SKKN Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả năng giải bài toán tỉ số thể tích

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài Đổi phương pháp dạy học thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, nghĩa từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng qua việc học Để đảm bảo điều đó, phải thực chuyển từ phương pháp dạy học theo lối "truyền thụ chiều" sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, hình thành lực phẩm chất; phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, đối tượng học sinh; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, hình học khơng gian có vị trí đặc biệt quan trọng, tốn hình học khơng gian khai thác, sử dụng nhiều kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi THPT quốc gia Đặc biệt học sinh khối 12 tốn như: tính thể tích khối đa diện; tính tỉ số thể tích khối đa diện; tìm điều kiện để thể tích khối đa diện đạt GTLN,GTNN; toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến thể tích khối đa diện xuất kỳ thi chiếm tỉ trọng lớn phần hình học Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy, thấy phần lớn học sinh cịn gặp khó khăn lúng túng gặp dạng tốn lí sau: - Để giải toán cần huy động lượng lớn kiến thức lớn hình học khơng gian chương trình lớp 11 lớp 12 - Học sinh chưa phân loại dạng toán thường gặp, khơng hình dung cách giải dạng tốn, chưa nắm rõ dấu hiệu chất toán - Cách định hướng giải dạng tốn cịn hạn chế, theo kiểu “được xào đó” nên học sinh thiếu chủ động linh hoạt vận dụng vào toán khác - Các tài liệu viết dạng toán chưa đáp ứng thực tế giảng dạy với nhiều đối tượng học sinh, chưa phù hợp với đổi đánh giá kiểm tra Trăn trở trước thực trạng đó, chúng tơi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả giải tốn tỉ số thể tích” làm đối tượng nghiên cứu, nhằm giúp học sinh nhìn thấy nguồn gốc tốn để từ biết cách định hướng giải hiệu toán mới, vấn đề liên quan đến thể tích khối đa diện thơng qua việc vận dụng tốn tỉ số thể tích Trong đề tài chúng tơi tập trung khai thác hai toán tỉ số thể tích khối chóp khối lăng trụ sách giáo khoa hình học 12 bản, từ chúng tơi đưa giải pháp để giúp học sinh tiếp cận giải tốn liên quan đến thể tích khối đa diện hiệu quả, nhanh chóng đáp ứng vấn đề đổi đánh giá kiểm tra Mặc dù đề tài mà nhiều tác giả khai thác ,nhưng giải pháp mà đưa xây dựng cách có hệ thống, khoa học tảng toán gốc phù hợp với nhiều đối tượng học sinh đảm bảo tính thiết thực giai đoạn Các giải pháp giúp em tiếp cận dần phát huy khả vận dụng tốt dạng tốn thể tích; giúp học sinh phát huy khả tự học,tự nghiên cứu, khơi dậy tình u Tốn học cho học sinh Qua thực tiễn áp dụng Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, không ngừng chia sẻ trao đổi với đồng nghiệp trường, giải pháp đưa đem lại kết thiết thực rõ nét, góp phần nâng cao chất lượng dạy học,đem lại kết cao qua kì thi học sinh giỏi, kì thi THPT quốc gia năm gần Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Phát triển lực tư độc lập sáng tạo học sinh - Giúp học sinh phát huy tốt khả tự học, tự tìm tịi nghiên cứu - Hồn thiện thêm cách giải tốn thể tích khối đa diện Phương pháp nghiên cứu a) Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu liên quan b) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: - Qua thực tiễn giảng dạy góp ý đồng nghiệp - Khảo sát thực tiễn từ học sinh c) Phương pháp quan sát, điều tra: - Qua điều tra, sát hạch cách vận dụng kiến thức học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 12, bồi dưỡng HSG qua năm Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Thời gian nghiên cứu Đề tài nghiên cứu thử nghiệm năm học: 2019 - 2020 2020 - 2021 PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I CƠ SỚ KHOA HỌC 1.1 Cơ sở lý luận Trong chương trình Hình học 12 tốn như: tính thể tích khối đa diện; tính tỉ số thể tích khối đa diện; tìm điều kiện để thể tích khối đa diện đạt GTLN,GTNN; toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến thể tích khối đa diện thường xuất nhiều Để giải tốn u cầu học sinh cần nắm vững kiến thức hình học phẳng hình học khơng gian, thơng thường dạng tốn thường giải cách phân chia thành khối đa diện đơn giản áp dụng công thức tính thể tích Tuy nhiên nhiều trường hợp tốn thể tích khối đa diện lại gặp khó khăn việc xác định chiều cao diện tích đáy nên học sinh gặp nhiều trở ngại q trình định hướng cách giải dạng tốn Trong q trình giảng dạy nghiên cứu chúng tơi thấy việc vận dụng tỉ số thể tích để giải tốn liên quan đến thể tích khối đa diện thường cho lời giải ngắn gọn, học sinh cần kiến thức hình học khơng gian lớp 11 vận dụng tốt Với mong muốn giúp học sinh có thêm giải pháp sử dụng tốn tỉ số thể tích giúp học sinh rèn luyện phương pháp tự học phát huy lực sáng tạo thân, đề xuất giải pháp cở sở khai thác phát triển toán sách giáo khoa: 1.1.1 Bài tốn (BT4 – SGK - Hình học 12) Cho hình chóp tam giác S ABC Trên đoạn SA , SB , SC lấy V SA SB  SC  điểm A , B  , C  khác S Khi đó: S AB C   VS ABC SA SB SC Chứng minh: A Gọi H , H  hình chiếu A A lên mặt phẳng  SBC  Do S , A, A thẳng hàng nên S , H , H  thẳng hàng A' B B' H Ta có, thể tích khối chóp S ABC S ABC  là: S H' C' C 1   AH SB.SC.sin BSC  VS ABC  VA.SBC  AH S SBC  AH SB.SC sin BSC 3 1 1   SC   AH .SB.SC .sin B SC  VS ABC  VA.SBC   AH .S SBC   AH  SB.SC .sin B 3  SC  AH .SB.SC .sin B VS ABC  AH  SB SC Khi đó,   VS ABC AH SB SC  AH SB.SC.sin BSC Do SAH  SAH  đồng dạng nên Từ suy AH  SA  AH SA VS ABC  SA SB SC   VS ABC SA SB SC 1.1.2 Bài tốn (Ví dụ trang 24 – SGK - Hình học 12) Cho khối lăng trụ tam giác ABC AB C  tích V Khi đó: A C VA AB C   V ; VA BCC B  V 3 B Chứng minh: Thể tích khối chóp A ABC  là: A' C' 1 VA ABC   d  A,( ABC )  S ABC   V 3 B' Thể tích khối chóp A.BCCB là: VA BCC B   VABC ABC   VA ABC   V  V  V 3 1.1.3 Bài toán Gọi I giao điểm đường thẳng qua hai điểm M N d (M ,( P)) IM với mặt phẳng ( P ) Khi đó:  d ( N ,( P)) IN Chứng minh: Gọi M  , N  hình chiếu M , N lên mặt phẳng  P  M Khí đó, MM   d  M ,  P   , N NN   d  N ,  P   Ta có,  IMM   INN  đồng dạng nên d ( M ,( P)) MM  IM   d ( N ,( P )) NN  IN I N' M' 1.1.4 Kiến thức - Nếu khối đa diện (H) phân chia thành khối đa diện ( H ) , ( H ) , , ( H n ) V( H )  V( H1 )  V( H )   V( H n ) - Hai khối đa diện có chung chiều cao tỉ số thể tích tỉ số diện tích hai đáy - Hai khối đa diện có chung đáy tỉ số thể tích tỉ số chiều cao hai khối đa diện 1.2 Cơ sở thực tiễn thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong kì thi THPT quốc gia từ năm học 2016 - 2017 đến nay, mơn Tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, đề thi xuất câu hỏi liên quan đến toán thể tích khối đa diện mức độ vận dụng, vận dụng cao đòi hỏi phải giải thời gian ngắn nên học sinh gặp nhiều khó khăn Qua trình điều tra khảo sát kết học sinh trong kì thi THPT quốc gia, chúng tơi nắm bắt em làm dạng tốn đó, cịn hầu hết em khoanh chừng đáp án Thực tế trình giảng dạy tìm hiểu từ đồng nghiệp, chúng tơi nhận thấy tốn hình học khơng gian nói chung dạng tốn liên quan đến thể tích khối đa diện nói riêng, học sinh thường gặp khó khăn định hướng cách giải Cụ thể, tiến hành khảo sát chất lượng học sinh lớp 12A1 (gồm 40 học sinh) lớp 12A2 (gồm 42 học sinh) Trường THPT Nguyễn Đức Mậu thông qua kiểm tra viết khoảng thời gian 45 phút nắm bắt kết sau: 1.2.1 Đề kiểm tra Câu 1: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tích 77 Mặt phẳng ( ) qua A cắt SC trung điểm N , cắt SB điểm M SM  , cắt SD điểm P cho SB a) Tính thể tích khối SAMN b) Tính thể tích khối SAMNP Câu 2: Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh 2a , gọi M trung điểm BB P thuộc cạnh DD cho DP  DD a) Tính thể tích khối chóp A.BMP theo a b) Mặt phẳng  AMP  cắt CC N Tính thể tích khối đa diện AMNPBCD theo a 1.2.2 Kết thu +) Tại lớp 12A1: Câu 1: - Số học sinh giải ý a) là: 40/40 - Số học sinh giải trọn vẹn ý b) là: 5/40 (cả em dùng cách kẻ SP đường phụ để tính tỉ số ; cịn 35 em dừng