Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm sandwich FGM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Ngọc Ánh MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT TP Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Ngọc Ánh MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã sỗ: 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Kiên PGS TS Trần Văn Lăng TP Hồ Chí Minh – 2021 iv 2.5 Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel 28 2.5.1 Trường chuyển vị 28 2.5.2 Biến dạng ứng suất 28 2.5.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi 29 2.5.4 Động 29 2.6 Lý thuyết tựa 3D 30 2.6.1 Trường chuyển vị 30 2.6.2 Biến dạng ứng suất 30 2.6.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi 31 2.6.4 Động 32 2.7 Ảnh hưởng đàn hồi 32 2.8 Tải trọng di động 33 2.9 Phương trình vi phân chuyển động 33 Chương Mơ hình PTHH 36 3.1 Phần tử dầm FBKO 36 3.1.1 Chuyển vị nút hàm nội suy Kosmatka 36 3.1.2 Ma trận độ cứng 38 3.1.3 Ma trận khối lượng 39 3.2 Phần tử dầm TBSH 39 3.2.1 Chuyển vị nút nội suy 40 3.2.2 Ma trận độ cứng 40 3.2.3 Ma trận khối lượng 41 3.3 Phần tử dầm TBSE 42 3.3.1 Hàm nội suy Lagrange Hermite 42 3.3.2 Phần tử với nội suy làm giàu 44 3.3.2.1 Hàm làm giàu thứ bậc 44 3.3.2.2 Ma trận độ cứng 46 3.3.2.3 Ma trận khối lượng 47 v 3.4 Phần tử dầm Q3DB 50 3.4.1 Trường nội suy 50 3.4.2 Ma trận độ cứng 50 3.4.3 Ma trận khối lượng 52 3.5 Ma trận độ cứng đàn hồi 53 3.6 Ma trận véc-tơ tải trọng di động 53 3.6.1 Lực di động 54 3.6.2 Phần tử khối lượng di động 54 3.7 Phương trình chuyển động rời rạc 56 3.8 Phương pháp Newmark 57 Chương Kết số thảo luận 61 4.1 Mở đầu 61 4.2 Dao động tự 62 4.2.1 Dao động tự dầm ba pha 62 4.2.1.1 Kiểm chứng phần tử TBSH 63 4.2.1.2 Ảnh hưởng phân bố vật liệu 64 4.2.1.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 69 4.2.1.4 Ảnh hưởng đàn hồi 71 4.2.1.5 Ảnh hưởng phần tử 73 4.2.2 Dao động tự dầm hai pha 78 4.2.2.1 Kiểm chứng phần tử TBSE 81 4.2.2.2 Ảnh hưởng phân bố vật liệu 82 4.2.2.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 92 4.3 Dao động cưỡng 93 4.3.1 Dầm ba pha chịu lực di động 94 4.3.1.1 Kiểm chứng phần tử FBKO 96 4.3.1.2 Lực di động với vận tốc không đổi 97 4.3.1.3 Lực di động với vận tốc thay đổi 100 vi 4.3.2 Dầm hai pha chịu khối lượng di động 102 4.3.2.1 Kiểm chứng phần tử Q3DB 104 4.3.2.2 Ảnh hưởng vận tốc khối lượng tải di động 107 4.3.2.3 Ảnh hưởng phân bố vật liệu mơ hình học vi mô 109 4.3.2.4 Ảnh hưởng độ cứng đàn hồi 112 4.3.2.5 Phân bố ứng suất 114 Kết luận kiến nghị 122 Danh mục cơng trình liên quan tới luận án 125 Tài liệu tham khảo 127 Phụ lục 142 Phụ lục A 142 Phụ lục B 145 Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Các kí hiệu thơng thường A Diện tích tiết diện ngang A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao Aus Độ cứng tương hỗ kéo-trượt (sử dụng lý thuyết Shimpi-Patel) Abs Độ cứng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ass Độ cứng chống trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ash Độ cứng chống trượt bậc cao (Lý thuyết Shimpi-Patel) b Chiều rộng dầm B11 , B22 , B44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết bậc ba Shi) D11 , D22 , D44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết tựa 3D) Dd Hệ số động lực học G12 , G22 , G44 Độ cứng tương hỗ dọc trục-độ dãn dày, uốn-độ dãn dày trượt-độ dãn dày (Lý thuyết tựa 3D) F0 Độ lớn lực di động E f (x, z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng G f (x, z) Mô-đun trượt hiệu dụng Gc Mô-đun trượt gốm Gm Mô-đun trượt kim loại h Chiều cao dầm vii viii (h1 : h2 : h3 ) Tỉ số độ dày lớp dầm I Mơ-men qn tính bậc hai thiết diện ngang I11 Mô-men khối lượng dọc trục I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay I22 Mô-men khối lượng quay I34 , I44 , I66 Mô-men khối lượng bậc cao (Lý thuyết bậc ba Shi) Ius Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ibs Mô-men khối lượng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Iss Mô-men khối khối lượng trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) kw Độ cứng lò xo Winkler ks Độ cứng lớp trượt Pasternak k1 Tham số độ cứng lò xo Winkler k2 Tham số độ cứng lớp trượt Pasternak Kf Mô-đun khối hiệu dụng Kc Mô-đun khối gốm Km Mô-đun khối kim loại l Chiều dài phần tử L Chiều dài dầm LF Chiều dài phần dầm nằm m Khối lượng di động M1 Vật liệu M1 M2 Vật liệu M2 M3 Vật liệu M3 n Tham số vật liệu dầm sandwich 1D-FGM NE Số phần tử rời rạc dầm NEF Số phần tử rời rạc đàn hồi 134 [67] A Chakraborty, S Gopalakrishnan, and J N Reddy A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials International Journal of Mechanical Science, 45:519–539, 2003 [68] N A Apetre, B V Sankar, and D R Ambur Analytical modeling of sandwich beams with functionally graded core Journal of Sandwich Structures and Materials, 10:53–74, 2008 [69] O Rahmani, S M R Khalili, K Malekzadeh, and H Hadavinia Free vibration analysis of sandwich structures with a flexible functionally graded syntactic core Composite Structures, 91:229–235, 2009 [70] S.C Pradhan and T Murmu Thermo-mechanical vibration of an fgm sandwich beam under variable elastic foundations using differential quadrature method Sound and Vibration, 321:342–362, 2009 [71] N Gardner, E Wang, and A Shukla Performance of functionally graded sandwich composite beams under shock wave loading Composite Structures, 94(5):1755–1770, 2012 [72] A.R Setoodeh, M Ghorbanzadeh, and P Malekzadeh A two-dimensional free vibration analysis of functionally graded sandwich beams under thermal environment Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 226(12):2860–2873, 2012 [73] M Bı^rsan, T Sadowski, L Marsavina, E Linul, and D Pietras Mechanical behavior of sandwich composite beams made of foams and functionally graded materials International Journal of Solids and Structures, 50(3-4):519–530, 2013 [74] A.M Zenkour, M.N.M Allam, and M Sobhy Bending analysis of FG viscoelastic sandwich beams with elastic cores resting on Pasternak’s elastic foundations Acta Mechanica, 212:233–252, 2010 [75] Z Su, G Jin, Y Wang, and X Ye A general fourier formulation for vibration analysis of functionally graded sandwich beams with arbitrary boundary condition and resting on elastic foundations Acta Mechanica, 227:1493–1514, 2016 135 [76] Y Cunedioglu Free vibration analysis of edge cracked symmetric functionally graded sandwich beams Structural Engineering and Mechanics, 56(6):1003– 1020, 2015 [77] M.C Amirani, S.M.R Khalili, and N Nemati Free vibration analysis of sandwich beam with FG core using the element free galerkin method Composite Structures, 90:373–379, 2009 [78] Y Yang, C C Lam, K P Kou, and V P Iu Free vibration analysis of the functionally graded sandwich beams by a meshfree boundary-domain integral equation method Composite Structures, 117:32–39, 2014 [79] T.P Vo, H.