Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm sandwich FGM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT TP Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC V N V HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã sỗ: 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Kiên PGS TS Trần Văn Lăng TP Hồ Chí Minh – 2021 iv 2.5 Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel 2.5.1 Trường chuyển vị 2.5.2 Biến dạng ứng suất 2.5.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi 2.5.4 Động 2.6 Lý thuyết tựa 3D 2.6.1 Trường chuyển vị 2.6.2 Biến dạng ứng suất 2.6.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi 2.6.4 Động 2.7 Ảnh hưởng đàn hồi 2.8 Tải trọng di động 2.9 Phương trình vi phân chuyển động Chương Mơ hình PTHH 3.1 Phần tử dầm FBKO 3.1.1 Chuyển vị nút hàm nội suy Kosmatka 3.1.2 Ma trận độ cứng 3.1.3 Ma trận khối lượng 3.2 Phần tử dầm TBSH 3.2.1 Chuyển vị nút nội suy t c t l P d T n L v H t s g l b t c 3.3.2.3 Ma trận khối lượng 28 28 28 29 29 30 30 30 31 32 32 33 33 36 36 36 38 39 39 40 40 41 42 42 44 44 46 47 v 3.4 Phần tử dầm Q3DB 3.4.1 Trường nội suy 3.4.2 Ma trận độ cứng 3.4.3 Ma trận khối lượng 3.5 Ma trận độ cứng đàn hồi 3.6 Ma trận véc-tơ tải trọng di động 3.6.1 Lực di động 3.6.2 Phần tử khối lượng di động 3.7 Phương trình chuyển động rời rạc 3.8 Phương pháp Newmark Chương Kết số thảo luận 4.1 Mở đầu 4.2 Dao động tự 4.2.1 Dao động tự dầm ba pha 4.2.1.1 Kiểm chứng phần tử TBSH 4.2.1.2 Ảnh hưởng phân bố vật liệu 4.2.1.3 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 4.2.1.4 Ảnh hưởng đàn hồi 4.2.1.5 Ảnh hưởng phần tử 4.2.2 Dao động tự dầm hai pha c t T h p l h m d đ c b b l đ c t F đ t 4.3.1.3 Lực di động với vận tốc thay đổi 50 50 50 52 53 53 54 54 56 57 61 61 62 62 63 64 69 71 73 78 81 82 92 93 94 96 97 100 140 [124] D.K Nguyen, T.T Tran, V.N Pham, and N.A Le Dynamic analysis of an inclined sandwich beam with bidirectional functionally graded face sheets under a moving mass European Journal of Mechanics-A/Solids, 88:104276, 2021 https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2021.104276 [125] A.N.T Vu, , N.A Le, and D.K Nguyen Dynamic behaviour of bidi- rectional functionally graded sandwich beams under a moving mass with partial foundation supporting effect Acta Mechanica, 232(4), 2021 https://doi.org/10.1007/s00707-021-02948-z [126] G Shi A new simple third-order shear deformation theory of plates International Journal of Solids and Structures, 44:4399–417, 2007 [127] R.P Shimpi and H.G Patel Free vibrations of plate using two variable refined plate theory Journal of Sound and Vibration, 296(4-5):979–99, 2006 [128] M Nemat-Alla, K.I.E Ahmed, and I Hassab-Allah Elastic-plastic analysis of two-dimensional functionally graded materials under thermal loading International Journal of Solids and Structures, 46:2774–86, 2009 [129] G Shi, K.Y Lam, and T.E