lại bước tách khối SAMNP SD thành khối lập tỉ số thể tích khối với khối SABCD ) Câu 2: - Số học sinh giải ý a) là: 40/40 - Số học sinh giải ý b) là: 10/40 (hầu hết em làm theo cách phân chia khối ABCDMNP thành khối chóp ABMNC ADPNC áp dụng tính chiều cao diện tích đáy để tính thể tích nên làm dài khơng đủ thời gian, 2/40 em biết áp dụng tỉ số thể tích hình hộp nên ngắn gọn nhanh) +) Tại lớp 12A2: Câu 1: - Số học sinh giải ý a) là: 42/42 - Số học sinh giải ý b) là: 4/42 (4 học sinh dùng cách kẻ SP ; 38 học sinh lại dừng lại bước tách khối đường phụ để tính tỉ số SD S AMNP thành khối lập tỉ số thể tích khối với khối S ABCD ) Câu 2: - Số học sinh giải ý a) là: 42/42 - Số học sinh giải ý b) 9/42 (các em làm theo cách phân chia khối ABCDMNP thành khối chóp ABMNC ADPNC áp dụng tính chiều cao diện tích đáy để tính thể tích nên làm dài khơng đủ thời gian, 0/42 em biết áp dụng tỉ số thể tích hình hộp) Như vậy, kết khảo sát hai lớp tương đương Ngoài việc khảo sát trực tiếp hai lớp trình giảng dạy khối 12 năm qua thấy việc giải câu 1b câu 2b phức tạp đại đa số học sinh, em giải dài dòng nhiều thời gian làm thi trắc nghiệm Từ kết kiểm tra tìm hiểu qua học sinh đồng nghiệp, nhận thấy đa số học sinh nắm tốn tỉ số thể tích khối chóp tam giác, nhiên việc vận dụng vào tốn học sinh cịn gặp nhiều khó khăn, cịn riêng việc vận dụng tốn tỉ số thể tích hình hộp em chưa hiểu cách vận dụng Mặt khác, qua q trình tìm tịi nghiên cứu, chúng tơi thấy tài liệu viết nhiều tốn thể tích, nhiên chưa hình thành phương pháp mang tính hệ thống để qua hình thành học sinh khả tư sáng tạo, liên kết tổng hợp kiến thức có để giải vấn đề đặc biệt tốn vận dụng tỉ số thể tích khối hộp cịn hạn chế Hơn qua tiết dự đồng nghiệp thấy số giáo viên giảng dạy chưa có định hướng cách giải toán, chưa cung cấp thêm cho học sinh số phương pháp, cách thức tiếp cận vấn đề phù hợp, em thiếu tự tin việc định hướng, phát giải vấn đề, tốn hình học khơng gian nói chung tốn thể tích nói riêng Từ việc đánh giá phân tích kết thu sau khảo sát, nhận thấy cần phải có giải pháp để khắc phục thực trạng trên, thơi thúc chúng tơi nghiên cứu tìm tịi để đưa giải pháp phù hợp với việc đổi trình dạy học, phù hợp với đổi đánh giá kiểm tra Đó “Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả giải tốn tỉ số thể tích” II MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HUY KHẢ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỈ SỐ THỂ TÍCH Như trình bày phần lý chọn đề tài, tốn hình học khơng gian nói chung tốn tính thể tích khối đa diện nói riêng ln gây khó khăn cho học sinh nhiều học sinh e ngại bỏ qua gặp toán dạng Để giúp cho học sinh có hướng giải phát huy khả giải tốn liên quan đến thể tích khối đa diện, đề xuất số giải pháp Trong giải pháp, chúng tơi xây dựng số tốn tổng quát đưa ví dụ cụ thể Ở ví dụ đó, chúng tơi phân tích, định hướng phương pháp giải đồng thời đưa cách giải khác để từ thấy giải pháp mà đề tài đưa hiệu 2.1 Giải pháp 1: Vận dụng Bài toán để giải tốn tính thể tích tỉ số thể tích khối chóp Bài tốn (BT4 – SGK - Hình học 12) Cho hình chóp tam giác S ABC Trên đoạn SA , SB , SC lấy điểm A , B  , C  khác S Khi đó: VS AB C  SA SB  SC   VS ABC SA SB SC Để vận dụng tốt Bài toán vào việc tính tí số thể tích khối chóp u cầu học sinh cần phải nắm vững: + Cách phân chia lắp ghép khối đa diện kiến thức học khái niệm thể tích khối đa diện + Hai khối đa diện  H   H  có chung chiều cao h có diện tích đáy V( H ) S  S S  V( H  ) S  + Hai khối đa diện  H   H  có mặt đáy diện tích đáy nhau, V h chiều cao h h ( H )  V( H  ) h   ABC   900 , Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình thang, BAD AB  BC  a , AD  2a , SA  ( ABCD ) SA  2a Gọi M , N trung điểm SA SD Tính thể tích khối chóp S BCNM theo a Phân tích: S - Việc tính thể tích khối S BCNM trực cơng thức V  B.h gặp nhiều khó khăn khơng phải khối chóp đặc biệt nên việc xác định chiều cao khó N M A - Nhưng sử dụng Bài tốn tốn giải đơn giản qua bước: +) Phân chia khối đa diện S MNCB thành khối SMNC SMCB ; H D B C +) Tính thể tích khối đa diện S ABC VÀ S ACD +) Áp dụng Bài toán Lời giải 1: Do SA   ABCD  nên SA  AD Mặt khác AB  AD nên AD //  SAB  , 1 Ta có M , N trung điểm SA SD nên MN // AD ,   Từ (1) (2) suy MN   SAB  nên  BCNM    SAB  Trong mp  SAB  , kẻ SH  BM H SH   BCNM  Trong  ABM vuông A có AB  a , AM  a nên BM  a Ta có SHM đồng dạng  BAM nên SH SM   SH  a BA BM Dễ thấy BCNM hình chữ nhật nên S BCNM  BM NM  a 2 a3 Thể tích khối chóp S BCNM VS BCNM  SH S BCNM  3 Lời giải 2: 1 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  SA.S ABC  SA BA.BC  3 Thể tích khối chóp S ACD là: VS ACD 1 2a  SA.S ACD  SA BA AD  3 Áp dụng Bài tốn ta có: VS BCM SM 1    VS BCM  VS BCA , VS BCA SA 2 VS CMN SM SN 1    VS CMN  VS CAD VS CAD SA SD 4 Suy ra: VS BCNM  VS BCM  VS CNM 1 a 2a a  VS BCA  VS CAD    6 Ví dụ 2: Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P, Q trung điểm AC , AD, BD, BC Tính thể tích khối chóp A.MNPQ theo V Lời giải 1: Ta có: VA.MNPQ  2VAPMQ (do MNPQ hình thoi) Mà VAPMQ  VBPMQ (do AB // MQ ) nên VA.MNPQ  2VBPMQ Vì P trung điểm BD nên 1 d  P, ABC   d  D, ABC  S BQM  S ABC Nên: VBPMQ  d  P, ABC .S BQM 1  d  D, ABC  S ABC V 1  d  D, ABC .S ABC  8 V Suy VAMNPQ  Bình luận: - Giải toán theo cách yêu cầu học sinh cần phải nắm vững kiến thức khoảng cách tỉ số diện tích, mà yếu điểm học sinh đại trà - Nếu dùng Bài tốn việc giải đơn giản V AM AN AP Lời giải 2: Ta có: AMNP   VACDP AC AD AP V Mà ACDP  (Do hai khối chóp A.CDP A.BCD có chung chiều cao kẻ từ VABCD đỉnh A S BCD  SCDP ) V 1 1 Vậy VA.MNPQ  2VAMNP  VACDP  .VABCD  VABCD  4 4 Ví dụ 3: Cho hình tứ diện SABC tích V Gọi V  thể tích khối đa diện có đỉnh A , B , C  , M , N , P với A , B , C  , M , N , P trung V điểm cạnh SA, SB, SC , AB, BC, CA Tính tỉ số V Phân tích: Đây tốn tỉ số thể tích khối chóp tam giác nên học sinh áp dụng Bài tốn có kết tốn Lời giải: Ta có:V  V   VSAB C   VAAMP  VBB MN  VCC NP Mà: VSAB C  SA SB  SC  1      VSAB C   V VSABC SA SB SC Tương tự, ta có: VAAMP  VBB MN  VCC NP  V S Suy ra: V  V    V V V  V   V A' C' B' A C P M N B   CSA   600 , SA  , SB  , Ví dụ 4: Cho khối chóp S ABC có  ASB  BSC SC  Tính thể tích khối chóp S ABC Phân tích: Do khối chóp khơng đặc biệt nên tính thể tích cách xác định chiều cao tính diện tích đáy tốn khó học sinh việc xác định chiều cao phúc tạp Tuy nhiên biết vận dụng Bài toán đưa thiết lập tỉ số thể tích khối chóp cần tính khối chóp đặc biệt tốn đơn giản nhiều 10 Bài toán 2.1: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' , mặt phẳng cắt AM , cạnh bên AA ', BB ', CC ' lăng trụ điểm M , N , P cho: a  AA ' BN CN V a bc b , c Khi ta có: ABCMNP  BB ' CC ' VABCA ' B ' C ' Chứng minh: A Ta có: AA '  BB '  CC ';VABCA ' B ' C '  V ; C VABCMNP  VMABC  VMNPCB B M P Áp dụng toán 2: VMABC MA ' MA '   VMABC  V VA ' ABC A' A A' A N (1) A' h.(CP  NB )  NB CP  VMNPCB S NPCB       VA ' B 'C 'CB S B ' C 'CB h.(CC ' BB ')  BB ' CC '  NB CP  VMNCP  (  ).V BB ' CC ' Từ (1) (2) ta có C' B' (2) VABCMNP a bc  VABCA ' B ' C ' Chứng minh tương tự ta có: Bài toán 2.2: Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' , mặt phẳng cắt cạnh bên AM AA ', BB ', CC ', DD ' lăng trụ điểm M , N , P, Q cho: a  , AA ' DQ BN CN b , c , d Khi ta có: DD ' BB ' CC ' 1) a  c  b  d 2) VABCDMNPQ VABCDA ' B ' C ' D '  a bc d 1  (a  c)  (b  d ) 2 *) Để giải tốn tỉ số thể tích lăng trụ u cầu học sinh: - Biết phân chia khối đa diện - Biết vận dụng toán 2, toán 1, tốn kết 36 Thơng qua ví dụ sau giúp học sinh có thêm giải pháp để giải tốn tỉ số thể tích khối lăng trụ Ví dụ 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD AB C D có I trung điểm AC  Gọi V , V  thể tích khối hộp ABCD A BC D khối chóp I ABC V Tính tỷ số k  D' C' V Phân tích: Đây tốn mà học sinh vận dụng tốn B' A' 1 VIABC  VA ' ABC  VA ' B ' C ' ABC 2 I 1 1  VA ' B 'C ' D ' ABCD  V 12 D C O A B Ví dụ 23: Cho khối lăng trụ ABC A1 B1C1 tích 30 Gọi O tâm hình