-T Thai, T.-K Nguyen, F Inam, and J Lee Static behaviour of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D theory Composites Part B, 68:59–74, 2015 [80] A.I Osofero, T.P.Vo, T.-K Nguyen, and J Lee Analytical solution for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams using various quasi3D theories Journal of Sandwich Structures & Materials, 18(1):3–29, 2016 [81] S.C Mohanty, R.R Dash, and T Rout Parametric instability of a functionally graded Timoshenko beam on Winkler’s elastic foundation Nuclear Engineering and Design, 241(8):2698–2715, 2011 [82] R Bennai, H I Atmane, and A Tounsi A new higher-order shear and normal deformation theory for functionally graded sandwich beams Steel and Composite Structures, 19:521–546, 2015 [83] K Bouakkaz, L Hadji, N Zouatnia, and E.A Adda Bedia An analytical method for free vibration analysis of functionally graded sandwich beams Wind and Structures, 23(1):59–73, 2016 [84] L.C Trinh, T.P Vo, A.I.Osofero, and J Lee Fundamental frequency analysis of functionally graded sandwich beams based on the state space approach Composite Structures, 156:263–275, 2016 [85] P Tossapanon and N Wattanasakulpong Stability and free vibration of functionally graded sandwich beams resting on two-parameter elastic foundation Composite Structures, 142:215–225, 2016 136 [86] J Yarasca, J Mantari, and R Arciniega Hermite–lagrangian finite element formulation to study functionally graded sandwich beams Composite Structures, 140:567–581, 2016 [87] T.Q Bui, A Khosravifard, Ch Zhang, M.R Hematiyan, and M.V Golub Dynamic analysis of sandwich beams with functionally graded core using a truly meshfree radial point interpolation method Engineering structures, 47:90– 104, 2013 [88] M S¸ims¸ek and M Al-shujairi Static, free and forced vibration of functionally graded (FG) sandwich beams excited by two successive moving harmonic loads Composites Part B, 108:18–34, 2017 [89] S¸.D Akbas¸ Forced vibration analysis of functionally graded sandwich deep beams Coupled Systems Mechanics, 8(3):259–271, 2019 [90] W Songsuwan, M Pimsarn, and N Wattanasakulpong Dynamic responses of functionally graded sandwich beams resting on elastic foundation under harmonic moving loads International Journal of Structural Stability and Dynamics, 18:1850112, 2018 https://doi.org/10.1142/S0219455418501122 [91] Y Wang, A Zhou, T Fu, and Zhang W Transient response of a sandwich beam with functionally graded porous core traversed by a non-uniformly distributed moving mass International Journal of Mechanics and Materials in Design, 16(3):519–540, 2020 [92] M Rezaiee-Pajand, A.R Masoodi, and M Mokhtari Static analysis of functionally graded non-prismatic