định nghĩa giới hạn , Cauchy, Cantor, Bolzano, Weierstrass, dãy Cơ bản, Dãy Cauchy,
Lý thuyết giới hạn dãy số Lê Văn Phong 2021 Giới hạn Giới hạn dãy số Cho f : N → R Với an = f (n) ∈ R, ∀n ∈ N tập hợp {an }n≥1 = {a1 , a2 , , ak , } gọi dãy số thực Định nghĩa 1.1 (Giới hạn dãy số thực) Số thực a ∈ R gọi giới hạn dãy số thực {an }n≥1 với số ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0 |an − a| < ε Kí hiệu: lim an = a, n→∞ an → a n → ∞ Định lý 1.2 Mọi dãy hội tụ có giới hạn Chứng minh Giả sử {an } dãy số thực hội tụ tới hai giá trị khác a, b ∈ R mà a > b a−b Khi với ε = > 0, ∃n1 ∈ N cho ∀n ≥ n1 |an − a| < ε ∃n2 ∈ N cho ∀n ≥ n2 a+b a+b = a − ε < an < b + ε = |an − b| < ε Suy với n ≥ n0 = max {n1 , n2 }, 2 Điều mâu thuẫn chứng tỏ dãy hội tụ có giới hạn Định lý 1.3 Cho {an }, {bn } hai dãy số thực hội tụ Giả sử ∃n0 ∈ N, cho an ≤ bn , ∀n ≥ n0 Khi lim an ≤ lim bn n→∞ n→∞ a−b > 0, ∃n1 ∈ N cho ∀n ≥ n1 |an − a| < ε ∃n2 ∈ N cho ∀n ≥ n2 |bn − b| < ε Mà a+b a+b an ≤ bn , ∀n ≥ n0 nên ∀n ≥ N = max {n0 , n1 , n2 }, = a − ε < an ≤ bn < b + ε = 2 Điều mâu thuẫn bác bỏ giả thuyết phản chứng, ta có lim an ≤ lim bn Chứng minh Giả sử phản chứng lim an = a > b = lim bn Khi với ε = n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.4 Dãy {an } gọi bị chặn tồn a ∈ R : an ≤ a, ∀n ∈ N, gọi bị chặn tồn b ∈ R : an ≥ b, ∀n ∈ N, gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Bổ đề 1.5 (Giới hạn dãy đơn điệu) Dãy {an } gọi đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm) an+1 ≥ an (tương ứng an+1 ≤ an ) ∀n ∈ N a Dãy đơn điệu tăng bị chặn hội tụ b Dãy đơn điệu giảm bị chặn hội tụ Chứng minh Giả sử {an } dãy số thực đơn điệu tăng bị chặn Do {an } tập R bị chặn nên tồn cận α = sup{an } ≥ an ∀n ∈ N Nên với ε > α − ε khơng cận {an } Do tồn n0 ∈ N cho α − ε < an0 < α, ∀n ≥ n0 an ≥ an0 (do {an } dãy đơn điệu tăng) Suy ∃n0 mà ∀n ≥ n0 α − ε < an0 ≤ an ≤ α < α + ε, hay |an − α| < ε Chứng tỏ dãy đơn điệu tăng bị chặn {an } hội tụ sup{an } Chứng minh hoàn toàn tương tự với dãy đơn điệu giảm bị chặn hội tụ cận Định lý 1.6 Một dãy số thực hội tụ bị chặn Chứng minh Giả sử {an } dãy số thực hội tụ tới a ∈ R Khi ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N cho ∀n ≥ n0 |an − a| < ε Từ suy ∀n ≥ n0 , |an | = |(an − a) + a| ≤ |an − a| + |a| < ε + |a| Đặt M = max {|a1 |, |a2 |, , |an0 |, |a| + ε} |an | < M, ∀n ∈ N Nghĩa tồn M > cho |an | < M, ∀n ∈ N, chứng tỏ dãy {an } bị chặn Định lý 1.7 (Nguyên lý Cantor) Mọi dãy đoạn lồng thắt lại có điểm chung Chứng minh Giả sử [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ⊃ [an , bn ] ⊃ dãy đoạn lồng thắt lại, nghĩa lim (bn − an ) = Khi a < a1 < < an < < bn < < b1 < b n→∞ Hay {an } dãy đơn điệu tăng bị chặn bk bất kỳ, nên tồn giới hạn hữu hạn α = sup {an } ∈ R Nhận thấy α < bn , ∀n ∈ N, thật vậy, giả sử phản chứng tồn n0 cho α > bn0 Vì an ≤ bn0 ∀n ∈ N, nên lim an = α ≤ bn0 , mâu thuẫn với giả thiết phản chứng n→∞ ∞ trên, chứng tỏ α ∈ [an , bn ] , ∀n ∈ N Nghĩa α ∈ [an , bn ] Tiếp theo ta chứng minh tính n=1 ∞ α Giả sử tồn β ̸= α, mà β ∈ [an , bn ] Khi α, β ∈ [an , bn ] ∀n ∈ N, nên n=1 |α − β| ≤ |an − bn | ∀n ∈ N Lấy giới hạn hai vế bất phương trình n → ∞, ta < |α − β| ≤ lim |an − bn | = Điều mâu thuẫn chứng tỏ tính tồn α n→∞ Định lý 