CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ Dạng 1: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ TỐI GIẢN Bài 1: Tìm n �N để phân số tối giản: n7 n 13 2n C A B n2 n2 4n a, b, c, n29 A 1 n2 n2 a, HD: Để A tối giản n tối giản hay n �3k n �3k 2(k �N ) d, A 3n 7n c, Gọi d = UCLN ( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) Md=> Md, Để C tối giản d # hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – (k �N) Bài 2: Tìm n �N để phân số tối giản: 2n 8n 193 18n 21n C A A A 5n 4n 21n 6n a, b, c, d, n3 B n 12 Bài 3: Tìm n �N để phân số tối giản: 21n A 6n rút gọn Bài 4: Tìm n để HD: Giả sử tử mẫu chia hết cho số nguyên tố d => 22 Md=> d=2 d=11 TH1: d=2 => 6n+4 M2 với n 21n +3 M2 n lẻ TH2: d=11 => 21n +3 M11=> n – M11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 M11 7n2 n n Bài 5: CMR phân số: số tự nhiên với n �N phân số phân số tối giản? 7n HD: Vì phân số số tự nhiên với n nên n 1M6 => n lẻ n không chia hết cho n n ; Vậy phân số tối giản a 2a A a 2a a Bài 6: Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức b/ CMR a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a phân số tối giản 3n M n có giá trị số nguyên Bài 7: Tìm giá trị nguyên n để phân số Dạng 2: CHỨNG MINH PHÂN SỐ LÀ TỐI GIẢN Bài 1: Chứng minh phân số sau tối giản: n3 2n n 1 2n 5n a, 2n b, 3n c, 3n d, n 3n n 1Md � d UCLN n 1;2n 3 � n 1 2n 3 Md 1Md d �1 2n 3Md � HD: a, Gọi � n 1Md � d UCLN n 2n; n 3n 1 n n 2n n 3n 1 Md � n 2n Md � d, Gọi � n Md n Md � � � 1Md d �1 n 2n n n Md � n M d n M d � � Bài 2: Chứng minh phân số sau tối giản: 2n 16n 14n 2n a, 6n b, 21n c, 2n(n 1) d, 4n 4 HD: a, Gọi d UCLN 16n 5;6n 6n 16n Md 1Md d �1 14n 3Md � d UCLN 14n 3;21n � 14n 3 21n Md 1Md d �1 21 n M d � b, Gọi � n 2n 1 Md � 2n n Md n Md � � � d UCLN 2n 1;2n 2n � � � 2n 1Md 2n 2n Md 2n 2n Md � � � c, Gọi 2n 1 2n Md 1Md d �1 �2n 3Md d UCLN 2n 3;4n � 4n 2n 3 Md 2Md d �1, d �2 n M d � d, Gọi Vì 2n 3Md mà 2n+3 số lẻ nên d lẻ, d �2 loại Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản: 3n n 12n a, 5n b, n c, 30n Bài 4: Tìm n � Z để phân số sau số nguyên: n 2n 12 a, n b, n c, n d, 3n 12 D �Z 3n �U 12 �1; �2; �4 3 3n HD: d, Để , Vì 3n M Bài 5: Tìm n � Z để phân số sau số nguyên: 3n 6n 3n 6n a, n b, 2n c, n d, 3n 63 A 3n với n �N, tìm n để A số tự nhiên Bài 6: Cho phân số Bài 7: Tìm n � Z để phân số sau số nguyên: n2 n 10 n3 2n a, 2n b, 2n c, d, n HD :a, Ta có : 2n – =2(n-4) => n+10 M2 n+10 Mn – hay n số chẵn n 10Mn b, Ta có : 2n – =2(n – 1)=> n+3 M2 n+3 Mn – hay n số lẻ n 3Mn c, Ta có : 2n+3 M7 => 2n+10 M7= >n+5 M7 => n= 7k – (k �N ) d, Ta có : n 2n 2n 3Mn n(n 2) 2n Mn n( n 2) 2(n 2) Mn =>7 Mn+2 8n 193 A 4n cho: Bài 8: Tìm n �N để a, Có giá trị số tự nhiên b, Là phân số tối