sandwich beams Advances in Computational Design, 3(2):165–190, 2018 [93] Y Liu, S Su, H Huang, and Y Liang Thermal-mechanical coupling buckling analysis of porous functionally graded sandwich beams based on physical neutral plane Composites Part B: Engineering, 168:236–242, 2019 [94] W Li, H Ma, and W Gao A higher-order shear deformable mixed beam element model for accurate analysis of functionally graded sandwich beams Composite Structures, 221:110830, 2019 137 [95] A.S Sayyad and Y.M Ghugal A unified five-degree-of-freedom theory for the bending analysis of softcore and hardcore functionally graded sandwich beams and plates Journal of Sandwich Structures & Materials, 23:1099636219840980, 2019 https://doi.org/10.1177/1099636219840980 [96] A Karamanlı Bending behaviour of two directional functionally graded sandwich beams by using a quasi-3d shear deformation theory Composite Structures, 174:70–86, 2017 [97] Lê Thị Hà Phân tích dầm FGM có mặt cắt ngang thay đổi chịu tải trọng di động Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2015 [98] Bùi Văn Tuyển Dao động dầm FGM có lỗ rỗng vi mơ mơi trường nhiệt độ chịu tải trọng di động Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2018 [99] Trần Thị Thơm Mơ hình phần tử hữu hạn phân tích dao động dầm có tính biến đổi theo hai chiều Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2019 [100] Nguyễn Ngọc Huyên Phân tích dao động chẩn đoán vết nứt dầm FGM Luận án Tiến sĩ, Học viện Khoa học Công nghệ, VAST, Hà Nội, 2017 [101] Ngơ Trọng Đức Phân tích dầm Timoshenko có nhiều vết nứt vật liệu tính biến thiên (FGM) ứng dụng vào nhận dạng tham số Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Xây dựng, Hà Nội, 2018 [102] Nguyễn Bá Duy Analysis of functionally graded sandwich beams under hygrothermo-mechanical loads Luận án Tiến sĩ, Đại học Sư phạm Kỹ thuật, Thành phố Hồ Chí Minh, 2019 [103] T.-K Nguyen, T.-P Nguyen, T.P Vo, and H.-T Thai Vibration and buckling analysis of functionally graded sandwich beams by a new higher-order shear deformation theory Composites Part B, 76:273–285, 2015 [104] T.-K Nguyen, T.P Vo, and H.-T Thai Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory Composites Part B: Engineering, 55:147–157, 2013 138 [105] T.-K Nguyen, T.P Vo, B.-D Nguyen, and J Lee An analytical solution for buckling and vibration analysis of functionally graded sandwich beams using a quasi-3D shear deformation theory Composite Structures, 156:238–252, 2016 [106] T.-K Nguyen and B.-D Nguyen A new higher-order shear deformation theory for static, buckling and free vibration analysis of functionally graded sandwich beams Journal of Sandwich Structures & Materials, 17(6):613–631, 2015 [107] T.-K Nguyen, B.-D Nguyen, T.P Vo, and H.