bình hành ABB1 A1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Thể tích khối tứ diện COGB1 Phân tích: Để giải toán học sinh cần: - Thiết lập tỉ số thể tích khối B1OCG B1 ACM - Áp dụng toán để tính thể tích khối B1 ACM qua VABCA1B1C1 Lời giải: Gọi M trung điểm A1C1 Áp dụng tốn 2, ta có: 1 VB1 ACM  VB1ACC1 A1  VABCA1B1C1  10 2 Áp dụng tốn 1, ta có: VB1.OCG VB1 ACM  B1O B1C B1G   B1 A B1C B1M 3 10  VB1 OCG  VB1 ACM  3 Ví dụ 24: Cho hình hộp có ABCD ABC D  thể tích V Gọi O tâm hình vng A BC D , điểm N trung điểm DD  điểm M thuộc cạnh CC  cho MC   MC Tính thể tích khối đa diện gồm đỉnh B , C , O, N , M 37 Phân tích: Để giải tốn học sinh cần: - Phân tích khối OB ' C ' MN thành khối OB ' C ' M OC ' MN - Thiết lập tỉ số thể tích khối OB ' C ' M OB ' C ' CB ; OC ' MN OC ' D ' DC - Áp dụng toán 2, tốn để tính thể tích khối OB ' C ' CB OC ' D ' DC theo V Lời giải: -Ta có VOB ' C ' MN  VOB 'C ' M  VOC ' MN - Áp dụng toán 2, toán 3: 1 1 1 VOB ' C ' M  VOB 'C ' CB  V A ' B ' C ' CB  V  V 3 3 18 1 1 1 VOC ' MN  VOC ' D ' DC  V A ' C ' D ' DC  V  V 3 3 18 Vậy : VOB ' C ' MN  VOB 'C ' M  VOC ' MN  V Ví dụ 25: Cho lăng trụ tam giác ABC AB C  có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N , P tâm mặt bên ABB A , BCC B  CAAC  Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A , B , C , M , N , P C Lời giải: A Ta có VABC ABC   3.4  12 B Gọi I , J , K trung điểm AA , BB  , CC  P K I  V ABC IJK  N M J Áp dụng toán 1, tốn ta có: V A.IMP V A AB C   C' A' B' 1 1  VA IMP  VA AB C   12  8 Dễ thấy VA IMP  VB.MNJ  VC NPK  Vậy V ABC.MNP V ABC.IJK  3V A.IMP    38 Nhận xét: Các tốn từ ví dụ 22 đến ví dụ 25 khơng vận dụng tốn trở thành tốn phức tạp sử dụng cách xác định chiều cao diện tích đáy Ví dụ 26: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB = 3a, AD = 4a, AA ' = 4a Gọi G trọng tâm tam giác CC 'D Mặt phẳng chứa B'G song song với C 'D V( H ) chia khối hộp thành phần Gọi (H) khối đa diện chứa C Tính tỉ số với V V thể tích khối hộp ABCD ABC D Phân tích: Đối với tốn học sinh làm theo hai cách: Cách 1: - Phân tích khối đa diện cần tính thành khối đa diện đơn giản - Tính thể tích khối đa diện cách tính chiều cao diện tích đáy Cách 2: Áp dụng toán Lời giải 1: Gọi ( ) mặt phẳng chứa BG song song với C D Gọi M, N giao điểm ( ) với CD CC  Khi ta có: CM CN   CD CC  MN // C D Và ( ) mặt phẳng  AMNB  , ( H ) phần khối đa diện chứa C Khi ta có: V( H )  VM BCNB  VB ABM Ta có: BCNB hình thang vng B, C có diện tích: S BCNB  1 40a  BB  CN .BC   4a  4a .4a  2  80a3  VMBCNB  MC.S BCNB  Mặt khác S ABM  S ABCD  S BCM  S ADM  6a  VB ABM  BB.S ABM  8a 3  V( H )  80 152 a  8a  a 9 39 Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD ABC D là: V  3a.4a.4a  48a  V( H ) V  152a 19  48a 54 Lời giải 2: Ta có: V( H )  VMBB 'CN  VMABB ' Áp dụng tốn tỉ số thể tích khối lăng trụ ta có: 1 VMABB '  VDABB '  VDCC ' ABB '  V 2 10 VMBB 'CN  VDBB ' CN  V  V 3 18 54 Vậy V( H )  VMBB 'CN  VMABB '  10 19 V V V 54 54 Lời bình: - Qua lời giải ta thấy hiệu sử dụng Bài toán để giải tốn tỉ số thể tích khối lăng trụ - Ngồi lớp toán tỉ số thể tích khối lăng trụ khối lăng trụ tam giác khối hộp bị cắt mặt phẳng cắt cạnh lăng trụ giải pháp hiệu cho toán sử dụng Bài tốn 2.1 Bài tốn 2.2 Ví dụ 27: Cho hình lăng trụ ABC ABC  tích V Gọi M trung điểm cạnh BB  , điểm N thuộc cạnh CC  cho CN  2C N Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo V Phân tích: Với giả thiết toán học sinh dễ dàng vận dụng toán 2.1 để giải nhanh toán Lời giải: Ta có VABCNM  BM CN             VABC ABC   BB CC    18 Vậy VABCNM  7V VABC ABC   18 18 Ví dụ 28 :Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh 2a , gọi M trung điểm BB P thuộc cạnh DD  cho DP  phẳng  AMP  cắt CC  N Tính thể tích khối đa diện AMNPBCD DD Mặt 40 Phân tích: Bài tốn học sinh giải theo cách : Cách 1: - Phân tích khối AMNPBCD thành khối ABMNC ADPNC - Tính chiều cao, diện tích đáy khối chóp Lời giải: Gọi O , O  tâm hai hình vng ABCD ABC D , gọi