giản c, Với n từ 150-170 A rút gọn 187 HD : b, Để A tối giản 4n tối giản hay 187 không chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k 4n+3 # 17k 100 �11k �170 � � 100 �17 h �170 c, Để A rút gọn n = 11k + n = 17h – 5=> � 3a 5b 5a 8b phân số tối giản Bài 9: CMR (a – 1; b+1) HD: Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) Md=> b+1 Md Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) Md=> a – Md => d �UC( a – 1; b+1) Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - n4 A B n n số nguyên Bài 10: Tìm n � Z cho n9 A n (n � Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị ngun dương Bài 11: Cho phân số A 75 5n (n � N*) Tìm n để: a, Phân số A số tự nhiên Bài 12: Cho phân số b, A rút gọn 2n Bài 13: Tìm n �N để n số nguyên 2001 2002 ; ; ; ; ; n 2003 n 2004 Bài 14: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: n n n a HD: Các phân số cho có dạng: n a với a=1; 2; 3; ; 2001; 2002 a Để n a tối giản UCLN(n+2+a; a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 a nguyên tố Với số 1,2,3, , 2002 n+2 nhỏ n+2=2003( Vì 2003 số nguyên tố) 19 n Bài 15: Tìm n để tích hai phân số n có giá trị ngyên A P 3x x số nguyên Bài 16: Tìm x để giá trị biểu thức: 2017 x T 10 x , tìm giá trị nguyên x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn Bài 17: Cho x2 M x , biết x số hữu tỉ âm, M số nguyên, Tìm x Bài 19: Cho Dạng 3: TÌM N ĐỂ PHÂN SỐ CĨ GTLN HOẶC GTNN Bài 1: Tìm n � Z để phân số sau có GTNN: 6n 6n x 13 2x A B A B 2n 3n x3 x 1 a, b, c, d, 13 13 A 3 2n nhỏ 2n số dương lớn HD: a, Do n �Z nên 2n+3 �Z , Để 2n+3 số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1 Bài 2: Tìm n � Z để phân số sau có GTNN: 10 x 25 3x 20a 13 3 E A B D 2x x 1 4a 2x a, b, c, d, 5 E 5 x nhỏ x số âm nhỏ HD: a, Do x �Z nên 2x+4 �Z Để hay 2x+4 số nguyên âm lớn hay 2x+4 = - => x= - 5/2 (loại) 2x+4 = - => x= - Bài 3: Tìm n � Z để phân số sau có GTNN: 4n 2n 8 x 3 A B C E 2n n2 x 3 2n a, b, c, d, x A 5x Bài 4: Tìm n � Z để phân số sau có GTNN: � 5x � � � A � 1 � � � 5 x 5 x � � � �nhỏ x số âm nhỏ HD: Do x �Z nên 5x-2 �Z , Để => 5x - số nguyên âm lớn => 5x - 2= -1 Bài 5: Tìm n � Z để phân số sau có GTLN n 1 14 n D C n2 4n a, b, � Bài 6: Tìm n Z để phân số sau có GTLN x 19 3 D D x9 2x a, b, x c, c, (loại) 5x - 2= - => x = E 7x x5 C 3n 2 n d, C 4 x �6n � � � C � 3 � � � �2n � � 2n �lớn HD: c, Do n �Z nên -2n + �Z , Để hay 2n số dương lớn nhất, hay -2n + số nguyên dương bé => -2n+3 =1 => n =1 Bài 7: Tìm n � Z để phân số sau có GTNN: 7n 2n 8 x A B D A x3 2n n2 n3 a, b, c, d, Bài 8: Tìm n � Z để phân số sau có GTNN: x3 14 x B C D x2 4 x x5 a, b, c, � Bài 9: Tìm n Z để phân số sau có GTLN n 1 6n 2n C E D E x5 n 5 3n n2 a, b, c, d, � Bài 10: Tìm n Z để phân số sau