-T Thai Hygro-thermal effects on vibration and thermal buckling behaviours of functionally graded beams Composite Structures, 176:1050–1060, 2017 [108] N.T Khiem and N.N Huyen A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam Nondestructive Testing and Evaluation, 32(3):319– 341, 2017 [109] N.T Khiem, H.T Tran, and D Nam Modal analysis of cracked continuous timoshenko beam made of functionally graded material Mechanics Based Design of Structures and Machines, 48(4):459–479, 2020 [110] T.V Lien, N.T Duc, and N.T Khiem Mode shape analysis of multiple cracked functionally graded timoshenko beams Latin American Journal of Solids and Structures, 14(7):1327–1344, 2017 [111] T.V Lien, N.T Duc, and N.T Khiem Free and forced vibration analysis of multiple cracked FGM multi span continuous beams using dynamic stiffness method Latin American Journal of Solids and Structures, 16(2), 2019 [112] D.K Nguyen Large displacement response of tapered cantilever beams made of axially functionally graded material Composites Part B: Engineering, 55:298–305, 2013 [113] D.K Nguyen Large displacement behaviour of tapered cantilever euler– bernoulli beams made of functionally graded material Applied Mathematics and Computation, 237:340–355, 2014 [114] D.K Nguyen and B.S Gan Large deflections of tapered functionally graded beams subjected to end forces 12):3054–3066, 2014 Applied Mathematical Modelling, 38(11- 139 [115] D.K Nguyen, B.S Gan, and T.H Trinh Geometrically nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded material Structural Engineering and Mechanics, 49(6):727–743, 2014 [116] D.K Nguyen, K.V Nguyen, V.M Dinh, B.S Gan, and S Alexandrov Nonlinear bending of elastoplastic functionally graded ceramic-metal beams subjected to nonuniform distributed loads Applied Mathematics and Computation, 333:443–459, 2018 [117] D.K Nguyen, B.S Gan, and T.H Le Dynamic response of non-uniform functionally graded beams subjected to a variable speed moving load Journal of Computational Science and Technology, 7(1):12–27, 2013 [118] D.K Nguyen and V.T Bui Dynamic analysis of functionally graded Timoshenko beams in thermal environment using a higher-order hierarchical beam element Mathematical Problems in Engineering, Article ID 7025750, 2017 https://doi.org/10.1155/2017/7025750 [119] D.K Nguyen, Q.H Nguyen, T.T Tran, and V.T Bui Vibration of bi- dimensional functionally graded Timoshenko beams excited by a moving load Acta Mechanica, 228(1):141–155, 2017 [120] D.K Nguyen and T.T Tran Free vibration of tapered BFGM beams using an efficient shear deformable finite element model Steel and Composite Structures, 29(3):363–377, 2018 [121] D.K Nguyen and T.T Tran A corotational formulation for large displacement analysis of functionally graded sandwich beam and frame structures Mathematical Problems in Engineering, 2016, 2016 [122] V.N Pham, D.K Nguyen, and B.S Gan Vibration analysis of two-directional functionally graded sandwich beams using a shear deformable finite element formulation Advances in Technology Innovation, 4:152–164, 2019 [123] C.I Le, N.A.T Le, and D.K Nguyen Free vibration and buckling of bidirectional functionally graded sandwich beams using an enriched third-order shear deformation beam element Composite Structures, 261261:113309, 2020 https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020.113309 140 [124] D.K Nguyen, T.T Tran, V.N Pham, and N.A Le Dynamic analysis of an inclined sandwich beam with bidirectional functionally graded face sheets under a moving mass European Journal of Mechanics-A/Solids, 88:104276, 2021 