Tay On efficient finite element modeling of composite beams and plates using higher-order theories and an accurate composite beam element Composite Structures, 41:159–165, 1998 [130] G Shi and K.Y Lam Finite element vibration analysis of composite beams based on higher-order beam theory Journal of Sound and Vibration, 219:707– 721, 1999 [131] S.C Dutta and R Roy A critical review on idealization and modeling for interaction among soil–foundation–structure system Computers and Structures, 80:1579–1594, 2002 [132] M Géradin and R Rixen Mechanical Vibrations, Theory and Application to Structural Dynamics Wiley, Chichester, 2nd edition, 1997 [133] R.D Cook, D.S Malkus, and M.E Plesha Concepts and applications of finite element analysis John Wiley & Sons, New York, 4rd edition, 2002 141 [134] J.B Kosmatka An improve two-node finite element for stability and natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams Computers Structures, 57:141–149, 1995 [135] A Chakraborty, S Gopalakrishman, and J.N Reddy A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials International Journal of Mechanical Science, 45:519–539, 2003 [136] O.C Zienkiewicz and R.L Taylor The finite element method Mc Graw-Hill Book Company, London, 1997 [137] P Solín Partial differential equations and the finite element method John Wiley & Sons Inc., Hoboken, 2006 [138] L Frýba Vibration of solids and structures under moving loads Thomas Telford, London, 1999 [139] N.M Newmark A method of computation for structural dynamics Journal of the Engineering Mechanics Division, 85(EM3):67–94, 1959 [140] M Olsson On the fundamental moving load problem Journal of Sound and Vibration, 145:299–307, 1991 [141] Q Song, J Shi, and Z Liu Vibration analysis of functionally graded plate with a moving mass Applied Mathematical Modelling, 46:141–160, 2017 Phụ Lục Phụ lục A Biểu thức cho độ cứng thành phần AMji 1, AMji 2, Ai jM1M2, Ai jM2M3 dầm 2DFGSW ba pha phương trình (2.21) AM1 = (z2 − z1)bE1, AM2 = (z1 − z0 + z3 − z2)bE2, AM1M2 AM1 = (z1 − z0 + z3 − = z 2) nz + z22 − z21 bE1, bE12, AM2M3 (z1 − z0 + z3 − = z2)nz nz + bE23 z21 − z20 + z23 − bE2, z22 AM2 = (z1 − z0)2 − (z2 − z0(z1 − z0) − z3(z2 − AM1M2 = z3) + z3)2 nz + nz + AM2M3 = (A.1) bE12, (z1 − z0)2 − (z2 − z0(z1 − z0) − z3(z2 − z21 − z20 + z22 − − z 3) − z3)2 z23 nz + nz + 2 bE23 (A.2) AM1 = z32 − z31 bE1, AM2 = z31 − z30 + z33 − bE2, z32 z20(z1 − z0) − z23(z2 − AM1M2 = +2 z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − z3)2 nz + z 3) nz + (z1 − z0)3 − (z2 − + z3)3 bE12, (A.3) nz + AM2M3 = z31 − z30 + z33 − z32 − z20(z1 − z0) − z23(z2 − z3) nz + −2 z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − z3 )2 nz + (z1 − z0)3 − (z2 − z3)3 − 142 11 11 12 12 12 22 n bE23 143 AM1 = z42 − z41 bE1, AM2 = z41 − z40 + z43 − bE2, z42 z30(z1 − z0) − z33(z2 − AM1M2 = +3 z20(z1 − z0)2 − z23(z2 − z3)2 nz + z 3) nz + z0(z1 − z0)3 − z3(z2 − +3 z 3) +3 (z1 − z0)4 − (z2 − z3)4 nz + z41 − z40 + z43 − AM2M3 = − z42 nz + z30(z1 − z0) − z33(z2 − −3 z20(z1 − z0)2 − z23(z2 − z3)2 z 3) nz + nz + z0(z1 − z0)3 − z3(z2 − −3 bE12, z 3) − (z1 − z0)4 − (z2 − z3)4 nz + bE23 nz + (A.4) AM1 = bE1, AM2 = z51 − z50 + z53 − bE2, z52 z40(z1 − z0) − z43(z2 − AM1M2 = +4 z30(z1 − z0)2 − z33(z2 − z3)2 nz + z 3) nz + z20(z1 − z0)3 − z23(z2 − +6 +4 z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)4 nz + z 3) nz + (z1 − z0)5 − (z2 − + z3)5 bE12, nz + AM2M3 = z51 − z50 + z53 − −0 z52 nz + − 40 nz + −6 z20(z1 − z0)3 − z23(z2 − z 3) nz + −4 z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)4 nz + − (z1 − z0)5 − (z2 − z3)5 nz + 34 bE23 (A.5) 34 34 34 44 z5 − z51 44 44 44 z4(z1 − z0) − z43(z2 − z3)z3(z1 − z0)2 − z33(z2 − z3)2 144 AM1 = AM1M2 = z72 − z71 bE1, AM2 = z71 − z70 + z73 − bE2, z72 z60(z1 − z0) − z63(z2 − z50(z1 − z0)2 − z53(z2 − z3)2 +6 nz + z 3) nz + + 15 z40(z1 − z0)3 − z43(z2 − + 20 nz + z 3) nz + + 15 nz + (z1 − z0)7 − (z2 − + z3)7 nz + AM2M3 = z71 − z70 + z73 − − z72 +6 nz + bE12, z60(z1 − z0) − z63(z2 − −6 z50(z1 − z0)2 − z53(z2 − z3)2 z 3) − 15 z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)6 nz + nz + z40(z1 − z0)3 − z43(z2 − − 20 z 3) nz + nz + − 15 nz + (z1 − z0)7 − (z2 − − z3)7 nz + −6 z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)6 nz + bE23 (A.6) BM1 = (z2 − z1)bG1, BM2 = (z1 − z0 + z3 − z2)bG2, BM1M2 (z1 − z0 + z3 − = z 2) nz + BM1 = BM1M2 = z32 − z31 bG1, bG12, BM2M3 BM2 = nz + (A.7) bG23 z31 − z30 + z33 − bG2, z32 z20(z1 − z0) − z23(z2 − z 3) (z1 − z0 + z3 − = z2)nz nz + +2 z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − z3)2 nz + (z1 − z0)3 − (z2 − + z3)3 bG12, (A.8) nz + BM2M3 = 66 z31 − z30 + z33 − 66 z32 − z20(z1 − z0) − z23(z2 − z3) nz + 66 −2 z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − − z 3) nz + (z1 − z0)3 − (z2 − bG23 zz33)(z − z0)4 − z33(z2 − z3)4 nz + z2(z1 − z0)5 − z23(z2 − z3)5 66 z3(z1 − z0)4 − z33(z2 − z3)4 z2(z1 − z0)5 − z23(z2 − z3)5 11 11 22 145 z52 − z51 bG1, BM1 = BM2 = z51 − z50 + z53 − bG2, z52 z40(z1 − z0) − z43(z2 − BM1M2 = +4 z30(z1 − z0)2 − z33(z2 − z3)2 nz + z 3) nz + z20(z1 − z0)3 − z23(z2 − +6 +4 z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)4 nz + z 3) nz + (z1 − z0)5 − (z2 − + z3)5 bG12, nz + z51 − z50 + z53 − BM2M3 = −0 − 40 nz + z52 nz + z20(z1 − z0)3 − z23(z2 − −6 −4 z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)4 nz + z 3) nz + − (z1 − z0)5 − (z2 − z3)5 bG23 nz + (A.9) E12 = E1 − E2, E23 = E2 − E3, G12 = G1 − G2, G23 = G2 − G3 Phụ lục B Biểu thức cho mô-men khối lượng thành phần Ii jM1, Ii jM2, Ii jM1M2 Ii jM2M3 dầm 2D-FGSW ba pha phương trình (2.24) M1 M2 (z1 − z0 + z3 − = z 2) bρ12, nz + = bρ1, M1M2 M1 z22 − z21 M2M3 (z1 − z0 + z3 − = z2)nz nz + M2 (B.1) bρ23 = M1M2 44 M2M3 44 z21 − z20 z22 bρ2, + z23 − (z1 − z0)2 − (z2 − z0(z1 − z0) − z3(z2 − = z 3) + z3)2 nz + nz + bρ12, 44 (z1 − z0)2 − (z2 − z0(z1 − z0) − z3(z2 − z21 − z20 + z22 − = − z 3) − z3)2 z23 nz + nz + 2 bρ23 (B.2) z4(z1 − z0) − z43(z2 − z3)z3(z1 − z0)2 − z33(z2 − z3)2 44 I11 = (z2 − z1)bρ1, I11 = (z1 − z0 + z3 − z2)bρ2 I11 I12 I12 I12 I11 I12 146 M1 I22 = z32 − z31 bρ1, I22 M1M2 z31 − z30 + z33 − bρ2, z32 M2 I22 = z20(z1 − z0) − z23(z2 − = +2 z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − z3)2 nz + z 3) nz + (z1 − z0)3 − (z2 − + I22 z3)3 bρ12, (B.3) nz + M2M3 z31 − z30 + z33 − = − z20(z1 − z0) − z23(z2 − z3) nz + z32 I34 = −2 I34 I34 = z0(z1 − z0)2 − z3(z2 − (z1 − z0)3 − (z2 − bρ23 z2(z1 − z 0)2 − z23(z2 − z3)2 z3)3 z 3) − nz + z42 − z41 bρ1, M1 I34 M1M2 = nz + z41 − z40 + z43 − bρ2, z42 M2 z30(z1 − z0) − z33(z2 − + 30 z2(z1 − z0)2 − z23(z2 − z3)2 nz + z 3) nz + +3 z0(z1 − z0)3 − z3(z2 − z 3) +3 (z1 − z0)4 − (z2 − z3)4 nz + M2M3 = z41 − z40 + z43 − z42 − −3 nz + z30(z1 − z0) − z33(z2 − − 30 z 3) bρ12, nz + nz + z0(z1 − z0)3 − z3(z2 − z 3) nz + − (z1 − z0)4 − (z2 − z3)4 bρ23 nz + (B.4) 147 z52 − z51 bρ1, M1 M1M2 z51 − z50 + z53 − bρ2, z52 M2 z40(z1 − z0) − z43(z2 − = +4 z30(z1 − z0)2 − z33(z2 − z3)2 nz + z 3) nz + z20(z1 − z0)3 − z23(z2 − +6 +4 z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)4 nz + z3)3 nz + (z1 − z0)5 − (z2 − + z3)5 bρ12, nz + M2M3 z51 − z50 + z53 − = −0 − 40 nz + z52 nz + −6 z20(z1 − z0)3 − z23(z2 − −4 z0(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)4 nz + z3)3 nz + (z1 − z0)5 − (z2 − − z3)5 nz + z72 − z71 bρ1, M1 M1M2 M2 (B.5) z71 − z70 + z73 − bρ2, z72 z60(z1 − z0) − z63(z2 − = bρ23 + 60 nz + z 3) nz + + 15 z40(z1 − z0)3 − z43(z2 − + 20 z30(z1 − z0)4 − z33(z2 − z3)4 z 3) nz + nz + + 15 z20(z1 − z0)5 − z23(z2 − +6 z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)6 nz + z 3) nz + + (z1 − z0)7 − (z2 − z3)7 nz + bρ12, M2M3 z71 − z70 + z73 − = − z72 z60(z1 − z0) − z63(z2 − −6 z50(z1 − z0)2 − z53(z2 − z3)2 z 3) nz + nz + z4(z1 − zI44 0)3=− z4(z2 − z3)3 z3(z1 − z0)4 − z3(z2 − z3)4 nz + nz + I44 = I44 − 15 z20(z1 − z0)5 − z23(z2 − −6 z0(z1 − z0)6 − z3(z2 − z3)6 z 3) nz + nz + − (z1 − z0)7 − (z2 − z3)7 nz + I44 I66 = bρ23 (B.6) z4(z1 − z0) − z43(z2 − z3)z3(z1 − z0)2 − z33(z2 − z3)2 I66 = z5(z1 − z0)2 − z53(z2 − z3)2 I66 I66 − 15 − 20 148 với ρ12 = ρ1 − ρ2, ρ23 = ρ2 − ρ3 ... Phần tử dầm dựa theo lý thuyết bậc ba Shi PTHH Phần tử hữu hạn Q3DB Phần tử dầm dựa lý thuyết tựa 3D Danh sách hình vẽ Hình 1.1 Dầm 2D -FGM hệ tọa độ Đề-các (0xz) 11 Hình 1.2 Mơ hình. .. kết cấu sandwich thông thường Ưu điểm mở nhiều ứng dụng cho kết cấu sandwich FGM Nghiên cứu ứng xử học kết cấu sandwich FGM thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học thời gian gần Dầm phần tử kết cấu. .. cộng [67] xây dựng mơ hình PTHH cho phân tích đàn-nhiệt dầm FGM dầm sandwich FGM Mơ hình phần tử xây dựng có   z1 − z         13 Hình 1.2 Mơ hình dầm sandwich FGM với tính biến đổi