K  OO  MP , N  AK  CC  Ta có OK  1 a 3a  DP  BM    a    2 2 Do CN  2OK  3a A O P C B K M Diện tích hình thang BMNC S BMNC   BM  CN  BC 1 3a  5a   a   2a  2  D D' A' O' B' N C' 5a 5a 2a  Thể tích khối chóp A.BMNC VA BMNC  S BMNC AB  3 Diện tích hình thang DPNC S DPNC  1 a 3a  DP  CN .CD     2a  2a 2 2  4a Thể tích khối chóp A.DPNC VA DPNC  S DPNC AD  2a 2a  3 Vậy thể tích khối đa diện AMNPBCD V  VA.BMNC  VA DPNC 5a 4a3    3a3 3 Cách 2: Áp dụng toán 2.2 khối hộp Áp dụng, xem khối đa diện AMNPBCD  AMNP ABCD ta có: VAMNP ABCD  MB PD   1         VABCD ABCD  BB DD    3 Vậy VAMNPBCD  VAMNP ABCD  VABC D ABCD   2a   3a 8 Nhận xét: Với lời giải cách học sinh giải nhanh dạng toán 41 Ví dụ 29: Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có AD  BC AD song song với BC M trung điểm CC  , N điểm cạnh AA cho A N  AN Mặt phẳng ( MND) chia khối lăng trụ thành hai khối tích V1 V V2 (với V1  V2 ) Tính V2 Phân tích: Mặt phẳng ( MND) chia khối lăng trụ thành khối A ' B ' C ' D ' NPMD ABCDNPM Để áp dụng tốn 2.1 2.2 phải chia khối lăng trụ thành khối lăng trụ tam giác ABIA ' B ' I ' khối hộp BCDIB ' C ' D ' I ' Lời giải: Gọi I , I  trung điểm AD A D lúc ta có IBCD.I BC D ' hình hộp Gọi P, Q giao điểm ( MND ) với BB , II  Trong mp ( ADDA) ta có IQ  IQ QI     II  II  AN , IQ //AN Do IBCD.I BC D ' hình hộp nên PB  DD  QI  MC  PB       1  BB DD  II  CC  BB 8 Lúc mặt phẳng ( MNP) chia khối lăng trụ ban đầu thành hai khối, ta tích khối VABC DNPMD  VABI NPQ  VI BC D '.QPMD Ta tích khối VI BCD ' IBCD  VABC D ' ABCD VABI  ABI  VABC D ' ABCD 3 Áp dụng công thức tỷ số thể tích tốn 2.2 khối hộp, ta có VI BCD '.QPMD VI BC D ' IBCD  QI  MC   11      II  CC  16  VI BC D '.QPMD  11 11 VABC D ' ABCD  VABC D ' ABCD 16 24 Áp dụng cơng thức tỷ số thể tích tốn 2.1 khối lăng trụ tam giác ta có VABI NPQ VABI  ABC  NA PB QI         AA BB II   42 2  VABI NPQ  VABC D ' ABCD  VABC D ' ABCD 3 Từ ta có 49  11  VABC DNPMD  VABI NPQ  VI BC D '.QPMD    VABC D ' ABCD  VABC D ' ABCD 72  24  Do VABCDNPM  V 23 23 VABC D ABCD từ ta có  V2 49 72 Ví dụ 30: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh mơn Tốn tỉnh Nghệ An năm học 2020 2021) Cho lăng trụ ABCA1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a , BA1  BB1  BC1  a a) Tính khoảng cách từ C đến mp ( ABB1 A1 ) b) Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABB1 , ACC1 , CBB1 Tính thể tích khối đa diện có đỉnh G1 , G2 , G3 , A1 , B1 , C1 Phân tích: Bài tốn ta giải theo cách: Cách 1: Vận dụng Bài toán để lập tỉ số khoảng cách từ suy tỉ số thể tích khối đa diện Cách 2: Vận dụng Bài tốn để tính tỉ số thể tích khối chóp, tốn 2.1 để tính tỉ số thể tích khối lăng trụ G G // A1C1 // AC   G1G2G3  //  ABC  Lời giải 1: Dễ thấy  G1G2 // BC +) Qua G1 kẻ đường thẳng song song AB cắt AA1 , BB1 M , N ; đường thẳng MG2 cắt CC1 P , ta lăng trụ MNP A1B1C1 1 +) Dễ thấy NG1  NM , NG3  NP , PG2  PM 3 Từ suy ra, 1     SMG1G  MG1.MG2 sin G 1MG2   MN  MP  sin G1MG2  S MNP 2   Đặt V0  VA1B1C1.MNP  d  A1;  MNP   S MNP 1 4  Khi đó, VA1MG1G3  d  A1 ,  MNP   S MG1G3  d  A1 ,  MNP    S MNP   V0 3 9  27 43 Tương tự, VB NG1G2  V0 , VC PG2G3  V0 27 27  Khi đó, VA1B1C1.G1G2G3  VA1B1C1.MNP  VA1MG1G3  VB NG1G2  VC PG2G3   20   V0   V0  V0  V0   V0 27 27  27  27 2 a2 3 Lại có, V0  VABC A1B1C1  BO.S ABC  3a  a  a 3 3 Suy ra, VA1B1C1.G1G2G3  20 a 81 Lời giải 2: +)VABCA1B1C1  BO.S ABC  +) Áp dụng Bài toán 2.1: VMNPA1B1C1 V a3 V 2 2 2  (   )   VMNPA1B1C1  V ; 3 3 3 +) Áp dụng Bài toán 1, Bài toán 2: VA1MG1G2 VA1 ABC VB1G1G3N VC1CBD A1M A1G1 A1G2 8   VA1MG1G2  V  V A1 A A1B A1C 27 27 81  8 1 B1G1 B1G3 B1 N   VB1G1G3 N  V  V ( E , F trung điểm B1E B1B B1F 27 27 81  C1P C1G3 C1G2 8 1   VC1PG3G2  V  V ( D trung điểm C1C C1B C1D 27 27 81 VB1EBF AB, BC ) VC1PG3G2  AC ) 40 20 Vậy VG1G2G3 A1B1C1  V  ( V  V  V )  V  a 81 81 81 81 81 Nhận xét: Với việc áp dụng toán tỉ số thể tích khối chóp khối lăng trụ học sinh dễ định hướng cách giải toán giải cách nhanh, rõ ràng Các