https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104276 [125] A.N.T Vu, , N.A Le, and D.K Nguyen Dynamic behaviour of bidi- rectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with partial foundation supporting effect Acta Mechanica, 232(4), 2021 https://doi.org/10.1007/s00707-021-02948-z [126] G Shi A new simple third-order shear deformation theory of plates International Journal of Solids and Structures, 44:4399–417, 2007 [127] R.P Shimpi and H.G Patel Free vibrations of plate using two variable refined plate theory Journal of Sound and Vibration, 296(4-5):979–99, 2006 [128] M Nemat-Alla, K.I.E Ahmed, and I Hassab-Allah Elastic-plastic analysis of two-dimensional functionally graded materials under thermal loading International Journal of Solids and Structures, 46:2774–86, 2009 [129] G Shi, K.Y Lam, and T.E Tay On efficient finite element modeling of composite beams and plates using higher-order theories and an accurate composite beam element Composite Structures, 41:159–165, 1998 [130] G Shi and K.Y Lam Finite element vibration analysis of composite beams based on higher-order beam theory Journal of Sound and Vibration, 219:707– 721, 1999 [131] S.C Dutta and R Roy A critical review on idealization and modeling for interaction among soil–foundation–structure system Computers and Structures, 80:1579–1594, 2002 [132] M Géradin and R Rixen Mechanical Vibrations, Theory and Application to Structural Dynamics Wiley, Chichester, 2nd edition, 1997 [133] R.D Cook, D.S Malkus, and M.E Plesha Concepts and applications of finite element analysis John Wiley & Sons, New York, 4rd edition, 2002 141 [134] J.B Kosmatka An improve two-node finite element for stability and natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams Computers Structures, 57:141–149, 1995 [135] A Chakraborty, S Gopalakrishman, and J.N Reddy A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials International Journal of Mechanical Science, 45:519–539, 2003 [136] O.C Zienkiewicz and R.L Taylor The finite element method Mc Graw-Hill Book Company, London, 1997 [137] P Solín Partial differential equations and the finite element method John Wiley & Sons Inc., Hoboken, 2006 [138] L Frýba Vibration of solids and structures under moving loads Thomas Telford, London, 1999 [139] N.M Newmark A method of computation for structural dynamics Journal of the Engineering Mechanics Division, 85(EM3):67–94, 1959 [140] M Olsson On the fundamental moving load problem Journal of Sound and Vibration, 145:299–307, 1991 [141] Q Song, J Shi, and Z Liu Vibration analysis of functionally graded plate with a moving mass Applied Mathematical Modelling, 46:141–160, 2017 Phụ Lục Phụ lục A M2 M1M2 , AM2M3 dầm 2DBiểu thức cho độ cứng thành phần AM1 i j , Ai j , Ai j ij FGSW ba pha phương trình (2.21) AM1 11 = (z2 − z1 )bE1 , AM1M2 11 AM1 12 = AM1M2 12 AM2 11 = (z1 − z0 + z3 − z2 )bE2 , (z1 − z0 + z3 − z2 ) = bE12 , nz + z22 − z21 bE1 , AM2 12 = AM2M3 11 (z1 − z0 + z3 − z2 )nz = bE23 nz + (A.1) z21 − z20 + z23 − z22 bE2 , z0 (z1 − z0 ) − z3 (z2 − z3 ) (z1 − z0 )2 − (z2 − z3 )2 = + bE12 , nz + nz + AM2M3 = 12 z21 − z20 + z22 − z23 z0 (z1 − z0 ) − z3 (z2 − z3 ) (z1 − z0 )2 − (z2 − z3 )2 − − bE23 nz + nz + (A.2) AM1 22 AM1M2 22 z32 − z31 = bE1 , z31 − z30 + z33 − z32 = bE2 , z20 (z1 − z0 ) − z23 (z2 − z3 ) z0 (z1 − z0 )2 − z3 (z2 − z3 )2 +2 = nz + nz + + AM2M3 22 AM2 22 (z1 − z0 )3 − (z2 − z3 )3 bE12 , nz + z31 − z30 + z33 − z32 z20 (z1 − z0 ) − z23 (z2 − z3 ) = − nz + −2 z0 (z1 − z0 )2 − z3 (z2 − z3 )2 (z1 − z0 )3 − (z2 − z3 )3 − bE23 nz + nz + 142 (A.3) 143 AM1 34 = AM1M2 34 z42 − z41 bE1 , z41 − z40 + z43 − z42 bE2 , z30 (z1 − z0 ) − z33 (z2 − z3 ) z20 (z1 − z0 )2 − z23 (z2 − z3 )2 +3 = nz + nz + +3 AM2M3 34 AM2 34 = (z1 − z0 )4 − (z2 − z3 )4 z0 (z1 − z0 )3 − z3 (z2 − z3 )3 +3 bE12 , nz + nz + z41 − z40 + z43 − z42 z30 (z1 − z0 ) − z33 (z2 − z3 ) z20 (z1 − z0 )2 − z23 (z2 − z3 )2 = − −3 nz + nz + −3 z0 (z1 − z0 )3 − z3 (z2 − z3 )3 (z1 − z0 )4 − (z2 − z3 )4 − bE23 nz + nz + (A.4) AM1 44 AM1M2 44 z5 − z5 = bE1 , AM2 44 z51 − z50 + z53 − z52 = bE2 , z30 (z1 − z0 )2 − z33 (z2 − z3 )2 z40 (z1 − z0 ) − z43 (z2 − z3 ) = +4 nz + nz + +6 z20 (z1 − z0 )3 − z23 (z2 − z3 )3 z0 (z1 − z0 )4 − z3 (z2 − z3 )4 +4 nz + nz + (z1 − z0 )5 − (z2 − z3 )5 bE12 , + nz + AM2M3 = 44 z51 − z50 + z53 − z52 z40 (z1 − z0 ) − z43 (z2 − z3 ) z3 (z1 − z0 )2 − z33 (z2 − z3 )2 − −4 nz + nz + z20 (z1 − z0 )3 − z23 (z2 − z3 )3 z0 (z1 − z0 )4 − z3 (z2 − z3 )4 −4 −6 nz + nz + − (z1 − z0 )5 − (z2 − z3 )5 bE23 nz + (A.5) 144 AM1 66 = AM1M2 66 z72 − z71 bE1 , AM2 66 = z71 − z70 + z73 − z72 bE2 , z60 (z1 − z0 ) − z63 (z2 − z3 ) z50 (z1 − z0 )2 − z53 (z2 − z3 )2 = +6 nz + nz + z3 (z1 − z0 )4 − z33 (z2 − z3 )4 z40 (z1 − z0 )3 − z43 (z2 − z3 )3 + 20 nz + nz + z2 (z1 − z0 )5 − z23 (z2 − z3 )5 z0 (z1 − z0 )6 − z3 (z2 − z3 )6 + 15 +6 nz + nz + (z1 − z0 )7 − (z2 − z3 )7 + bE12 , nz + + 15 AM2M3 66 z50 (z1 − z0 )2 − z53 (z2 − z3 )2 z71 − z70 + z73 − z72 z60 (z1 − z0 ) − z63 (z2 − z3 ) − −6 = nz + nz + z3 (z1 − z0 )4 − z33 (z2 − z3 )4 z40 (z1 − z0 )3 − z43 (z2 − z3 )3 − 20 nz + nz + z2 (z1 − z0 )5 − z23 (z2 − z3 )5 z0 (z1 − z0 )6 − z3 (z2 − z3 )6 − 15 −6 nz + nz + (z1 − z0 )7 − (z2 − z3 )7 bE23 − nz + − 15 (A.6) BM1 11 = (z2 − z1 )bG1 , BM1M2 11 BM2 11 = (z1 − z0 + z3 − z2 )bG2 , (z1 − z0 + z3 − z2 ) = bG12 , nz + BM1 22 BM1M2 22 z32 − z31 = bG1 , (z1 − z0 + z3 − z2 )nz = bG23 nz + (A.7) z31 − z30 + z33 − z32 = bG2 , z20 (z1 − z0 ) − z23 (z2 − z3 ) z0 (z1 − z0 )2 − z3 (z2 − z3 )2 +2 = nz + nz + + BM2M3 22 BM2 22 BM2M3 11 (z1 − z0 )3 − (z2 − z3 )3 bG12 , nz + z31 − z30 + z33 − z32 z20 (z1 − z0 ) − z23 (z2 − z3 ) = − nz + −2 z0 (z1 − z0 )2 − z3 (z2 − z3 )2 (z1 − z0 )3 − (z2 − z3 )3 − bG23 nz + nz + (A.8) 145 BM1 44 = BM1M2 44 z52 − z51 bG1 , BM2 44 = z51 − z50 + z53 − z52 bG2 , z30 (z1 − z0 )2 − z33 (z2 − z3 )2 z40 (z1 − z0 ) − z43 (z2 − z3 ) = +4 nz + nz + +6 z20 (z1 − z0 )3 − z23 (z2 − z3 )3 z0 (z1 − z0 )4 − z3 (z2 − z3 )4 +4 nz + nz + (z1 − z0 )5 − (z2 − z3 )5 + bG12 , nz + z51 − z50 + z53 − z52 z40 (z1 − z0 ) − z43 (z2 − z3 ) z3 (z1 − z0 )2 − z33 (z2 − z3 )2 − −4 nz + nz + BM2M3 = 44 z20 (z1 − z0 )3 − z23 (z2 − z3 )3 z0 (z1 − z0 )4 − z3 (z2 − z3 )4 −4 −6 nz + nz + − (z1 − z0 )5 − (z2 − z3 )5 bG23 nz + (A.9) E12 = E1 − E2 , E23 = E2 − E3 , G12 = G1 − G2 , G23 = G2 − G3 Phụ lục B M2 M1M2 I M2M3 Biểu thức