1.8 (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy vơ hạn bị chặn chứa dãy hội tụ Chứng minh Giả sử {an } dãy bị chặn, tức tồn a ≤ b ∈ R cho a ≤ an ≤ b ∀n ∈ N Ta tồn dãy hội tụ {an } Thực chia đoạn [a, b] thành hai đoạn Khi tồn đoạn chứa vơ hạn phần tử dãy {an }, khơng hai đoạn chứa hữu hạn phần tử {an }, tức đoạn [a, b] chứa hữu hạn b−a phần tử {an } Ta gọi đoạn [a1 , b1 ] với (b1 − a1 ) = , sau chọn phần tử an1 dãy nằm Trong đoạn thứ k lần lập luận thứ k tương tự [ak , bk ] b−a với (bk − ak ) = ta chọn phần tử ank dãy nằm Lặp lại lập luận vô 2k hạn lần ta dãy đoạn [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ⊃ [ak , bk ] ⊃ lồng b−a thắt lại, nghĩa lim (bk − ak ) = lim = 0, chọn dãy {ank }k≥1 {an } k→∞ k→∞ 2k ∞ Theo nguyên lý Cantor tồn α ∈ [ak , bk ] Mặt khác ank , α ∈ [ak , bk ] nên k=1 ≤ ank − α ≤ |ak − bk | → nk ≥ k → ∞ Điều chứng tỏ lim ank = α, tức tồn dãy k→∞ {ank } ⊂ {an } hội tụ Định nghĩa 1.9 (Dãy Cauchy) Dãy số thực {an } gọi dãy Cauchy ∀ε > tồn n0 (chỉ phụ thuộc vào ε) cho ∀m ≥ n ≥ n0 |am − an | < ε Định lý 1.10 (Nguyên lý Cauchy) Dãy số thực {an } hội tụ dãy Cauchy Chứng minh Giả sử {an } dãy hội tụ tới α ∈ R, tức với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho ε với n ≥ n0 |an − α| < Khi với m ≥ n ≥ n0 |am − an | = |(am − α) + (α − an )| ≤ ε ε |am − α| + |α − an | < + = ε Nghĩa {an } dãy Cauchy 2 Ngược lại, {an } dãy Cauchy, với ε = > 0, ∃n0 : ∀m ≥ n ≥ n0 |am −an | < ε = Cố định n = n1 ∀m ≥ n1 ≥ n0 |am − an1 | < Suy |am | = |(am − an1 ) + an1 | ≤ |am −an1 |+|an1 | < 1+|an1 | Do đặt M = max{|a1 |, , |an1 |, 1+|an1 |} |am | < M ∀m ∈ N, tức {am } dãy bị chặn nên theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass, tồn dãy {amk } ⊂ {am } hội tụ đến giá trị hữu hạn β thuộc R Ta chứng minh {am } hội tụ đến giá trị hữu hạn β Thật vậy, {amk } dãy hội tụ đến β, nên với ε0 ε0 > tồn n2 cho ∀mk ≥ n2 |amk − β| < Mặt khác, {am } dãy cauchy, ε0 Suy với nên với ε0 > trên, tồn n3 cho ∀m ≥ mk ≥ n3 |am − amk | < ε0 ε0 m ≥ mk ≥ max{n2 , n3 } |am − β| ≤ |am − amk | + |amk − β| < + = ε0 Điều chứng tỏ 2 dãy {am } hội tụ đến β Bổ đề 1.11 Một dãy Cauchy gọi dãy i Một dãy bị chặn ii Nếu dãy có dãy hội tụ dãy hội tụ đến giá trị Nhận xét 1.12 (Ý nghĩa vể hội tụ dãy ) Việc biết giá trị hội tụ đa số dãy số thực tốn khó Nên việc dãy có hội tụ hay khơng định nghĩa trở nên khó khăn Chính việc dãy dãy Cauchy tương ứng với dãy hội tụ phương pháp mà ta cần sử dụng nội hàm yếu tố cấu thành nên dãy số mà khơng cần biết xác giá trị hội tụ Tương tự ta phát biểu cho điều kiện để dãy gọi phân kỳ là: Dãy số thực {an } gọi phân kỳ ∃ε0 > 0, cho ∀n0 , ∃m > n ≥ n0 |am −an | ≥ ε0 ... Điều chứng tỏ 2 dãy {am } hội tụ đến β Bổ đề 1. 11 Một dãy Cauchy gọi dãy i Một dãy bị chặn ii Nếu dãy có dãy hội tụ dãy hội tụ đến giá trị Nhận xét 1. 12 (Ý nghĩa vể hội tụ dãy ) Việc biết giá... } dãy Cauchy 2 Ngược lại, {an } dãy Cauchy, với ε = > 0, ∃n0 : ∀m ≥ n ≥ n0 |am −an | < ε = Cố định n = n1 ∀m ≥ n1 ≥ n0 |am − an1 | < Suy |am | = |(am − an1 ) + an1 | ≤ |am −an1 |+|an1 | < 1+ |an1... chứa vô hạn phần tử dãy {an }, khơng hai đoạn chứa hữu hạn phần tử {an }, tức đoạn [a, b] chứa hữu hạn b−a phần tử {an } Ta gọi đoạn [a1 , b1 ] với (b1 − a1 ) = , sau chọn phần tử an1 dãy nằm