàm số liên ứng dụng Việc tìm hiểu kiến thức hồn tồn cần thiết bổ ích giúp ta hiểu sau hàm số nói chung hàm số liên tục nói riêng Đó lý em chọn “Tính liên tục hàm số biến số” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hàm số liên tục tập liên quan Đối tượng nghiên cứu - Hàm số liên tục : định nghĩa , tính chất Phương pháp nghiên cứu Phương pháp tính liên tục hàm số biến số Phương pháp hàm số 5.Kết cấu đề tài Bài tiểu luận có gồm: Chương 1: Tính liên tục hàm số biến số Chương 2: Bài tập liên quan B.NỘI DỤNG Chương 1: Tính liên tục hàm số biến số 1.Khái niệm Khái niệm giới hạn có nhiều ứng dụng giải tích đại.Cụ thể,nhiều định nghĩa tính liên tục sử dụng giới hạn: hàm số gọi liên tục tất giới hạn với giá trị nó.Giới hạn xuất định nghĩa đạo hàm:trong giải tích biến,đạo hàm giá trị giới hàm độ dốc đường cát tuyến với đồ thị hàm số Giả sử người đồ thị hàm số y = f(x).Hồnh độ người giá trị biến x,còn độ cao giá trị tung độ y.Người lại gần vị trí có hồnh độ a.Khi người tiến gần đến vị trí đó,cơ ta nhận độ cao cô tiếp xúc L.Nếu hỏi độ cao điểm x = a,cô trả lời L Vậy,nói độ cao người tiếp cận L có nghĩa độ cao gần L với sai số làm nhỏ tùy ý.Ví dụ,ta đặt mục tiêu cho sai số bé mười mét,cơ ta bảo làm cách tiến gần đến vị trí a,chẳng hạn khoảng cách năm mươi mét (theo chiều ngang).Tức miễn cô đứng cách a khơng q năm mươi mét độ cao cô cách L không mười mét Tương tự,không thiết phải mười mét,nếu yêu cầu sai số xuống cịn mét,cơ đạt độ cao cần thiết cách tiến gần đến a hơn.Tóm lại,nói độ cao người tiếp cận L tiến vị trí a nghĩa với sai số tối đa nào, dù nhỏ cỡ nữa,cũng tồn vùng quanh a mà độ cao người nằm sai số u cầu Lời giải thích phát biểu sau: Giới hạn hàm số f(x) x tiến tới p số L thỏa mãn tính chất: với khoảng cách từ L,có vùng xung quanh p mà giá trị f(x) nằm khoảng cách cho.Phát biểu gần với định nghĩa hoàn chỉnh giới hạn hàm số có giá trị không gian Hausdorff Định nghĩa sau đây,(thường gọi định nghĩa (ε,δ)),nhìn chung chấp nhận nhiều hoàn cảnh khác Giả sử f: R → R định nghĩa tập số thực a,L ∈ R Ta nói giới hạn f, x tiến tới a, L viết tính chất sau đúng: Với số thực ε > 0, tồn số thực δ > cho với x thỏa < |x − a| < δ |f(x) − L| < ε Có thể thấy giới hạn hàm số không phụ thuộc việc f có nghĩa a,và khơng phụ thuộc vào giá trị f a,tức f(a) 1.1 Hàm số liên tục Định nghĩa 1: Cho hàm số số Hàm số gọi liên tục không liên tục xác định khoảng Hàm gọi gián đoạn điểm Chú ý:Khi xét tính liên tục hàm số điểm,đặc biệt ý đến điều kiện hàm số xác định khoảng(dù nhỏ)chứa điểm Định nghĩa 2:Hàm số gọi liên tục khoảng liên tục điểm khoảng Hàm số khoảng gọi liên tục đoạn liên tục Chú ý:Đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng Các định lý hàm số liên tục Định lý 1:Tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương,giá trị mẫu điểm phải khác ) VD2: a) Hàm đa thức