cho mô-men khối lượng thành phần IiM1 j , Ii j , Ii j ij dầm 2D-FGSW ba pha phương trình (2.24) M1 I11 = (z2 − z1 )bρ1 , M1M2 I11 M1 I12 M2 I11 = (z1 − z0 + z3 − z2 )bρ2 (z1 − z0 + z3 − z2 ) = bρ12 , nz + z22 − z21 bρ1 , = M2 I12 M2M3 I11 (z1 − z0 + z3 − z2 )nz bρ23 = nz + (B.1) z21 − z20 + z23 − z22 bρ2 , = M1M2 I12 = z0 (z1 − z0 ) − z3 (z2 − z3 ) (z1 − z0 )2 − (z2 − z3 )2 + bρ12 , nz + nz + M2M3 I12 = z21 − z20 + z22 − z23 z0 (z1 − z0 ) − z3 (z2 − z3 ) (z1 − z0 )2 − (z2 − z3 )2 − − bρ23 nz + nz + (B.2) 146 M1 I22 = M1M2 I22 z32 − z31 bρ1 , (z1 − z0 )3 − (z2 − z3 )3 bρ12 , nz + M1M2 I34 z0 (z1 − z0 )2 − z3 (z2 − z3 )2 (z1 − z0 )3 − (z2 − z3 )3 − bρ23 nz + nz + z42 − z41 bρ1 , M2 I34 = z41 − z40 + z43 − z42 bρ2 , z30 (z1 − z0 ) − z33 (z2 − z3 ) z2 (z1 − z0 )2 − z23 (z2 − z3 )2 = +3 nz + nz + +3 M2M3 I34 (B.3) z31 − z30 + z33 − z32 z20 (z1 − z0 ) − z23 (z2 − z3 ) = − nz + −2 M1 I34 = z31 − z30 + z33 − z32 bρ2 , z20 (z1 − z0 ) − z23 (z2 − z3 ) z0 (z1 − z0 )2 − z3 (z2 − z3 )2 +2 = nz + nz + + M2M3 I22 M2 I22 = (z1 − z0 )4 − (z2 − z3 )4 z0 (z1 − z0 )3 − z3 (z2 − z3 )3 +3 bρ12 , nz + nz + z2 (z1 − z0 )2 − z23 (z2 − z3 )2 z41 − z40 + z43 − z42 z30 (z1 − z0 ) − z33 (z2 − z3 ) − −3 = nz + nz + −3 z0 (z1 − z0 )3 − z3 (z2 − z3 )3 (z1 − z0 )4 − (z2 − z3 )4 − bρ23 nz + nz + (B.4) 147 M1 I44 = M1M2 I44 z52 − z51 bρ1 , M2 I44 = z51 − z50 + z53 − z52 bρ2 , z30 (z1 − z0 )2 − z33 (z2 − z3 )2 z40 (z1 − z0 ) − z43 (z2 − z3 ) = +4 nz + nz + +6 z20 (z1 − z0 )3 − z23 (z2 − z3 )3 z0 (z1 − z0 )4 − z3 (z2 − z3 )4 +4 nz + nz + (z1 − z0 )5 − (z2 − z3 )5 + bρ12 , nz + M2M3 I44 = z51 − z50 + z53 − z52 z40 (z1 − z0 ) − z43 (z2 − z3 ) z3 (z1 − z0 )2 − z33 (z2 − z3 )2 − −4 nz + nz + z20 (z1 − z0 )3 − z23 (z2 − z3 )3 z0 (z1 − z0 )4 − z3 (z2 − z3 )4 −4 −6 nz + nz + 5 (z1 − z0 ) − (z2 − z3 ) bρ23 − nz + (B.5) M1 I66 = M1M2 I66 = z72 − z71 bρ1 , M2 I66 = z71 − z70 + z73 − z72 bρ2 , z60 (z1 − z0 ) − z63 (z2 − z3 ) z5 (z1 − z0 )2 − z53 (z2 − z3 )2 +6 nz + nz + z30 (z1 − z0 )4 − z33 (z2 − z3 )4 z40 (z1 − z0 )3 − z43 (z2 − z3 )3 + 20 + 15 nz + nz + z20 (z1 − z0 )5 − z23 (z2 − z3 )5 z0 (z1 − z0 )6 − z3 (z2 − z3 )6 + 15 +6 nz + nz + + M2M3 I66 (z1 − z0 )7 − (z2 − z3 )7 bρ12 , nz + z50 (z1 − z0 )2 − z53 (z2 − z3 )2 z71 − z70 + z73 − z72 z60 (z1 − z0 ) − z63 (z2 − z3 ) = − −6 nz + nz + 4 z0 (z1 − z0 ) − z3 (z2 − z3 )4 z0 (z1 − z0 ) − z3 (z2 − z3 ) − 20 − 15 nz + nz + − 15 z20 (z1 − z0 )5 − z23 (z2 − z3 )5 z0 (z1 − z0 )6 − z3 (z2 − z3 )6 −6 nz + nz + (z1 − z0 )7 − (z2 − z3 )7 bρ23 − nz + (B.6) 148 với ρ12 = ρ1 − ρ2 , ρ23 = ρ2 − ρ3 ... khăn phân tích dạng kết cấu Phương pháp PTHH lựa chọn thích hợp để phân tích kết cấu 2D -FGM Vì lý mà NCS chọn đề tài: "Mơ hình phần tử hữu hạn phân tích kết cấu dầm sandwich FGM" để nghiên cứu Với... kết cấu sandwich thông thường Ưu điểm mở nhiều ứng dụng cho kết cấu sandwich FGM Nghiên cứu ứng xử học kết cấu sandwich FGM thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học thời gian gần Dầm phần tử kết cấu. .. nhất, Chakraborty cộng [67] xây dựng mơ hình PTHH cho phân tích đàn-nhiệt dầm FGM dầm sandwich FGM Mơ hình phần tử xây dựng có 13 Hình 1.2 Mơ hình dầm sandwich FGM với tính biến đổi ngang độ xác cao