tập áp dụng: Bài 20: Cho khối hộp ABCD AB C D tích 2020 M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng  MBD  chia khối hộp ABCD A BC D thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A 44 Bài 21: Cho lăng trụ tam giác ABC AB C  có diện tích đáy ABC 36, cạnh bên AA  tạo với đáy góc 60 Gọi M , N trung điểm AC , BC Trên hai đoạn AA , AB lấy điểm P , Q tương ứng cho AA  AP , AB  A Q Tính thể tích tứ diện PQMN Bài 22: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Gọi M điểm thuộc đoạn AB ' , N trung điểm D ' C ' , V1 thể tích khối đa diện lồi gồm đỉnh MB ' V D, M , B ', N , D ' Tính tỉ số biết  MA V Bài 23: Cho hình lăng trụ ABC A BC  có chiều cao cm diện tích đáy cm Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BB  , A C  Tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài 24: Cho lăng trụ tam giác ABC AB C  tích V  96 Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AB  AM Gọi K giao điểm B M AA , E trung điểm cạnh AC , ME cắt BC D Tính thể tích khối đa diện AKEBB D Bài 25: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A BC D có đáy hình thoi có cạnh 4a ,   120 Gọi M , N , K trung điểm cạnh AB , B C , BD  AA  8a , BAD Tính thể tích khối da diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , K Bài 26: Cho lăng trụ ABC AB C  có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N theo thứ tự điểm cạnh BB , CC  cho MB  MB  , NC   NC ; I , K trọng tâm tam giác AA C , ABB  Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm B, M , C , N , I K Bài 27: Cho hình hộp ABCD AB C D có chiều cao 6, diện tích đáy Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng  AC M  cắt BC N Tính thể tích khối đa diện có đỉnh D, M , N , A, C  Bài 28: Cho hình hộp ABCD AB C D có diện tích đáy , chiều cao     Gọi Q, M , N , P, I điểm thỏa mãn AQ  AB, DM  DA, 3       CN  CD , BP  BC , BI  BD Tính thể tích khối đa diện lồi có 3 đỉnh điểm Q , M , N , P, I Bài 29: Cho khối lập phương ABCD AB C D có cạnh Gọi M, N, P, L tâm hình vng ABB’A’, A’B’C’D’, ADD’A’, CDD’C’ Gọi Q trung điểm BL Tính thể tích khối tứ diện MNPQ 45 Câu 30: Cho hình lăng trụ ABC AB C  có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC P, Q thuộc A P AQ cạnh A C , A B  cho   Tính thể tích khối đa diện lồi A C  A B  có đỉnh điểm A, A, M , N , P Q Bài 31:Cho khối lập phương ABCD AB C D cạnh Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AD  C D Mặt phẳng  BMN  chia khối lập phương thành hai phần, gọi V thể tích phần chứa đỉnh B  Tính V Bài 32: Cho hình hộp ABCD AB C D tích Gọi M điểm thỏa   mãn BM  BB N trung điểm DD Mặt phẳng (AMN) chia hình hộp thành hai phần, tính thể tích phần có chứa điểm A 2.3 Kết nghiên cứu Chúng chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm, 12A2 làm lớp đối chứng Lấy kết kiểm tra chung hai lớp làm kiểm tra trước tác động Kết kiểm tra cho thấy kết học tập hai lớp trước tác động tương đương (Đã phân tích mục 2.1) Sau tác động, cho học sinh lớp 12A1 12A2 làm kiểm tra chung 2.3.1 Nội dung kiểm tra: Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD tích 27 Gọi G1 , G2 , G3 , G4 trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD a) Tính thể tích khối chóp A.MNP b) Tính thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 Bài 2: Cho lăng trụ ABC ABC  Gọi M , N , Q, R trung điểm cạnh AB , AB , BC , BC  P, S trọng tâm tam giác AAB , CC B Tính tỉ số thể tích khối đa diện MNRQPS khối lăng trụ ABC ABC  2.3.2 Kết thu được: Lớp Sĩ số Làm Làm Làm Làm Không làm Bài 1a) Bài 1a),1b) Bài Bài 1và 12A1 40 40 40 36 36 12A2 42 42 25 4 Kết làm học sinh hai lớp, phát thấy: 46 - Tất học sinh lớp 12A1 giải 1b) cách sử dụng Bài toán 1.2 Bài toán giải cách sử sụng Bài toán 2.1 Bài tốn Bên cạnh đó, em học sinh lớp 12A2 làm 1b) sử dụng hiệu thể tích khối biết, học sinh làm không học sinh giải theo cách đề tài mà kẻ thêm đường phụ sử dụng hiệu thể tích khối biết Qua đó, chúng tơi thấy rằng: điểm nhóm thực nghiệm cao nhóm đối chứng, chứng