liên tục b) Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục khoảng tập xác định c) Các hàm số sơ cấp liên tục khoảng xác định chúng VD3:Nếu hàm số điểm lên tục đoạn cho tồn Chú ý: Nếu liên tục đoạn trình có nghiệm nằm khoảng phương Hàm số liên tục điểm liên tục – Để xét tính liên tục hàm số Bước 1: Tính Bước 2: Tính , điểm ta thực bước: (trong nhiều trường hợp ta cần tính ) Bước 3: So sánh Bước 4: Kết luận với rút kết luận Hàm số liên tục khoảng liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn liên tục Hàm số đa thức liên tục Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử liên tục điểm Khi đó: – Các hàm số – Hàm số Nếu số liên tục liên tục liên tục tồn Nói cách khác: Nếu liên tục trình có nghiệm Mở rộng: Nếu Khi với liên tục điểm – Các hàm số – Hàm số Nếu số phương , liên tục liên tục : liên tục Nói cách khác: Nếu liên tục trình có nghiệm Mở rộng: Nếu Khi với liên tục [a; b] Đặt ln tồn số Giả sử Khi đó: tồn liên tục [a; b] Đặt ln tồn số phương , : 1.1.2.Các tính chất + Tổng, hiệu, tích thương (với điều kiện mẫu khác ) hàm liên tục a hàm liên tục a + Nếu hàm f liên tục a hàm g liên tục f (a) hàm hợp g ◦ f liên tục a + Nếu f liên tục a f (a) > L f (x) > L lân cận a hay ∃δ > cho f (a) > L với x mà |x − a| < δ 1.2.Một số tính chất liên tục Định lý 1.1.(Tính trù mật hàm liên tục).Nếu hàm f (x) liên tục đoạn [a;b] f (a)f (b) < tồn c ∈ (a;b) cho f (c) = Chứng minh Để chứng minh định lí ta thực phương pháp chia đôi đoạn [a; b].Nếu trình thực ta tìm điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = định lí chứng minh.Nếu khơng tìm c trình giúp ta xây dựng dãy đoạn lồng [an;bn ] b−a f (an)< 0,f (bn) > cn = bn − an = n Ta có : lim f (an ) = f ( lim an ) = f (c) ≤ n→∞ n→∞ Tương tự lim f (bn ) = f ( lim bn ) = f (c) ≥ 0, n→∞ n→∞ c ∈ (a; b) Vậy tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = 1.2.1.( Định lý giá trị trung gian hàm liên tục) Nếu f (x) liên tục [a;b],thì f (x) nhận giá trị trung gian f (a) f (b).Tức là,với γ nằm f (a) f (b) tồn giá trị c ∈ [a;b] cho f (c) = γ Chứng minh.Không tính tổng quát,giả sử f (a) < f (b) Ta thấy định lý dễ dàng chứng minh γ = f (a) γ = f (b) Xét γ với f (a)< γ < f (b) ta chứng minh tồn giá trị c ∈ [a;b] cho f (c) = γ Thật vậy, xét hàm g(x) = f (x) − γ hàm liên tục [a;b] Ta lại có g(a) < 0,g(b) > theo Định lý 1.3.luôn tồn tai giá trị γ ∈ (a;b) để g(c) = Điều cho thấy ln tồn giá trị c ∈ [a; b] cho f (c) = γ Định lý chứng minh Chương Bài tập liên quan Phương pháp giải & Ví dụ Ta sử dụng phương pháp chung để làm tốn dạng Bài 1: Tìm giới hạn sau: Giải: Ta có: Bài 2: Xét xem hàm số sau có giới hạn điểm hay khơng? Nếu có hay tìm giới hạn đó? Giải: Bài 3: Tìm m để hàm số: Ta có: Bài 4: Tìm giới hạn sau: Giải: Ta có: Bài 5: Xét tính liên tục hàm số sau x = Giải: Hàm số xác định R Ta có f(3) = 10/3 Vậy hàm số