Ma trận (toán đại học)

CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Khoa Toán Kinh tế Ngày 24 tháng năm 2021 Nội dung Ma trận: định nghĩa, phép toán Các phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận Hạng ma trận: Định nghĩa cách tính Hệ phương trình tuyến tính Ma trận nghịch đảo: Định nghĩa cách tính Định thức: Định nghĩa cách tính Phương pháp Cramer Một số ứng dụng UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Ví dụ mở đầu Ví dụ Một hãng sản xuất sản phẩm, ký hiệu S1 , S2 , S3 Mỗi mặt hàng có số khách hàng tìm hiểu số lượng tiêu thụ quý biểu diễn sau: Sản phẩm Số khách hàng Lượng tiêu thụ S1 2230 1520 S2 954 510 S3 458 169 Bảng tương ứng với "ma trận" hàng cột: (matrix): A= UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP 2230 954 458 1520 510 169 CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Định nghĩa Định nghĩa Ma trận bảng số có dạng  a11   a21 A=   a12 a22 am1 am2  a1n a2n      amn Đôi người ta dùng dấu móc vng hai bên thay cho dấu ngoặc trịn Kích thước ma trận: m dịng n cột A gọi ma trận cấp m × n Nếu m = n ta gọi A ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận cấp m × n R ký hiệu Mm×n (R) Khi m = n, ký hiệu gọn thành Mn (R) UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Ví dụ A= −1  ∈ M2×3 (R)  −1   B = 0  ∈ M3×2 (R) UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Ví dụ A= −1  ∈ M2×3 (R)  −1   B = 0  ∈ M3×2 (R) UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Một số dạng ma trận đặc biệt Ma trận 0  =  0    0m×n  Ma trận đơn vị cấp n ma trận vuông cấp n có tính chất:   0  In =    0 UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP   0   .  CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Một số dạng ma trận đặc biệt (tt) Ma trận đường chéo  α1   α2 D(α1 , , αn ) =    0  0     αn Ma trận tam giác  a11 a12   a22 U=   0  a1n a2n      ann Ma trận tam giác định nghĩa tương tự UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Phép toán ma trận Ma trận A ma trận B A, B có kích thước aij = bij , ∀i, j Nhân ma trận với số: Cho α ∈ R A cấp m × n ma trận αA cấp m × n [αA]ij = α[A]ij , ∀i, j Cộng hai ma trận cấp [A + B]ij = [A]ij + [B]ij Cộng ma trận thỏa tính chất tương tự cộng số −1 −1 Ví dụ: + = −3 UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Bài tập Tính 5A − 3B, biết A= −14 −1 B= Một doanh nghiệp kinh doanh hai loại bia, loại có cồn khơng cồn Tính tổng số thùng loại bia bán đại lý hai tháng đầu năm, biết thống kê số lượng thùng bán tháng là:   Bia có cồn Không cồn   220 18   C =    231 33 136 12 UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP   Bia có cồn Khơng cồn   294 42   D=    432 50 239 32 CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Phương pháp Cramer Nhắc lại: A ma trận hệ số b cột hệ số tự hệ phương trình Đặt Ai ma trận có từ A cách thay cột i A cột b Tính định thức ∆ = det(A), ∆1 = det(A1 ), , ∆n = det(An ) Nếu ∆ = hệ có nghiệm (x1 , , xn ) = UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP ∆1 ∆n , , ∆ ∆ CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 45 / 56 Phương pháp Cramer (tt) Nếu ∆ = có ∆i = hệ vơ nghiệm Nếu ∆ = ∆i = 0, ∀i khơng xác định hệ vô nghiệm hay hệ vô số nghiệm UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 46 / 56 Ví dụ Ví dụ    x1 + 2x2 + 2x3 = −2x1 + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 =   mx + x + (m + 1)x = −2 Ví dụ    mx1 + 2x2 + 2x3 = 2x + mx + 2x = m   2x + 2x + mx = m UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 47 / 56 Một số ứng dụng Mơ hình cân hàng hóa Ký hiệu p giá đơn vị hàng hóa, hàm cung Qs (p) = −a0 + a1 p hàm cầu Qd (p) = b0 − b1 p với tham số a0 , a1 , b0 , b1 dương Cho ví dụ đơn vị giá p đơn vị tham số nêu trên? Ví dụ p có đơn vị $; a1 , b1 có đơn vị $−1 Giải thích dấu tham số có dấu? a1 > hàm đồng biến; b1 > hàm nghịch biến Nếu thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Qs gần 0, giá a0 /a1 không dương bên bán khơng muốn bán Tương tự, Nếu giá gần 0, nhu cầu b0 âm tức thị trường không cần mặt hàng xuất UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48 / 56 Một số ứng dụng Mơ hình cân hàng hóa Ký hiệu p giá đơn vị hàng hóa, hàm cung Qs (p) = −a0 + a1 p hàm cầu Qd (p) = b0 − b1 p với tham số a0 , a1 , b0 , b1 dương Cho ví dụ đơn vị giá p đơn vị tham số nêu trên? Ví dụ p có đơn vị $; a1 , b1 có đơn vị $−1 Giải thích dấu tham số có dấu? a1 > hàm đồng biến; b1 > hàm nghịch biến Nếu thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Qs gần 0, giá a0 /a1 khơng dương bên bán không muốn bán Tương tự, Nếu giá gần 0, nhu cầu b0 âm tức thị trường