có GTLN n 1 4n 2n 6n B C E A n5 2n n2 3n a, b, c, d, Bài 11: Tìm n � Z để phân số sau có GTLN 7n 2n 3n 6n F G I K 2n n2 2n 3n a, b, c, d, 10n B 4n 10 Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN Bài 12: Tìm số tự nhiên n để 2n 22 11 B 2n 2n HD: 6n A x đạt giá trị nhỏ Bài 13: Tìm số nguyên n cho 8 x A B x có giá trị lớn x có GTNN Bài 14: Tìm giá trị nguyên x để: a, b, Bài 15: Tìm GTNN phân số: A ab ab x 19 2 x , C x y x+y=1 Bài 16: Tìm GTNN biểu thức: Bài 17: Tìm số tự nhiên a, b nhỏ cho a b (1) A �a � b� � �b � b � N nên a Mb => a=b.k (k � N) HD: Từ a b => a k �2 7 Và a > b => b , thay a = b.k vào (1) ta b k b k b 7 7 Mà k �2 => k �2 b �2 mà b nhỏ nên b , k = => a 2 n M x y Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục x, hàng đơn vị y, Gọi a, Tìm n để M=2 b, Tìm n để M nhỏ 10 x y y x HD: a, Ta có: x y , Mà x,y chữ số nên x=1 y=8 x y 9x 9x M 1 1 y y x y x y 1 1 x để M nhỏ x lớn hay y lớn x nhỏ nhât b, Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ 30 43 a Bài 1: Tìm a, b, c, d � N* , biết : 1 b c d 17 11 Bài 2: Cộng tử mẫu phân số 21 với số nguyên rút gọn ta phân số 13 Hãy tìm số ngun ? Bài 3: Khi cộng tử mẫu phân số với số nguyên x phân số có giá trị Tìm số ngun x? Bài 4: Tìm phân số tối giản, Biết cộng tử mẫu phân số với mẫu số số lớn giấp hai lần phân số ban đầu ? a HD: Gọi phân số tối giản lúc đầu b , cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số : a a a b b 2b phân số nhỏ phân số b lần, ab Để 2b gấp hai lần phân số ban đầu a+b giấp lần a => Mẫu số b phải giấp lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện a a 21 Bài 5: Tìm phân số tối giản b nhỏ nhât khác cho chia b cho phân số 14 35 ta kết số tự nhiên 2001 2002 ; ; ; ; ; n 2003 n 2004 Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ để phân số sau tối giản: n n n a a , a 1, 2,3, , 2002 HD: Các phân số có dạng n a , để n a tối giản thì: UCLN (a; n a 2) UCLN (n 2; a ) n+2 a hai số nguyên tố Với số : 1,2,3, ,2002 n+2 nhỏ =>n+2=2003 số nguyên tố=> n=2001 1 1 51 a , a , a , , a50 a50 , Chứng minh 50 số Bài 7: Cho 50 số tự nhiên: , t/ m : a1 a2 a3 có hai số ... mẫu phân số với số ngun x phân số có giá trị Tìm số nguyên x? Bài 4: Tìm phân số tối giản, Biết cộng tử mẫu phân số với mẫu số số lớn giấp hai lần phân số ban đầu ? a HD: Gọi phân số tối giản lúc... b , cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số : a a a b b 2b phân số nhỏ phân số b lần, ab Để 2b gấp hai lần phân số ban đầu a+b giấp lần a => Mẫu số b phải giấp lần tử số a, phân số tối giản thỏa... ĐẾN PHÂN SỐ 30 43 a Bài 1: Tìm a, b, c, d � N* , biết : 1 b c d 17 11 Bài 2: Cộng tử mẫu phân số 21 với số nguyên rút gọn ta phân số 13 Hãy tìm số nguyên ? Bài 3: Khi cộng tử mẫu phân số