không liên tục x = Ta có f(3) = Vậy hàm số gián đoạn x = Bài 7: Xét tính liên tục hàm số sau toàn trục số f(x) = tan2x + cosx Giải: TXĐ: Vậy hàm số liên tục D Điều kiện xác định: Vậy hàm số liên tục (1;2) ∪ (2,+∞) Bài 8: Xét tính liên tục hàm số sau điểm Giải: Ta có Vậy hàm số liên tục x = Bài 9: Xét tính liên tục hàm số sau điểm Giải: Vậy hàm số không liên tục điểm x = -1 Bài 10: Xét tính liên tục hàm số sau điểm Giải: Ta có: Vậy hàm số liên tục x = Bài 11: Xét tính liên tục hàm số sau điểm Giải: Ta có: Vậy hàm số gián đoạn x = -1 Bài 12: Chọn giá trị f(0) để hàm số sau liên tục điểm x = Giải: Ta có: Bài 13: Xét tính liên tục hàm số sau điểm Giải: Ta có: Vậy hàm số khơng liên tục điểm x = -1 Bài 14: Xét tính liên tục hàm số sau điểm Giải: Ta có: Vậy hàm số liên tục x = Bài 15: Tìm m để hàm số sau: tục R liên Giải: Với x > ta có nên hàm số liên tục (0; +∞) Với x< ta có nên hàm số liên tục (-∞; 0) Do hàm số liên tục R hàm số liên tục x = Ta có: f(0) = 3m + Do hàm số liên tục x = ⇔ 3m + = 0,5 ⇔ m = Vậy hàm số liên tục R Ví dụ 16: Tìm m để hàm số sau liên tục điểm ra: Giải: Ta có: Để hàm số liên tục x = 1⇔ m= Bài 17: Tìm a để hàm số sau liên tục điểm ra: Giải: Ta có: Để hàm số liên tục x = 2a = hay a = 0,5 C.TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.http://giaoanmau.com/giao-an/tieu-luan-tinh-lien-tuc-cua-ham-mot-bien-va-daoham-42203/ https://vi.m.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_li%C3%AAn_t%E1%BB%A5c https://vietjack.com/toan-lop-11/xet-tinh-lien-tuc-cua-ham-so https://vndoc.com/xac-dinh-tham-so-de-ham-so-lien-tuc-202462 https://123docz.net/document/3478660-ham-so-lien-tuc-va-bai-tap-lienquan.htm MỤC LỤC A B Chương1 : 1.1 1.2 1.2.1 1.3 Chương2 : C PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tượng nghiên cứu Tính khả vị hàm số nhiều biến Mục đích nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu 5.Phương pháp nghiên cứu 6.Kết cấu đề tài B.NỘI DỤNG Tính liên tục hàm số biến số 1 1 2 3 1.Khái niệm 1.1 Hàm số liên tục 1.2.Một số tính chất liên tục 1.2.1.( Định lý giá trị trung gian hàm liên tục) 1.3.luôn tồn tai giá trị γ ∈ (a;b) để g(c) = Bài tập liên quan 12 Phương pháp giải & Ví dụ 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 ... biến x,cịn độ cao giá trị tung độ y.Người lại gần vị trí có hồnh độ a.Khi người tiến gần đến vị trí đó,cơ ta nhận độ cao cô tiếp xúc L.Nếu hỏi độ cao điểm x = a,cô trả lời L Vậy,nói độ cao người... không q năm mươi mét độ cao cách L không mười mét Tương tự,không thiết phải mười mét,nếu yêu cầu sai số xuống mét,cơ đạt độ cao cần thiết cách tiến gần đến a hơn.Tóm lại,nói độ cao người tiếp cận... cô tiếp xúc L.Nếu hỏi độ cao điểm x = a,cô trả lời L Vậy,nói độ cao người tiếp cận L có nghĩa độ cao gần L với sai số làm nhỏ tùy ý.Ví dụ,ta đặt mục tiêu cho sai số bé mười mét,cơ ta bảo làm cách