tỏ mức độ ảnh hưởng tác động lớn; điểm lớp thực nghiệm cao lớp đối chứng ngẫu nhiên mà tác động mà có Tác động có ý nghĩa lớn tất đối tượng học sinh: yếu, trung bình, Số học sinh yếu giảm nhiều, số học sinh tăng đáng kể 47 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Đóng góp đề tài 3.1.1.Tính mới: Đề tài nghiên cứu, thực nghiệm thành công đúc rút từ kinh nghiệm có tính thực tiễn cao Đề tài đưa hai giải pháp nhằm giải trọn vẹn tốn tính Thể tích khối đa diện (tỷ số thể tích khối đa diện, ) theo nhiều cách khác nhau, cách thống đề xuất số cách giải khác có tính thuyết phục cao 3.1.2.Tính khoa học: Đề tài trình bày bản, cẩn thận Các phương pháp nghiên cứu vận dụng phù hợp phát huy hiệu nội dung đề tài Ngôn ngữ sáng, tường minh; cấu trúc gọn, rõ, chặt chẽ, dẫn chứng khách quan, xác thực 3.1.3.Tính hiệu quả: Đề tài thực nghiệm trường THPT Nguyễn Đức Mậu năm học 2019 - 2020 2020 – 2021 đem lại hiệu thiết thực cho việc đổi phương pháp dạy học theo hướng phát triển lực cho học sinh THPT Đề tài giúp cho học sinh giải tốn thể tích khối đa diện cách ngắn gọn, nhẹ nhàng không cần sử dụng nhiều kiến thức hình học khơng gian lớp 11 Đề tài khắc phục tính hàn lâm dạy học hình khơng gian khắc phục việc dựng thêm nhiều hình phụ giải tốn Đề tài áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, kể học sinh trung bình giải tốt tốn hình khơng gian đề thi THPT quốc gia.Đồng thời giúp cho em học sinh có thêm phương pháp để giải tốn hình học khơng gian kì thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi cấp tỉnh 3.2 Kiến nghị 3.2.1 Với giáo viên Từ toán cụ thể, giáo viên cần đưa dấu hiệu chất tốn; Phân tích khó khăn thường gặp giải tốn Từ nêu cách khắc phục khó khăn tốn đề xuất nhiều cách giải khác nhau, từ giúp học sinh tìm lời giải tốn theo nhiều hướng Đồng thời, từ tốn ban đầu, định hướng để phát triển thêm toán khác giúp học sinh dựa vào tốn phát triển để giải toán khác nhanh gọn hiệu Trong q trình giảng dạy, giáo viên cần khuyến khích, nâng cao tính tích cực, chủ động, khơng “gị ép” học sinh thụ động tiếp thu kiến thức mà giáo viên áp đặt lên 48 3.2.2 Với học sinh Học sinh phải người chủ động, tránh cách học thụ động, máy móc, thiếu sáng tạo Đứng trước tốn, ngồi việc tìm lời giải, học sinh cần phải rèn luyện kĩ nhận dạng, phân tích để tìm lời giải khác đưa toán tương tự, tổng quát 3.2.3 Với cấp quản lý Tăng cường tiết học có tính chất phát triển tư lực, phát huy khả tự học, tự sáng tạo học sinh, làm sở quan trọng cho việc nghiên cứu học riêng rẽ Với dạng tốn khó hay dạy khó, đặt trước đơn vị học cụ thể để giáo viên học sinh tiện cho việc nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn cụ thể Trên kinh nghiệm nhỏ rút trình giảng dạy Thiết nghĩ, việc tìm phương pháp dạy học phù hợp với đơn vị học, giai đoạn thực tiễn công việc riêng Do thời gian nghiên cứu cịn nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế Rất mong đóng góp chân thành đồng nghiệp Hội đồng chuyên môn để đề tài tơi hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Hồ Đức Vượng – Phan Thị Ngọc Tú 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Hình giải tích khơng gian - Võ Giang Giai- NXB GD Các dạng Toán LT ĐH Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Tuyển tập đề thi Học sinh năm Đề thi thử trường THPT Các Website toán học có,… 50 ... đưa giải pháp phù hợp với việc đổi trình dạy học, phù hợp với đổi đánh giá kiểm tra Đó ? ?Một số giải pháp giúp học sinh phát huy khả giải tốn tỉ số thể tích? ?? II MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT... nhiều học sinh e ngại bỏ qua gặp toán dạng Để giúp cho học sinh có hướng giải phát huy khả giải tốn liên quan đến thể tích khối đa diện, đề xuất số giải pháp Trong giải pháp, chúng tơi xây dựng số. .. giải ngắn gọn, học sinh cần kiến thức hình học khơng gian lớp 11 vận dụng tốt Với mong muốn giúp học sinh có thêm giải pháp sử dụng tốn tỉ số thể tích giúp học sinh rèn luyện phương pháp tự học