không cần mặt hàng xuất UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48 / 56 Một số ứng dụng Mơ hình cân hàng hóa Ký hiệu p giá đơn vị hàng hóa, hàm cung Qs (p) = −a0 + a1 p hàm cầu Qd (p) = b0 − b1 p với tham số a0 , a1 , b0 , b1 dương Cho ví dụ đơn vị giá p đơn vị tham số nêu trên? Ví dụ p có đơn vị $; a1 , b1 có đơn vị $−1 Giải thích dấu tham số có dấu? a1 > hàm đồng biến; b1 > hàm nghịch biến Nếu thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Qs gần 0, giá a0 /a1 khơng dương bên bán khơng muốn bán Tương tự, Nếu giá gần 0, nhu cầu b0 âm tức thị trường khơng cần mặt hàng xuất UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48 / 56 Một số ứng dụng Mơ hình cân hàng hóa Ký hiệu p giá đơn vị hàng hóa, hàm cung Qs (p) = −a0 + a1 p hàm cầu Qd (p) = b0 − b1 p với tham số a0 , a1 , b0 , b1 dương Cho ví dụ đơn vị giá p đơn vị tham số nêu trên? Ví dụ p có đơn vị $; a1 , b1 có đơn vị $−1 Giải thích dấu tham số có dấu? a1 > hàm đồng biến; b1 > hàm nghịch biến Nếu thời điểm khởi đầu sản xuất/ cung cấp, Qs gần 0, giá a0 /a1 không dương bên bán khơng muốn bán Tương tự, Nếu giá gần 0, nhu cầu b0 âm tức thị trường không cần mặt hàng xuất UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48 / 56 Cân thị trường Khi cân ta có hệ    Qs = −a0 + a1 p Qd = b0 − b1 p   −a + a p = b − b p 1 Ví dụ Cho Qs = −5 + p, Qd = 55 − 3p; p giá theo $ a Tìm giá cân thị trường? b Tìm lượng (cung cầu) cân bằng? UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 49 / 56 Mơ hình cân nhiều hàng hóa Mơ hình cân nhiều hàng hóa Qsi = ai0 + · · · + ain pn Qdi = bi0 + · · · + bin pn Đặt cik = aik − bik Khi cân bằng, ta có hệ    c11 p1 + · · · + c1n pn = −c10   cn1 p1 + · · · + cnn pn = −cn0 Ví dụ Xét thị trường gồm ba loại hàng hóa thỏa Qs1 = −10 + 2p1 ; Qs2 = −20 + 5p2 ; Qs3 = 13p3 Qd1 = 100 − 5p1 + 3p2 − p3 ; Qd2 = 120 + 2p1 − 8p2 − 2p3 ; Qd3 = 300 − 10p1 − 5p2 − p3 Xác định giá cân lượng cân mặt hàng UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 50 / 56 Mơ hình cân Kinh tế vĩ mơ Đại lượng Y : Income (biến số) C : Consumption (biến số) T : Tax (biến số) I: Investment G: Government Hê phương trình    Y = C + I0 + G C = a(Y − T ) + b t : thuế cận biên (hằng số)   T = d + tY Ví dụ 4.2.1 SGT trang 56 Bài tâp I.4.2 trang 68 UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 51 / 56 Mơ hình IS-LM (đọc thêm) Đây hệ phương trình tuyến tính với hai biến số: Y r Lập hệ phương trình Y = C + I + G0 M0 = L Các chi tiết xem tài liệu trang 57-59 UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 52 / 56 Mơ hình Input-Output Leontief (Nobel kinh tế 1973) Xét kinh tế có n ngành khác Cho ma trận đầu vào A với cấp A số ngành kinh tế Ma trận B ma trận có cột cho biết mức cầu cuối ngành Ma trận X ma trận cột chưa biến số cho biết đầu ngành Hệ phương trình cân liên ngành (I − A)X = B UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 53 / 56 Chú ý aij : để sản xuất đơn vị giá trị hàng hóa ngành j cần aij giá trị từ ngành i; ≤ 1: Tổng phần tử cột j tỉ phần chi phí đầu vào mà ngành j phải trả cho việc mua hàng hóa trung gian tính đơn vị giá trị hàng hóa i=1,n aij Hiệu a0j = − i=1,n aij hệ số tỉ phần gia tăng tổng giá trị hàng hóa ngành j Ma trận tổng cầu X = (I − A)−1 B UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 54 / 56 VÍ DỤ Giả sử quốc gia có ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào   0.3 0.2 0.1   A = 0.2 0.3 0.4 0.2 0.3 0.3 a) Giải thích ý nghĩa hệ số a23 ma trận hệ số đầu vào? b) Tìm hệ số tỉ phần gia tăng a0j ngành (j=1,2,3) c) Tìm đầu (X) cho ngành biết cầu cuối (B) ngành 85, 40, d) Tìm cầu cuối (B) ngành biết đầu (X) ngành 40, 40,30 UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 55 / 56 CẢM ƠN! THANK YOU! 028 37244555 www.uel.edu.vn ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT Số 669, đường Quốc lộ 1, khu phố 3, phường Linh Xuân, quận Thủ Đức, Thành phố Hồ Chí Minh UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 56 / 56 ... 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 15 / 56 Ma trận đối xứng ma trận phản xứng Định nghĩa Ma trận A đối xứng AT = A Ma trận A phản xứng AT = −A Nhận xét Tổng hay hiệu ma trận đối xứng ma trận. .. hay hiệu ma trận phản xứng ma trận phản xứng UNITY - EXCELLENCE - LEADERSHIP CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 16 / 56 Dạng bậc thang ma trận Định nghĩa Một ma trận gọi ma trận bậc...  D=    432 50 239 32 CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH / 56 Nhân hai ma trận Định nghĩa Tích ma trận A cấp m × n ma trận B cấp n × p ma trận AB cấp m × p, phần tử hàng i cột